Entstehungsgeschichte der Darstellung negativer Zahlen. Das Konzept einer negativen Zahl in der modernen Mathematik und Geschichte

Noch vor wenigen tausend Jahren führte die Notwendigkeit der Messung zu einer Erweiterung der Vielfalt natürliche Zahlen, die man bis dahin benutzte. Neue wurden eingeführt Bruchzahlen, mit dessen Hilfe es möglich wurde, Messungen (Längen, Flächen, Gewichte usw.) mit jeder von den Instrumenten zugelassenen Genauigkeit durchzuführen.

Dies war bei negativen Zahlen nicht der Fall. IN praktische Tätigkeiten Die Leute hatten nicht das Bedürfnis, etwas vorzustellen negative Zahlen Sie etablierten sich fest in der Mathematik und wurden erst im 17. Jahrhundert verwendet.

Aber in der Mathematik selbst besteht seit langem die Notwendigkeit, die Zahlenmenge durch die Einführung neuer, negativer Zahlen zu erweitern, und mit der Entwicklung der mathematischen Wissenschaft wurde diese Notwendigkeit immer dringlicher.

So beispielsweise der griechische Mathematiker Diophantos im 3. Jahrhundert, als er einige Transformationen durchführte

Tatsächlich verwendete er bereits die Regel zur Multiplikation negativer Zahlen, die er wie folgt ausdrückte: „Was subtrahiert wird, multipliziert mit dem, was addiert wird, ergibt das Ergebnis dessen, was weggenommen wird.“ Was weggenommen wird, multipliziert mit dem Weggenommenen, ergibt das Hinzugefügte.“

Aus dieser Formulierung wird deutlich, dass Diophantus die eigenständige Existenz negativer Zahlen noch nicht erkannte; Für ihn waren es dieselben Zahlen, „subtrahiert“ von einer anderen Zahl. Wenn also beispielsweise beim Lösen einer Gleichung eine negative Wurzel erhalten wurde, lehnte Diophantus diese einfach als „unzulässig“ ab.

Doch bereits der indische Wissenschaftler Bramagupta (7. Jahrhundert) verwendete in seinen Berechnungen frei negative Zahlen und gab ihnen eine visuelle Interpretation. Er bezeichnete Eigentum mit positiven Zahlen und Schulden mit negativen Zahlen.

In dieser visuellen Form gab er auch Regeln für Handlungen mit rationalen vor. Zahlen, zum Beispiel: „Die Summe zweier Eigenschaften ist Eigenschaft.“ Die Summe zweier Schulden ist eine Schuld. Die Summe von Eigentum und Schulden entspricht ihrer Differenz, und wenn sie gleich sind, dann Null“ usw.

Der indische Mathematiker Bhaskara (12. Jahrhundert) nutzt die Kraft einer negativen Zahl. In seinem Aufsatz „Die Krone des Systems“ heißt es:

„Das Quadrat einer positiven und einer negativen Zahl ergibt eine positive Zahl, zum Beispiel:

In Europa nannten Mathematiker des 16. Jahrhunderts, obwohl sie manchmal negative Zahlen verwendeten, sie immer noch „komplex“ und „unklar“, „weniger als nichts“ usw.

Nur der niederländische Mathematiker Girard (16.-17. Jahrhundert) verwendet negative Zahlen gleichberechtigt mit positiven. Also, die Gleichung lösen

er nennt drei seiner Wurzeln:

Die rasante Entwicklung der Naturwissenschaften und Technik im 17. Jahrhundert stellte erhöhte Anforderungen an die Mathematik und erforderte deren Weiterentwicklung und Verbesserung des mathematischen Apparats. Die Nichtverwendung negativer Zahlen führte zu unnötigen Schwierigkeiten bei mathematischen Berechnungen und Transformationen. Seit dem 17. Jahrhundert sind negative Zahlen in der Mathematik fest verankert und werden gefunden praktische Anwendungen. Der französische Philosoph und Mathematiker Descartes gibt eine visuelle Interpretation von Zahlen anhand von Punkten auf der Zahlenachse. Er verwendet negative Zahlen für grafisches Bild verschiedene Prozesse und algebraische Ausdrücke.

