Was ist die Definition natürlicher Zahlen? Natürliche Zahl

Die n-te Wurzel einer Zahl x ist eine nichtnegative Zahl z, die, wenn sie zur n-ten Potenz erhoben wird, zu x wird. Die Bestimmung der Wurzel gehört zu den Grundrechenarten, mit denen wir im Kindesalter vertraut werden.

Mathematische Notation

„Wurzel“ kommt vom lateinischen Wort radix und heute wird das Wort „Radikal“ als Synonym für diesen mathematischen Begriff verwendet. Seit dem 13. Jahrhundert bezeichnen Mathematiker die Wurzeloperation mit dem Buchstaben r mit einem horizontalen Strich über dem Wurzelausdruck. Im 16. Jahrhundert wurde die Bezeichnung V eingeführt, die nach und nach das Zeichen r ersetzte, die horizontale Linie blieb jedoch bestehen. Es ist einfach, in einer Druckerei zu tippen oder von Hand zu schreiben, aber im elektronischen Publizieren und Programmieren hat sich die Buchstabenbezeichnung der Wurzel verbreitet – sqrt. So bezeichnen wir in diesem Artikel Quadratwurzeln.

Quadratwurzel

Das Quadratradikal einer Zahl x ist eine Zahl z, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, x wird. Wenn wir beispielsweise 2 mit 2 multiplizieren, erhalten wir 4. Zwei ist in diesem Fall die Quadratwurzel aus vier. Multiplizieren Sie 5 mit 5, wir erhalten 25 und kennen nun bereits den Wert des Ausdrucks sqrt(25). Wir können und – 12 mit −12 multiplizieren, um 144 zu erhalten, und die Wurzel von 144 ist sowohl 12 als auch −12. Offensichtlich können Quadratwurzeln sowohl positive als auch negative Zahlen sein.

Der besondere Dualismus solcher Wurzeln ist wichtig für die Lösung quadratischer Gleichungen. Daher ist es bei der Suche nach Antworten auf solche Probleme notwendig, beide Wurzeln anzugeben. Bei der Lösung algebraischer Ausdrücke werden arithmetische Quadratwurzeln verwendet, also nur deren positive Werte.

Zahlen, deren Quadratwurzeln ganze Zahlen sind, werden perfekte Quadrate genannt. Es gibt eine ganze Folge solcher Zahlen, deren Anfang so aussieht:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Die Quadratwurzeln anderer Zahlen sind irrationale Zahlen. Zum Beispiel: sqrt(3) = 1,73205080757... und so weiter. Diese Zahl ist unendlich und nichtperiodisch, was einige Schwierigkeiten bei der Berechnung solcher Radikale mit sich bringt.

Im Schulmathematikkurs heißt es, dass man aus negativen Zahlen keine Quadratwurzeln ziehen kann. Wie wir in einem Universitätskurs über mathematische Analyse lernen, kann und sollte dies getan werden – dafür werden komplexe Zahlen benötigt. Da unser Programm jedoch darauf ausgelegt ist, echte Wurzelwerte zu extrahieren, berechnet es keine geraden Radikale aus negativen Zahlen.

Kubikwurzel

Das kubische Radikal einer Zahl x ist eine Zahl z, die dreimal mit sich selbst multipliziert die Zahl x ergibt. Wenn wir beispielsweise 2 × 2 × 2 multiplizieren, erhalten wir 8. Daher ist zwei die Kubikwurzel von acht. Multiplizieren Sie die Vier dreimal mit sich selbst und erhalten Sie 4 × 4 × 4 = 64. Offensichtlich ist die Vier die Kubikwurzel der Zahl 64. Es gibt eine unendliche Folge von Zahlen, deren kubische Reste ganze Zahlen sind. Sein Anfang sieht so aus:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Für andere Zahlen sind die Kubikwurzeln irrationale Zahlen. Im Gegensatz zu quadratischen Radikalen können Kubikwurzeln wie alle ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen abgeleitet werden. Es geht um das Produkt von Zahlen kleiner als Null. Minus durch Minus ergibt Plus - bekannt mit Schultage Regel. Und ein Minus für ein Plus ergibt ein Minus. Wenn Sie negative Zahlen ungerade oft multiplizieren, ist das Ergebnis ebenfalls negativ. Extrahieren Sie daher die ungerade Wurzel aus negative Zahl uns stört nichts.

