Kleinstes gemeinsames Kürzel von Zahlen 15 und 12. Nod und Nok von Zahlen - der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen

Aber viele natürliche Zahlen sind durch andere natürliche Zahlen ohne Rest teilbar.

zum Beispiel:

Die Zahl 12 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12;

Die Zahl 36 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36.

Die Zahlen, durch die die Zahl teilbar ist (bei 12 sind es 1, 2, 3, 4, 6 und 12), werden aufgerufen Zahlenteiler. Teiler einer natürlichen Zahl ein ist die natürliche Zahl, die die gegebene Zahl teilt ein ohne jede Spur. Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler hat, wird aufgerufen zusammengesetzt .

Beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Teiler haben. Dies sind die Zahlen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12. Der gemeinsame Teiler dieser beiden Zahlen ein und B ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind ein und B.

gemeinsames Vielfaches mehrere Zahlen heißt die Zahl, die durch jede dieser Zahlen teilbar ist. zum Beispiel, die Zahlen 9, 18 und 45 haben ein gemeinsames Vielfaches von 180. Aber 90 und 360 sind auch ihre gemeinsamen Vielfachen. Unter allen gemeinsamen Vielfachen von j gibt es immer das kleinste, in dieser Fall es ist 90. Diese Nummer wird angerufen am wenigstengemeinsames Vielfaches (LCM).

LCM ist immer eine natürliche Zahl, die größer sein muss als die größte der Zahlen, für die sie definiert ist.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM). Eigenschaften.

Kommutativität:

Assoziativität:

Insbesondere wenn und teilerfremde Zahlen sind, dann gilt:

Kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier ganzer Zahlen m und n ein Teiler aller anderen gemeinsamen Vielfachen ist m und n. Außerdem die Menge der gemeinsamen Vielfachen m, n fällt mit der Menge der Vielfachen für LCM( m, n).

Die Asymptotik für kann durch einige zahlentheoretische Funktionen ausgedrückt werden.

So, Tschebyscheff-Funktion. Und auch:

Dies folgt aus der Definition und den Eigenschaften der Landau-Funktion g(n).

Was folgt aus dem Gesetz der Verteilung Primzahlen.

Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM).

NOC( ein, b) kann auf verschiedene Arten berechnet werden:

1. Wenn der größte gemeinsame Teiler bekannt ist, können Sie seine Beziehung zum LCM verwenden:

2. Die kanonische Zerlegung beider Zahlen in Primfaktoren sei bekannt:

wo p 1 ,...,p k sind verschiedene Primzahlen, und d 1 ,...,dk und e 1 ,...,ek sind nicht negative ganze Zahlen (sie können Null sein, wenn die entsprechende Primzahl nicht in der Zerlegung enthalten ist).

Dann LCM ( ein,B) wird nach folgender Formel berechnet:

Mit anderen Worten, die LCM-Entwicklung enthält alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlenentwicklungen enthalten sind ein, b, und der größte der beiden Exponenten dieses Faktors wird genommen.

Beispiel:

Die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen lässt sich auf mehrere aufeinanderfolgende Berechnungen des LCM zweier Zahlen reduzieren:

Regel. Um das LCM einer Reihe von Zahlen zu finden, benötigen Sie:

- Zahlen in Primfaktoren zerlegen;

- Übertragen Sie die größte Erweiterung in die Faktoren des gewünschten Produkts (das Produkt der Faktoren des eine große Anzahl von den gegebenen) und dann Faktoren aus der Zerlegung anderer Zahlen hinzufügen, die in der ersten Zahl nicht oder weniger oft vorkommen;

- Das resultierende Produkt der Primfaktoren ist LCM gegebenen Zahlen.

Alle zwei oder mehr natürliche Zahlen haben ihr eigenes NOC. Wenn die Zahlen keine Vielfachen voneinander sind oder in der Erweiterung nicht die gleichen Faktoren haben, dann ist ihr LCM gleich dem Produkt dieser Zahlen.