UNDDie Geschichte besagt, dass es lange gedauert hat, bis sich die Menschen an negative Zahlen gewöhnt haben. Negative Zahlen schienen ihnen unverständlich, sie nutzten sie nicht, sie sahen einfach nicht viel Sinn darin. Positive Zahlen wurden lange Zeit als „Gewinn“ interpretiert, negative Zahlen als „Schulden“, „Verlust“. Nur im alten Indien und China kam man auf die Idee, statt der Worte „Schulden von 10 Yuan“ einfach „10 Yuan“ zu schreiben, diese Hieroglyphen jedoch mit schwarzer Tinte zu zeichnen. Und die Zeichen „+“ und „-“, über die wir gesprochen haben, gab es in der Antike weder für Zahlen noch für Handlungen.
IN Das alte China kannte nur die Regeln zum Addieren und Subtrahieren positiver und negativer Zahlen; die Regeln der Multiplikation und Division galten nicht. In Indien wurden negative Zahlen mit einem gewissen Misstrauen betrachtet, da man sie für eigenartig und nicht ganz real hielt. Bhaskhara schrieb direkt: „Die Leute sind mit abstrakten negativen Zahlen nicht einverstanden …“Europäische Mathematiker billigten sie lange Zeit nicht, weil die Interpretation von „Eigentumsschulden“ Verwirrung und Zweifel hervorrief. Tatsächlich kann man Vermögenswerte und Schulden „addieren“ oder „subtrahieren“, aber welche wirkliche Bedeutung kann das „Multiplizieren“ oder „Dividieren“ von Vermögenswerten durch Schulden haben?
Auch die Flüsse verwendeten zunächst keine Zeichen, bis Diophantus von Alexandria im 3. Jahrhundert begann, die Subtraktion mit dem Zeichen anzuzeigen.
Die Begriffe setzen sich aus den Wörtern plus – „mehr“, minus – „weniger“ zusammen. Zunächst wurden Aktionen mit den Anfangsbuchstaben p bezeichnet; M. Viele Mathematiker bevorzugten oder Der Ursprung der modernen Zeichen „+“ und „-“ ist nicht ganz klar. Das „+“-Zeichen stammt wahrscheinlich von der Abkürzung et, d. h. "Und". Es könnte jedoch an der Handelspraxis liegen: Die verkauften Maßeinheiten Wein waren auf dem Fass mit „-“ gekennzeichnet, und als der Vorrat wiederhergestellt war, wurden sie durchgestrichen, was zu einem „+“-Zeichen führte. Und in Italien setzen Geldverleiher beim Verleihen von Geld die Höhe der Schulden und einen Bindestrich vor den Namen des Schuldners, wie unser Minus, und als der Schuldner das Geld zurückgab, strichen sie es durch, es stellte sich heraus, dass es so etwas wie unser Plus war . Sie können ein Plus als durchgestrichenes Minus betrachten!
Moderne „+“-Zeichen tauchten in Deutschland im letzten Jahrzehnt des 15. Jahrhunderts auf. im Buch Widmann, das eine Anleitung zum Zählen für Kaufleute war (1489). Der Tscheche Jan Widman schrieb bereits „+“ und „-“ für Addition und Subtraktion. Und wenig später schrieb der deutsche Wissenschaftler Michel Stiefel „Vollständige Arithmetik“, das 1544 gedruckt und nicht handschriftlich veröffentlicht wurde. Es enthält folgende Einträge für Zahlen: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Zahlen der ersten Art nannte er „weniger als nichts“ oder „weniger als nichts“. Zahlen der zweiten Art nannte er „mehr als nichts“ oder „höher als nichts“. Natürlich verstehen Sie diese Namen, denn „nichts“ ist 0. O+
Diese Zahlen wurden in wissenschaftlichen Kreisen schon immer diskutiert. Es wurden auch andere Bezeichnungen vorgeschlagen und Bilder erfunden.
Kombinierte Zeichen finden sich erstmals bei Girard (1626) in der Form.
Dieser Eintrag wurde durch Icons ersetztUnd . Sekundär zusammengelegterfunden vom Portugiesen da Cunha (1790), für den sie so aussahen: und.

Literatur. N.V. Alexandrova. Mathematische Begriffe. Verzeichnis. Moskauer „Higher School“ 1978
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Schauen wir uns an, was negative Zahlen sind. Sie kommen in vielen natürlichen Zahlen vor und werden in der Mathematik verwendet, um die Subtraktion zu einer ebenso gültigen Operation wie die Addition zu machen. Das heißt, dank der Einführung negativer Zahlen wurde es möglich, nicht nur weniger von mehr zu subtrahieren, sondern auch umgekehrt. Alle negativen Zahlen sind kleiner als Null und jede positive Zahl. Sie liegen auf der bekannten Koordinatenachse links von Null. Das Gleiche können Sie auch mit negativen Zahlen machen. Rechenoperationen, wie bei den positiven.