Allerdings funktioniert das Rechnerprogramm anders. Im Wesentlichen bedeutet das Ziehen einer Wurzel, sie in die umgekehrte Potenz zu erhöhen. Es wird davon ausgegangen, dass die Quadratwurzel mit 1/2 potenziert wird und dass die Kubikwurzel mit 1/3 potenziert wird. Die Formel für die Potenzierung auf 1/3 kann umgestellt und als 2/6 ausgedrückt werden. Das Ergebnis ist dasselbe, aber Sie können eine solche Wurzel nicht aus einer negativen Zahl ziehen. Daher berechnet unser Rechner arithmetische Wurzeln nur aus positiven Zahlen.

n-te Wurzel

Eine solch raffinierte Methode zur Berechnung von Radikalen ermöglicht es Ihnen, aus jedem Ausdruck Wurzeln jeden Grades zu bestimmen. Sie können die fünfte Wurzel einer Potenz einer Zahl oder die 19. Wurzel einer Zahl in die 12. Potenz hochrechnen. All dies wird elegant in Form der Potenzierung auf 3/5 bzw. 12/19 umgesetzt.

Schauen wir uns ein Beispiel an

Diagonale eines Quadrats

Die Irrationalität der Diagonale eines Quadrats war den alten Griechen bekannt. Sie standen vor dem Problem, die Diagonale eines flachen Quadrats zu berechnen, da seine Länge immer proportional zur Wurzel aus zwei ist. Die Formel zur Bestimmung der Länge der Diagonale leitet sich ab von und hat letztendlich die Form:

d = a × sqrt(2).

Lassen Sie uns das Quadratradikal von zwei mit unserem Rechner ermitteln. Geben wir den Wert 2 in die Zelle „Anzahl(x)“ und auch 2 in die Zelle „Grad(n)“ ein. Als Ergebnis erhalten wir den Ausdruck sqrt(2) = 1,4142. Um die Diagonale eines Quadrats grob abzuschätzen, reicht es also aus, seine Seite mit 1,4142 zu multiplizieren.

Abschluss

Das Finden eines Radikals ist eine Standardrechenoperation, ohne die wissenschaftliche oder konstruktive Berechnungen unverzichtbar sind. Natürlich müssen wir keine Wurzeln ermitteln, um alltägliche Probleme zu lösen, aber unser Online-Rechner wird für Schüler oder Studenten auf jeden Fall nützlich sein, um Hausaufgaben in Algebra oder Analysis zu überprüfen.

Technischer Rechner online

Wir freuen uns, allen einen kostenlosen Ingenieurrechner zur Verfügung zu stellen. Mit seiner Hilfe kann jeder Schüler schnell und vor allem einfach verschiedene Arten mathematischer Berechnungen online durchführen.

Der Rechner stammt von der Website - Web 2.0 wissenschaftlicher Rechner

Ein einfacher und benutzerfreundlicher technischer Rechner mit einer unauffälligen und intuitiven Benutzeroberfläche wird für eine Vielzahl von Internetnutzern wirklich nützlich sein. Wenn Sie jetzt einen Rechner benötigen, besuchen Sie unsere Website und nutzen Sie den kostenlosen Ingenieurrechner.

Ein technischer Rechner kann so einfach funktionieren Rechenoperationen und ziemlich komplexe mathematische Berechnungen.

Web20calc ist ein technischer Rechner mit große Menge Funktionen, zum Beispiel die Berechnung aller Elementarfunktionen. Der Rechner unterstützt auch trigonometrische Funktionen, Matrizen, Logarithmen und sogar die grafische Darstellung.