Die Primfaktoren der Zahl 28 (2, 2, 7) wurden mit einem Faktor 3 (der Zahl 21) ergänzt, das resultierende Produkt (84) ist die kleinste Zahl, die durch 21 und 28 teilbar ist.

Primfaktoren nai mehr 30 mit einem Faktor 5 der Zahl 25 ergänzt wurde, ist das resultierende Produkt 150 größer als die größte Zahl 30 und durch alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar. Dies ist das kleinstmögliche Produkt (150, 250, 300...), von dem alle gegebenen Zahlen Vielfache sind.

Die Zahlen 2,3,11,37 sind Primzahlen, also ist ihr LCM gleich dem Produkt der gegebenen Zahlen.

Regel. Um das LCM von Primzahlen zu berechnen, müssen Sie alle diese Zahlen miteinander multiplizieren.

Andere Option:

Um das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) mehrerer Zahlen zu finden, benötigen Sie:

1) Stellen Sie jede Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren dar, zum Beispiel:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) Schreiben Sie die Potenzen aller Primfaktoren auf:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) Schreiben Sie alle Primteiler (Multiplikatoren) jeder dieser Zahlen auf;

4) wähle den größten Grad von jeder von ihnen, der in allen Erweiterungen dieser Zahlen gefunden wird;

5) multipliziere diese Kräfte.

Beispiel. Finden Sie das LCM der Zahlen: 168, 180 und 3024.

Lösung. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Wir schreiben die größten Potenzen aller Primteiler aus und multiplizieren sie:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Betrachten Sie drei Möglichkeiten, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.

Finden durch Factoring

Der erste Weg besteht darin, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, indem die gegebenen Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden.

Angenommen, wir müssen das LCM von Zahlen finden: 99, 30 und 28. Dazu zerlegen wir jede dieser Zahlen in Primfaktoren:

Damit die gesuchte Zahl durch 99, 30 und 28 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass sie alle Primfaktoren dieser Teiler enthält. Dazu müssen wir alle Primfaktoren dieser Zahlen mit der höchsten vorkommenden Potenz potenzieren und miteinander multiplizieren:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

LCM (99, 30, 28) = 13 860. Keine andere Zahl kleiner als 13 860 ist ohne Rest durch 99, 30 oder 28 teilbar.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache gegebener Zahlen zu finden, musst du sie in Primfaktoren zerlegen, dann jeden Primfaktor mit dem größten Exponenten nehmen, mit dem er vorkommt, und diese Faktoren miteinander multiplizieren.

Da teilerfremde Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren haben, ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich dem Produkt dieser Zahlen. Zum Beispiel sind drei Zahlen: 20, 49 und 33 teilerfremd. So

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Das gleiche sollte man tun, wenn man nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen verschiedener Primzahlen sucht. Zum Beispiel LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Finden durch Auswahl

Die zweite Möglichkeit besteht darin, das kleinste gemeinsame Vielfache durch Anpassen zu finden.

Beispiel 1. Wenn die größte der gegebenen Zahlen durch andere gegebene Zahlen ohne Rest teilbar ist, dann ist das LCM dieser Zahlen gleich der größeren von ihnen. Zum Beispiel vier Zahlen: 60, 30, 10 und 6. Jede von ihnen ist durch 60 teilbar, daher:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

In anderen Fällen wird zum Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen das folgende Verfahren verwendet:

  1. Bestimme aus den gegebenen Zahlen die größte Zahl.
  2. Als nächstes finden wir Zahlen, die Vielfache der größten Zahl sind, multiplizieren sie mit natürlichen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge und prüfen, ob die verbleibenden gegebenen Zahlen durch das resultierende Produkt teilbar sind.

Beispiel 2. Gegeben sind drei Zahlen 24, 3 und 18. Bestimmen Sie die größte von ihnen – dies ist die Zahl 24. Als nächstes finden Sie die Zahlen, die Vielfache von 24 sind, und prüfen Sie, ob jede von ihnen durch 18 und durch 3 teilbar ist:

24 1 = 24 ist durch 3 teilbar, aber nicht durch 18 teilbar.