Merkmale von Aktionen mit negativen Zahlen:

das Produkt einer negativen Zahl und einer negativen Zahl ist positiv;
das Produkt aus positiv und negativ wird negativ sein;
Bei der Division mit einem Rest negativer Zahlen (oder einer negativen und einer positiven Zahl) kann der Quotient negativ oder positiv sein, der Rest ist immer positiv.

Aus der Geschichte der negativen Zahlen

IN antike Welt(Altes Ägypten, Griechenland, Babylon) Negative Zahlen wurden nicht verwendet und als unmöglich abgelehnt. Sie wurden erstmals ab dem 7. Jahrhundert n. Chr. in Indien und China verwendet, um auf Schulden oder Engpässe im Handel hinzuweisen. Aber Operationen mit negativen Zahlen wurden nicht angeordnet. Der indische Mathematiker Brahmagupta begann wenig später, mit ihnen über die Operationen der Multiplikation und Division nachzudenken.

Beispiel für die Verwendung einer negativen Zahl:

Der Kaufmann hatte 10.000 Rubel. Er hat Waren für 8.000 gekauft. Wenn er Waren für 12.000 gekauft hat, wird dieser Betrag in seinen Buchhaltungsunterlagen als negative Zahl ausgewiesen.

Sie wurden erstmals 1202 in Europa eingesetzt. Die Mathematiker Leonard von Pisa, Bombelli und Girard hielten sie für geeignet, den Mangel an etwas, Schulden, anzuzeigen. Doch der berühmte Pascal leugnete sie schon im 17. Jahrhundert und behauptete bis an sein Lebensende: „Nichts kann weniger sein als nichts (also Null).“ Die Theorie der negativen Zahlen wurde schließlich im 19. Jahrhundert von William Hamilton aufgestellt.

Bekannte negative Zahlen:

− 273,15 °C Absoluter Nullpunkt Temperaturen auf der Kelvin-Skala;
− 1,602 176 565,10 −19 Cl. Die Ladungsmenge eines Elektrons;
− 270,85 °C Temperatur im Weltraum.

Negative Zahlen schreiben

Bisher gibt es in der Mathematik kein separates Zeichen zur Bezeichnung einer negativen Zahl. Das traditionell verwendete „Minus“ ist auch ein Subtraktionszeichen. Und das ist algebraisch falsch und manchmal irreführend. Wie war es vorher? Beispielsweise gab es in China spezielle schwarze Zählstäbe für negative Zahlen und rote für positive Zahlen. In Indien wurden negative Zahlen mit einer roten horizontalen Linie direkt über der Zahl selbst markiert.

Der Mensch hat die Zahl erfunden, um sich und anderen irgendwie die Ergebnisse des Zählens und Messens anzuzeigen. Anscheinend tauchten die ersten Vorstellungen von der Zahl der Menschen im Paläolithikum auf, entwickelten sich aber bereits im Neolithikum. Der erste Schritt bei der Entstehung von Zahlen war offenbar das Bewusstsein für die Einteilung des Maßes in „eins“ und „viele“.

IN Antike Welt Zum ersten Mal wurden spezielle Zeichen zur Angabe von Zahlen verwendet: Ihre Bilder wurden auf Tontafeln aus Mesopotamien, auf ägyptischen Papyri usw. aufbewahrt.

Die Mathematik entwickelte sich weiter. Und in verschiedenen Ländern begannen sich ihre eigenen, besonderen, authentischen und deutlich unterschiedlichen Zahlensysteme zu bilden. Sogar ein Schulkind weiß mittlerweile, wie sehr sich die römische und die arabische Ziffernschrift unterschieden. Zahlen wurden von Land zu Land und von Kultur zu Kultur als wichtige und wertvolle Erfindung und Erbe weitergegeben. Moderne Figuren, auf dem sowohl slawische als auch westliche Zivilisation- das sind arabische Zahlen, aber aus Indien entlehnt. Viele Zahlen, die heute jedem bekannt sind, wurden in Indien erfunden, zum Beispiel die Zahl „0“.