Zweifellos wird Web20calc für die Gruppe von Menschen interessant sein, die auf der Suche nach einfachen Lösungen die Suchanfrage in Suchmaschinen eingeben: mathematisch Online-Rechner. Mit einer kostenlosen Webanwendung können Sie das Ergebnis eines mathematischen Ausdrucks sofort berechnen, z. B. Subtrahieren, Addieren, Dividieren, Wurzelziehen, Potenzierung usw.

Im Ausdruck können Sie die Operationen Potenzierung, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Prozentsatz und die PI-Konstante verwenden. Bei komplexen Berechnungen sollten Klammern eingefügt werden.

Funktionen des Ingenieurrechners:

1. Grundrechenarten;
2. Arbeiten mit Zahlen in Standardform;
3. Berechnung trigonometrischer Wurzeln, Funktionen, Logarithmen, Potenzierung;
4. Statistische Berechnungen: Addition, arithmetisches Mittel oder Standardabweichung;
5. Verwendung von Speicherzellen und benutzerdefinierten Funktionen von 2 Variablen;
6. Arbeiten Sie mit Winkeln im Bogenmaß und Grad.

Der Ingenieurrechner ermöglicht die Nutzung einer Vielzahl mathematischer Funktionen:

Ziehen von Wurzeln (Quadrat-, Kubik- und n-te Wurzel);
ex (e hoch x), exponentiell;
trigonometrische Funktionen: Sinus – Sin, Cosinus – Cos, Tangens – Tan;
inverse trigonometrische Funktionen: Arkussinus – sin-1, Arkuskosinus – cos-1, Arkustangens – tan-1;
hyperbolische Funktionen: Sinus – Sinh, Cosinus – Cosh, Tangens – Tanh;
Logarithmen: binärer Logarithmus zur Basis zwei – log2x, dezimaler Logarithmus zur Basis zehn – log, natürlicher Logarithmus – ln.

Dieser technische Rechner enthält auch einen Mengenrechner mit der Möglichkeit, physikalische Größen für verschiedene Maßsysteme umzurechnen – Computereinheiten, Entfernung, Gewicht, Zeit usw. Mit dieser Funktion können Sie Meilen sofort in Kilometer, Pfund in Kilogramm, Sekunden in Stunden usw. umrechnen.

Um mathematische Berechnungen durchzuführen, geben Sie zunächst eine Folge mathematischer Ausdrücke in das entsprechende Feld ein, klicken Sie dann auf das Gleichheitszeichen und sehen Sie sich das Ergebnis an. Sie können Werte direkt über die Tastatur eingeben (dazu muss der Rechnerbereich aktiv sein, daher wäre es sinnvoll, den Cursor im Eingabefeld zu platzieren). Daten können unter anderem über die Tasten des Rechners selbst eingegeben werden.

Um Diagramme zu erstellen, sollten Sie die Funktion wie im Feld mit Beispielen angegeben in das Eingabefeld schreiben oder die speziell dafür vorgesehene Symbolleiste verwenden (um dorthin zu gelangen, klicken Sie auf die Schaltfläche mit dem Diagrammsymbol). Um Werte umzuwandeln, klicken Sie auf Einheit; um mit Matrizen zu arbeiten, klicken Sie auf Matrix.

Anweisungen

Um eine Zahl auf die 1/3-Potenz zu erhöhen, geben Sie die Zahl ein, klicken Sie dann auf die Potenzierungsschaltfläche und geben Sie den ungefähren Wert 1/3 - 0,333 ein. Diese Genauigkeit ist für die meisten Berechnungen völlig ausreichend. Die Genauigkeit der Berechnungen lässt sich jedoch sehr einfach erhöhen – fügen Sie einfach so viele Drillinge hinzu, wie auf die Anzeige des Taschenrechners passen (z. B. 0,3333333333333333). Klicken Sie dann auf die Schaltfläche „=".