24 2 = 48 - teilbar durch 3, aber nicht teilbar durch 18.

24 3 \u003d 72 - teilbar durch 3 und 18.

Also LCM(24, 3, 18) = 72.

Finden durch sequentielles Finden LCM

Der dritte Weg besteht darin, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, indem sukzessive das LCM gefunden wird.

Das LCM zweier gegebener Zahlen ist gleich dem Produkt dieser Zahlen dividiert durch ihren größten gemeinsamen Teiler.

Beispiel 1. Finden Sie das LCM von zwei gegebenen Zahlen: 12 und 8. Bestimmen Sie ihren größten gemeinsamen Teiler: GCD (12, 8) = 4. Multiplizieren Sie diese Zahlen:

Wir unterteilen das Produkt in ihren GCD:

Also LCM(12, 8) = 24.

Um das LCM von drei oder mehr Zahlen zu finden, wird das folgende Verfahren verwendet:

  1. Zuerst wird das LCM von zwei beliebigen der gegebenen Zahlen gefunden.
  2. Dann das LCM des gefundenen kleinsten gemeinsamen Vielfachen und das dritte angegebene Nummer.
  3. Dann das LCM des resultierenden kleinsten gemeinsamen Vielfachen und die vierte Zahl und so weiter.
  4. Somit wird die LCM-Suche fortgesetzt, solange Zahlen vorhanden sind.

Beispiel 2. Lassen Sie uns das LCM von drei gegebenen Zahlen finden: 12, 8 und 9. Wir haben bereits das LCM der Zahlen 12 und 8 im vorherigen Beispiel gefunden (dies ist die Zahl 24). Es bleibt das kleinste gemeinsame Vielfache von 24 und der dritten gegebenen Zahl - 9 zu finden. Bestimmen Sie ihren größten gemeinsamen Teiler: ggT (24, 9) = 3. Multiplizieren Sie LCM mit der Zahl 9:

Wir unterteilen das Produkt in ihren GCD:

Also LCM(12, 8, 9) = 72.

Mit dem Online-Rechner können Sie schnell den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder einer beliebigen anderen Anzahl von Zahlen finden.

Rechner zum Finden von GCD und NOC

Finden Sie GCD und NOC

GCD und NOC gefunden: 5806

So verwenden Sie den Rechner

  • Geben Sie Zahlen in das Eingabefeld ein
  • Bei Eingabe falscher Zeichen wird das Eingabefeld rot hinterlegt
  • Drücken Sie die Schaltfläche "Find GCD and NOC"

So geben Sie Zahlen ein

  • Zahlen werden durch Leerzeichen, Punkte oder Kommas getrennt eingegeben
  • Die Länge der eingegebenen Nummern ist nicht begrenzt, also wird es nicht schwierig sein, ggT und LCM von langen Zahlen zu finden

Was ist NOD und NOK?

Größter gemeinsamer Teiler aus mehreren Zahlen ist die größte natürliche ganze Zahl, durch die alle ursprünglichen Zahlen ohne Rest teilbar sind. Der größte gemeinsame Teiler wird mit abgekürzt GCD.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches mehrere Nummern ist kleinste Zahl, die durch jede der ursprünglichen Zahlen ohne Rest teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache wird mit abgekürzt NOK.

Wie überprüfe ich, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl teilbar ist?

Um herauszufinden, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere teilbar ist, können Sie einige Eigenschaften der Teilbarkeit von Zahlen verwenden. Indem man sie dann kombiniert, kann man die Teilbarkeit durch einige von ihnen und ihre Kombinationen überprüfen.

Einige Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen

1. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 2
Um festzustellen, ob eine Zahl durch zwei teilbar ist (ob sie gerade ist), genügt es, die letzte Ziffer dieser Zahl zu betrachten: Wenn sie gleich 0, 2, 4, 6 oder 8 ist, dann ist die Zahl gerade, was bedeutet, dass es durch 2 teilbar ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 2 teilbar ist.
Lösung: Schauen Sie sich die letzte Ziffer an: 8 bedeutet, dass die Zahl durch zwei teilbar ist.

2. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 3
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Um also festzustellen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, müssen Sie die Summe der Ziffern berechnen und prüfen, ob sie durch 3 teilbar ist. Auch wenn sich herausstellt, dass die Summe der Ziffern sehr groß ist, können Sie denselben Vorgang wiederholen wieder.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 3 teilbar ist.
Lösung: wir zählen die Summe der Ziffern: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ist durch 3 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl durch drei teilbar ist.

3. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 5
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine Null oder eine Fünf ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 5 teilbar ist.
Lösung: Schauen Sie sich die letzte Ziffer an: 8 bedeutet, dass die Zahl NICHT durch fünf teilbar ist.

4. Zeichen der Teilbarkeit einer Zahl durch 9
Dieses Zeichen ist dem Zeichen der Teilbarkeit durch drei sehr ähnlich: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 9 teilbar ist.
Lösung: wir berechnen die Quersumme: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ist durch 9 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl durch neun teilbar ist.

So finden Sie GCD und LCM von zwei Zahlen

So finden Sie den ggT zweier Zahlen

Die meisten auf einfache Weise Die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen besteht darin, alle möglichen Teiler dieser Zahlen zu finden und den größten von ihnen auszuwählen.

Betrachten Sie diese Methode am Beispiel des Auffindens von GCD(28, 36) :

  1. Wir faktorisieren beide Zahlen: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
  2. Wir finden gemeinsame Teiler, also solche, die beide Zahlen haben: 1, 2 und 2.
  3. Wir berechnen das Produkt dieser Faktoren: 1 2 2 \u003d 4 - das ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 28 und 36.

So finden Sie das LCM von zwei Zahlen

Es gibt zwei gängige Methoden, um das kleinste Vielfache von zwei Zahlen zu finden. Die erste Möglichkeit besteht darin, dass Sie die ersten Vielfachen zweier Zahlen aufschreiben und dann eine solche Zahl auswählen, die beiden Zahlen gemeinsam und gleichzeitig die kleinste ist. Und die zweite besteht darin, den ggT dieser Zahlen zu finden. Betrachten wir es einfach.

Um das LCM zu berechnen, müssen Sie das Produkt der ursprünglichen Zahlen berechnen und es dann durch den zuvor gefundenen ggT dividieren. Lassen Sie uns das LCM für die gleichen Zahlen 28 und 36 finden:

  1. Finden Sie das Produkt der Zahlen 28 und 36: 28 36 = 1008
  2. ggT(28, 36) ist bereits als 4 bekannt
  3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Finden von GCD und LCM für mehrere Zahlen

Den größten gemeinsamen Teiler findet man für mehrere Zahlen, nicht nur für zwei. Dazu werden die nach dem größten gemeinsamen Teiler zu suchenden Zahlen in Primfaktoren zerlegt, dann wird das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren dieser Zahlen gefunden. Um den ggT mehrerer Zahlen zu finden, können Sie auch die folgende Beziehung verwenden: ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c).

Eine ähnliche Beziehung gilt auch für das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Beispiel: Finden Sie GCD und LCM für die Zahlen 12, 32 und 36.

  1. Zuerst faktorisieren wir die Zahlen: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
  2. Lassen Sie uns gemeinsame Faktoren finden: 1, 2 und 2 .
  3. Ihr Produkt ergibt ggT: 1 2 2 = 4
  4. Nun suchen wir das LCM: Dazu finden wir zuerst das LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
  5. Um das NOC von allen zu finden drei Nummern, müssen Sie ggT(96, 36) finden: 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , ggT = 1 2 2 3 = 12 .
  6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

So finden Sie LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches)

Das gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen ist die ganze Zahl, die durch beide gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar ist.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen ist die kleinste aller ganzen Zahlen, die durch beide gegebenen Zahlen gerade und ohne Rest teilbar ist.