Die Einteilung der Zahlen in positive und negative Zahlen geht auf die Entwicklungen der Mathematiker des Mittelalters zurück. Auch hier wurden negative Zahlen erstmals in Indien verwendet. Dies erleichterte den Händlern die Berechnung von Verlusten und Schulden. Zu dieser Zeit war die Arithmetik bereits ein hochentwickeltes Anwendungsgebiet, und die Algebra begann sich zu entwickeln. Mit der Einführung der kartesischen Geometrie, seinen Koordinatensystemen, kamen negative Zahlen fest in Gebrauch. Sie sind bis heute nicht von hier weggegangen.

Komplexe Zahlen sind ein modernes Konzept, solche Zahlen werden auch „imaginäre Zahlen“ genannt und werden aus der formalen Lösung kubischer und quadratischer Gleichungen abgeleitet. Ihr „Vater“ war der mittelalterliche Mathematiker Gerolamo Cardano. Zur Zeit von Descartes etablierten sich komplexe Zahlen ebenso wie negative Zahlen in der Mathematik.

Sehr alt und lang. Da negative Zahlen etwas Flüchtiges, Unwirkliches sind, erkannten die Menschen ihre Existenz lange Zeit nicht.

Alles begann in China II Jahrhundert v.Chr Vielleicht waren sie schon früher in China bekannt, doch die erste Erwähnung stammt aus dieser Zeit. Dort begannen sie, negative Zahlen zu verwenden und betrachteten sie als „Schulden“, während sie sie „Eigentum“ nannten. Der heutige Datensatz existierte damals noch nicht und negative Zahlen wurden schwarz und positive Zahlen rot geschrieben.

Die erste Erwähnung negativer Zahlen finden wir im Buch „Mathematik in neun Kapiteln“ des chinesischen Wissenschaftlers Zhang Can.

Als nächstes in V-VI Jahrhunderte später wurden negative Zahlen in China und Indien weit verbreitet verwendet. Zwar wurden sie in China immer noch mit Vorsicht behandelt und versucht, ihren Einsatz zu minimieren, doch in Indien waren sie im Gegenteil sehr weit verbreitet. Dort wurde mit ihnen gerechnet und negative Zahlen schienen nicht unverständlich.

Der berühmte indische Wissenschaftler Brahmagupta Bhaskara ( VII-VIII Jahrhunderte), die in ihren Lehren detaillierte Erklärungen zur Arbeit mit negativen Zahlen hinterlassen haben.

Und in der Antike zum Beispiel in Babylon und in Antikes Ägypten Negative Zahlen wurden überhaupt nicht verwendet. Und wenn die Berechnung eine negative Zahl ergab, wurde davon ausgegangen, dass es keine Lösung gab.

Ebenso wurden negative Zahlen in Europa lange Zeit nicht erkannt. Sie galten als „imaginär“ und „absurd“. Sie führten keine Aktionen mit ihnen durch, sondern verwarfen sie einfach, wenn die Antwort negativ war. Sie glaubten, dass, wenn man eine beliebige Zahl von 0 subtrahiert, die Antwort 0 sein wird, da nichts kleiner als Null sein kann – Leere.

Zum ersten Mal in Europa richtete Leonardo von Pisa (Fibonacci) seine Aufmerksamkeit auf negative Zahlen. Und er beschrieb sie 1202 in seinem Werk „Das Buch des Abakus“.

Später, im Jahr 1544, führte Michail Stiefel in seinem Buch „Vollständige Arithmetik“ erstmals das Konzept der negativen Zahlen ein und beschrieb detailliert die Operationen mit ihnen. „Null liegt zwischen den absurden und den wahren Zahlen.“

Und im XVII Jahrhundert schlug der Mathematiker Rene Descartes vor, negative Zahlen auf der digitalen Achse links von Null zu platzieren.

Von diesem Zeitpunkt an wurden negative Zahlen weithin verwendet und akzeptiert, obwohl viele Wissenschaftler sie lange Zeit leugneten.

1831 rief Gauß an negative Zahlen absolut gleichbedeutend mit positiven. Und dass man mit ihnen nicht alle Aktionen ausführen kann, fand ich auch nicht schlimm; mit Brüchen lassen sich beispielsweise auch nicht alle Aktionen ausführen.

Und im XIX Jahrhundert erstellten Wilman Hamilton und Hermann Grassmann eine vollständige Theorie der negativen Zahlen. Seitdem haben negative Zahlen ihre Berechtigung erlangt und jetzt zweifelt niemand mehr an ihrer Realität.