Um die dritte Wurzel mit einem Computer zu berechnen, führen Sie das Windows-Rechnerprogramm aus. Das Verfahren zur Berechnung der dritten Wurzel ist völlig ähnlich wie oben beschrieben. Der einzige Unterschied besteht im Design der Potenzierungstaste. Auf der virtuellen Tastatur des Rechners wird es als „x^y“ angezeigt.

Die dritte Wurzel kann auch in MS Excel berechnet werden. Geben Sie dazu „=“ in eine beliebige Zelle ein und wählen Sie das „Einfügen“-Symbol (fx). Wählen Sie im erscheinenden Fenster die Funktion „GRAD“ und klicken Sie auf die Schaltfläche „OK“. Geben Sie im angezeigten Fenster den Wert der Zahl ein, für die Sie die dritte Wurzel berechnen möchten. Geben Sie bei „Grad“ die Zahl „1/3“ ein. Geben Sie die Zahl 1/3 genau in dieser Form ein – wie eine gewöhnliche. Klicken Sie anschließend auf die Schaltfläche „Ok“. In der Zelle der Tabelle, in der es erstellt wurde, die Kubikwurzel von hinter angegebene Nummer.

Wenn die dritte Wurzel ständig berechnet werden muss, verbessern Sie die oben beschriebene Methode leicht. Geben Sie für die Zahl, aus der Sie die Wurzel extrahieren möchten, nicht die Zahl selbst, sondern eine Tabellenzelle an. Geben Sie danach einfach jedes Mal die ursprüngliche Zahl in diese Zelle ein – ihre Kubikwurzel erscheint in der Zelle mit der Formel.

Video zum Thema

beachten Sie

Abschluss. In diesem Artikel wurden verschiedene Methoden zur Berechnung von Kubikwurzelwerten untersucht. Es stellte sich heraus, dass die Werte der Kubikwurzel mithilfe der Iterationsmethode ermittelt werden können. Sie können die Kubikwurzel auch annähern, die Zahl auf die Potenz von 1/3 erhöhen und mithilfe der Methode nach den Werten der dritten Wurzel suchen Microsoft Office Ecxel, Festlegen von Formeln in Zellen.

Hilfreicher Rat

Wurzeln zweiten und dritten Grades werden besonders häufig verwendet und haben daher besondere Namen. Quadratwurzel: In diesem Fall wird der Exponent normalerweise weggelassen, und der Begriff „Wurzel“ ohne Angabe des Exponenten impliziert meistens die Quadratwurzel. Praktische Wurzelberechnung Algorithmus zum Finden der Wurzel n-ten Grades. Normalerweise werden in allen Taschenrechnern Quadrat- und Kubikwurzeln angegeben.

Quellen:

dritte Wurzel
So ziehen Sie in Excel die Quadratwurzel hoch N

Der Vorgang, die Wurzel zu finden dritte Grad wird üblicherweise als Ziehen der „kubischen“ Wurzel bezeichnet und besteht darin, eine reelle Zahl zu finden, deren Kubik einen Wert ergibt, der der Wurzelzahl entspricht. Die Operation zum Extrahieren einer beliebigen arithmetischen Wurzel Grad n entspricht der Potenz 1/n. Es gibt mehrere Methoden, mit denen Sie die Kubikwurzel praktisch berechnen können.

Bei der Lösung einiger technischer Probleme kann es erforderlich sein, die Wurzel zu berechnen dritte Grad. Manchmal wird diese Zahl auch Kubikwurzel genannt. Wurzel dritte Grad Von einer gegebenen Zahl wird eine Zahl genannt, deren dritte Potenz gleich der gegebenen ist. Das heißt, wenn y eine Wurzel ist dritte Grad Zahl x, dann muss folgende Bedingung erfüllt sein: y?=x (x ist gleich dem Würfel).