Methode 1. Sie können das LCM wiederum für jede der angegebenen Zahlen finden, indem Sie in aufsteigender Reihenfolge alle Zahlen ausschreiben, die sich ergeben, indem Sie sie mit 1, 2, 3, 4 usw. multiplizieren.

Beispiel für Nummer 6 und 9.
Wir multiplizieren die Zahl 6 nacheinander mit 1, 2, 3, 4, 5.
Wir bekommen: 6, 12, 18 , 24, 30
Wir multiplizieren die Zahl 9 nacheinander mit 1, 2, 3, 4, 5.
Wir bekommen: 9, 18 , 27, 36, 45
Wie Sie sehen können, ist das LCM für die Zahlen 6 und 9 18.

Diese Methode ist praktisch, wenn beide Zahlen klein sind und es einfach ist, sie mit einer Folge von ganzen Zahlen zu multiplizieren. Es gibt jedoch Zeiten, in denen Sie das LCM für zweistellige oder finden müssen dreistellige Zahlen, und auch wenn es drei oder sogar mehr Anfangszahlen gibt.

Methode 2. Sie können das LCM finden, indem Sie die ursprünglichen Zahlen in Primfaktoren zerlegen.
Nach der Zerlegung ist es notwendig, aus der resultierenden Reihe von Primfaktoren zu streichen gleichen Nummern. Die restlichen Zahlen der ersten Zahl sind der Faktor für die zweite, und die restlichen Zahlen der zweiten Zahl sind der Faktor für die erste.

Beispiel für die Nummer 75 und 60.
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 75 und 60 kann man finden, ohne ein Vielfaches dieser Zahlen hintereinander auszuschreiben. Dazu zerlegen wir 75 und 60 in Primfaktoren:
75 = 3 * 5 * 5 und
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Wie Sie sehen, kommen die Faktoren 3 und 5 in beiden Zeilen vor. Wir „streichen“ sie gedanklich durch.
Lassen Sie uns die verbleibenden Faktoren aufschreiben, die in der Erweiterung jeder dieser Zahlen enthalten sind. Bei der Zerlegung der Zahl 75 haben wir die Zahl 5 belassen, und bei der Zerlegung der Zahl 60 haben wir 2 * 2 übrig gelassen
Um also das LCM für die Zahlen 75 und 60 zu bestimmen, müssen wir die verbleibenden Zahlen aus der Erweiterung von 75 (das ist 5) mit 60 multiplizieren, und die verbleibenden Zahlen aus der Erweiterung der Zahl 60 (das ist 2 * 2 ) mit 75 multiplizieren. Das heißt, zum leichteren Verständnis sagen wir, dass wir "kreuzweise" multiplizieren.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
So haben wir das LCM für die Zahlen 60 und 75 gefunden. Das ist die Zahl 300.

Beispiel. Bestimmen Sie LCM für die Zahlen 12, 16, 24
In diesem Fall werden unsere Aktionen etwas komplizierter. Aber zuerst zerlegen wir wie immer alle Zahlen in Primfaktoren
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Um das LCM korrekt zu bestimmen, wählen wir die kleinste aller Zahlen aus (das ist die Zahl 12) und gehen der Reihe nach deren Faktoren durch, wobei wir sie durchstreichen, wenn mindestens eine der anderen Zahlenreihen den gleichen Faktor hat, der noch nicht gekreuzt wurde aus.

Schritt 1 . Wir sehen, dass 2 * 2 in allen Zahlenreihen vorkommt. Wir streichen sie durch.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Schritt 2. In den Primfaktoren der Zahl 12 bleibt nur die Zahl 3. Aber sie ist in den Primfaktoren der Zahl 24 vorhanden. Wir streichen die Zahl 3 aus beiden Zeilen, während für die Zahl 16 keine Aktion erwartet wird .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Wie Sie sehen können, haben wir bei der Zerlegung der Zahl 12 alle Zahlen "durchgestrichen". Damit ist die Feststellung des NOC abgeschlossen. Es bleibt nur, seinen Wert zu berechnen.
Für die Zahl 12 nehmen wir die restlichen Faktoren von der Zahl 16 (am nächsten in aufsteigender Reihenfolge)
12 * 2 * 2 = 48
Das ist das NOK

Wie Sie sehen können, war es in diesem Fall etwas schwieriger, das LCM zu finden, aber wenn Sie es für drei oder mehr Zahlen finden müssen, können Sie es mit dieser Methode schneller tun. Allerdings sind beide Wege, das LCM zu finden, richtig.