Du wirst brauchen

Taschenrechner oder Computer

Anweisungen

Um die Wurzel zu berechnen dritte Grad, verwenden Sie den Taschenrechner. Es empfiehlt sich, dass es sich hierbei nicht um einen gewöhnlichen Taschenrechner handelt, sondern um einen Taschenrechner für technische Berechnungen. Allerdings finden Sie auch auf einem solchen Rechner keine spezielle Schaltfläche zum Extrahieren der Wurzel dritte Grad. Verwenden Sie also eine Funktion, um eine Zahl zu potenzieren. Wurzelextraktion dritte Grad entspricht einer Potenzierung um 1/3 (ein Drittel).
Um eine Zahl auf die 1/3-Potenz zu erhöhen, geben Sie die Zahl selbst auf der Tastatur des Taschenrechners ein. Drücken Sie dann die Taste „Potenzierung“. Eine solche Schaltfläche kann je nach Rechnertyp wie xy aussehen (y ist hochgestellt). Da die meisten Taschenrechner nicht in der Lage sind, mit gewöhnlichen (nicht dezimalen) Brüchen zu arbeiten, geben Sie anstelle der Zahl 1/3 den ungefähren Wert ein: 0,33. Um eine höhere Berechnungsgenauigkeit zu erhalten, müssen Sie die Anzahl der „Dreier“ erhöhen, beispielsweise 0,33333333333333 wählen. Klicken Sie dann auf die Schaltfläche „=“.
Um die Wurzel zu berechnen dritte Grad Verwenden Sie auf Ihrem Computer einen Standard-Windows-Rechner. Die Vorgehensweise ist völlig ähnlich wie im vorherigen Absatz der Anleitung beschrieben. Der einzige Unterschied besteht in der Bezeichnung der Potenzierungstaste. Auf einem „Computer“-Rechner sieht es aus wie x^y.
Wenn die Wurzel dritte Grad Wenn Sie systematisch zählen müssen, verwenden Sie MS Excel. Um die Wurzel zu berechnen dritte Grad Geben Sie in Excel das Zeichen „=“ in eine beliebige Zelle ein und wählen Sie dann das Symbol „fx“ aus – fügen Sie eine Funktion ein. Wählen Sie im angezeigten Fenster in der Liste „Funktion auswählen“ die Zeile „DEGREE“ aus. Klicken Sie auf die Schaltfläche „OK“. Geben Sie im neuen Fenster, das erscheint, in der Zeile „Zahl“ den Wert der Zahl ein, aus der Sie die Wurzel ziehen möchten. Geben Sie in der Zeile „Grad“ die Zahl „1/3“ ein und klicken Sie auf „OK“. Der gewünschte Wert der Kubikwurzel der ursprünglichen Zahl erscheint in der Tabellenzelle.

Aus große Zahl Wir haben es bereits ohne Taschenrechner herausgefunden. In diesem Artikel schauen wir uns an, wie man die Kubikwurzel (Wurzel dritten Grades) zieht. Lassen Sie mich einen Vorbehalt machen, dass wir über natürliche Zahlen sprechen. Wie lange dauert es Ihrer Meinung nach, Wurzeln verbal zu berechnen, wie zum Beispiel:

Ziemlich viel, und wenn Sie zwei- oder dreimal 20 Minuten lang üben, können Sie eine solche Wurzel in 5 Sekunden oral extrahieren.

*Es ist zu beachten, dass es sich um Zahlen unter der Wurzel handelt, die das Ergebnis kubischer natürlicher Zahlen von 0 bis 100 sind.

Wir wissen das:

Die Zahl a, die wir finden werden, ist also eine natürliche Zahl von 0 bis 100. Schauen Sie sich die Tabelle der Kubikzahlen dieser Zahlen an (Ergebnisse der Erhöhung auf die dritte Potenz):

In dieser Tabelle können Sie ganz einfach die Kubikwurzel einer beliebigen Zahl ziehen. Was musst du wissen?

1. Dies sind Zahlenwürfel, die ein Vielfaches von zehn sind:

Ich würde sogar sagen, dass das „wunderschöne“ Zahlen sind, man kann sie sich leicht merken. Es ist leicht zu lernen.

2. Dies ist eine Eigenschaft von Zahlen während des Produkts.

Sein Wesen liegt darin, dass das Ergebnis eine Besonderheit aufweist, wenn eine bestimmte Zahl in die dritte Potenz erhoben wird. Welcher?

Würfeln wir zum Beispiel 1, 11, 21, 31, 41 usw. Sie können sich die Tabelle ansehen.

1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

Das heißt, wenn wir eine Zahl mit einer Einheit am Ende würfeln, ist das Ergebnis immer eine Zahl mit einer Einheit am Ende.

Wenn Sie eine Zahl mit einer Zwei am Ende würfeln, ist das Ergebnis immer eine Zahl mit einer Acht am Ende.

Lassen Sie uns die Entsprechung in der Tabelle für alle Zahlen zeigen:

Die Kenntnis der beiden vorgestellten Punkte reicht völlig aus.

Schauen wir uns Beispiele an:

Ziehen Sie die Kubikwurzel aus 21952.

Diese Zahl liegt im Bereich von 8000 bis 27000. Das bedeutet, dass das Ergebnis der Wurzelbildung im Bereich von 20 bis 30 liegt. Die Zahl 29952 endet auf 2. Diese Option ist nur möglich, wenn eine Zahl mit einer Acht am Ende steht gewürfelt. Somit ist das Ergebnis der Wurzel 28.

Finden Sie die Kubikwurzel von 54852.

Diese Zahl liegt im Bereich von 27000 bis 64000. Das bedeutet, dass das Ergebnis der Wurzelbildung im Bereich von 30 bis 40 liegt. Die Zahl 54852 endet auf 2. Diese Option ist nur möglich, wenn eine Zahl mit einer Acht am Ende steht gewürfelt. Somit ist das Ergebnis der Wurzel 38.

Ziehen Sie die Kubikwurzel aus 571787.

Diese Zahl liegt im Bereich von 512000 bis 729000. Das bedeutet, dass das Ergebnis der Wurzelbildung im Bereich von 80 bis 90 liegt. Die Zahl 571787 endet auf 7. Diese Option ist nur möglich, wenn eine Zahl mit einer Drei am Ende steht gewürfelt. Somit ist das Ergebnis der Wurzel 83.

Ziehen Sie die Kubikwurzel aus 614125.

Diese Zahl liegt im Bereich von 512000 bis 729000. Das bedeutet, dass das Ergebnis der Wurzelbildung im Bereich von 80 bis 90 liegt. Die Zahl 614125 endet auf 5. Diese Option ist nur möglich, wenn eine Zahl mit einer Fünf am Ende steht gewürfelt. Somit ist das Ergebnis der Wurzel 85.

Ich denke, dass man jetzt ganz einfach die Kubikwurzel der Zahl 681472 ziehen kann.

Natürlich erfordert die orale Extraktion solcher Wurzeln ein wenig Übung. Wenn Sie jedoch die beiden angegebenen Tabletten auf Papier wiederherstellen, können Sie eine solche Wurzel auf jeden Fall problemlos innerhalb einer Minute extrahieren.

Nachdem Sie das Ergebnis gefunden haben, überprüfen Sie es unbedingt (erhöhen Sie es auf die dritte Potenz). *Niemand hat die Multiplikation nach Spalte abgesagt 😉

Beim Einheitlichen Staatsexamen gibt es keine Probleme mit solch „gruseligen“ Wurzeln. Sie müssen beispielsweise die Kubikwurzel von 1728 ziehen. Ich denke, das ist für Sie kein Problem mehr.

Wenn Sie interessante Berechnungsmethoden ohne Taschenrechner kennen, senden Sie sie mir, ich werde sie zu gegebener Zeit veröffentlichen.Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.