Um zu verstehen, wie das LCM berechnet wird, sollten Sie zunächst die Bedeutung des Begriffs "Multiple" bestimmen.


Ein Vielfaches von A ist eine natürliche Zahl, die ohne Rest durch A teilbar ist, also können 15, 20, 25 usw. als Vielfache von 5 betrachtet werden.


Es kann eine begrenzte Anzahl von Teilern einer bestimmten Zahl geben, aber es gibt unendlich viele Vielfache.


Ein gemeinsames Vielfaches natürlicher Zahlen ist eine Zahl, die ohne Rest durch sie teilbar ist.

So finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen

Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von Zahlen (zwei, drei oder mehr) ist die kleinste natürliche Zahl, die durch alle diese Zahlen ohne Rest teilbar ist.


Um das NOC zu finden, können Sie mehrere Methoden verwenden.


Bei kleinen Zahlen ist es praktisch, alle Vielfachen dieser Zahlen in einer Zeile aufzuschreiben, bis unter ihnen ein gemeinsames gefunden wird. Vielfache werden im Protokoll mit einem Großbuchstaben K gekennzeichnet.


Vielfache von 4 können beispielsweise so geschrieben werden:


K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)


K(6) = (12, 18, 24, ...)


Sie können also sehen, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 4 und 6 die Zahl 24 ist. Diese Eingabe wird wie folgt durchgeführt:


LCM(4, 6) = 24


Wenn die Zahlen groß sind, finden Sie das gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen, dann ist es besser, eine andere Methode zur Berechnung des LCM zu verwenden.


Um die Aufgabe abzuschließen, ist es notwendig, die vorgeschlagenen Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen.


Zuerst müssen Sie die Erweiterung der größten Zahl in einer Zeile und darunter den Rest aufschreiben.


In der Erweiterung jeder Zahl kann es sein andere Menge Multiplikatoren.


Lassen Sie uns zum Beispiel die Zahlen 50 und 20 in Primfaktoren zerlegen.




Bei der Entwicklung der kleineren Zahl sollte man die Faktoren, die bei der Entwicklung der ersten größten Zahl fehlen, unterstreichen und dann ergänzen. Im vorgestellten Beispiel fehlt eine Zwei.


Jetzt können wir das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 50 berechnen.


LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


Somit ist das Produkt der Primfaktoren der größeren Zahl und der Faktoren der zweiten Zahl, die nicht in die Zerlegung der größeren Zahl einbezogen werden, das kleinste gemeinsame Vielfache.


Um das LCM von drei oder mehr Zahlen zu finden, sollten alle wie im vorherigen Fall in Primfaktoren zerlegt werden.


Als Beispiel kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 16, 24, 36 finden.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


Somit wurden nur zwei Zweien aus der Zerlegung von sechzehn nicht in die Faktorisierung einer größeren Zahl einbezogen (eine ist in der Zerlegung von vierundzwanzig).


Daher müssen sie zur Zerlegung einer größeren Zahl hinzugefügt werden.


LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


Es gibt Sonderfälle bei der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Wenn also eine der Zahlen ohne Rest durch eine andere teilbar ist, dann ist die größere dieser Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache.


Zum Beispiel wären NOCs von zwölf und vierundzwanzig vierundzwanzig.


Wenn es notwendig ist, das kleinste gemeinsame Vielfache von teilerfremden Zahlen zu finden, die nicht dieselben Teiler haben, dann ist ihr LCM gleich ihrem Produkt.


Beispiel: LCM(10, 11) = 110.

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