Die entgegengesetzte Zahl ist ein Pluszeichen. Negative Zahlen

In diesem Artikel werden wir studieren entgegengesetzte Zahlen. Hier werden wir die Frage beantworten, welche Zahlen Gegensätze genannt werden, wir werden zeigen, wie die Gegenzahl bezeichnet wird angegebene Nummer und Beispiele geben. Wir werden auch die wichtigsten Ergebnisse auflisten, die für entgegengesetzte Zahlen charakteristisch sind.

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Definition von Gegenzahlen

Machen Sie sich ein Bild von den Gegenzahlen, das hilft uns.

Wir markieren auf der Koordinatenlinie einen Punkt M, der sich vom Ursprung unterscheidet. Wir können zum Punkt M gelangen, indem wir sukzessive vom Ursprung in Richtung des Punktes M ein einzelnes Segment verschieben, sowie seine Zehntel-, Hundertstel- und so weiter-Anteile. Wenn wir die gleiche Anzahl von Einheitssegmenten und ihre Anteile in der entgegengesetzten Richtung beiseite legen, gelangen wir zu einem anderen Punkt, der mit dem Buchstaben N bezeichnet wird. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das unsere Aktionen veranschaulicht (siehe Abbildung unten). Um zum Punkt M auf der Koordinatenlinie zu gelangen, legen wir in negativer Richtung zwei Einheitssegmente und 4 Segmente beiseite, die ein Zehntel der Einheit ausmachen. Lassen Sie uns nun zwei Einzelsegmente und 4 Segmente, die ein Zehntel eines Einzelsegments in positiver Richtung ausmachen, beiseite legen. Also erhalten wir Punkt N.

Wir sind fast bereit, die Definition von Gegenzahlen zu akzeptieren, es bleibt nur noch, ein paar Nuancen zu diskutieren.

Wir wissen, dass jeder Punkt der Koordinatenlinie einer einzelnen reellen Zahl entspricht, daher entsprechen sowohl der Punkt M als auch der Punkt N einigen reellen Zahlen. Die Zahlen, die den Punkten M und N entsprechen, heißen also entgegengesetzt.

Unabhängig davon muss über den Punkt O - den Ursprung - gesprochen werden. Der Punkt O entspricht der Zahl 0 . Die Zahl Null wird als das Gegenteil von sich selbst betrachtet.

Jetzt können wir sprechen Definition von Gegenzahlen.

Definition.

Zwei Zahlen werden als entgegengesetzt bezeichnet, wenn die diesen Zahlen entsprechenden Punkte auf der Koordinatenlinie erreicht werden können, indem die gleiche Anzahl von Einheitssegmenten vom Ursprung in entgegengesetzte Richtungen beiseite gelegt wird, sowie Bruchteile eines Einheitssegments, denen die Zahl 0 entgegengesetzt ist selbst.

Notation von Gegenzahlen und Beispielen

Es ist Zeit einzusteigen Notation für entgegengesetzte Zahlen.

Um das Gegenteil einer bestimmten Zahl anzuzeigen, verwenden Sie das Minuszeichen, das vor der angegebenen Zahl steht. Das Gegenteil von a wird als −a geschrieben. Beispielsweise steht die Zahl 0,24 der Zahl −0,24 gegenüber, und die Zahl −25 ist die entgegengesetzte Zahl −(−25) .

Lassen Sie uns bringen Beispiele für Gegenzahlen. Das Zahlenpaar 17 und −17 (oder −17 und 17) ist ein Beispiel für entgegengesetzte ganze Zahlen. Die Zahlen und sind die entgegengesetzten rationalen Zahlen. Andere Beispiele für entgegengesetzte rationale Zahlen sind die Zahlenpaare 5,126 und −5,126. sowie 0,(1201) und −0,(1201) . Es bleibt, einige Gegenbeispiele zu nennen

Betrachten wir ein solches Beispiel. Es ist notwendig, nacheinander zu berechnen: .

Sie können die zu addierenden Zahlen neu anordnen und dann die verbleibenden subtrahieren: .

Aber das ist nicht immer bequem. Zum Beispiel können wir den Saldo der Dinge in einem Lagerhaus berechnen und müssen das Zwischenergebnis kennen.

Sie können Aktionen nacheinander ausführen: .

Das wissen wir, was bedeutet, dass das Ergebnis eine Subtraktion von der Zahl sein wird. Das heißt, es muss subtrahiert werden, aber noch nicht von irgendetwas. Wenn es etwas zu subtrahieren gibt, subtrahieren Sie:

Aber wir können "betrügen" und benennen. Daher werden wir ein neues Objekt einführen - negative Zahlen.

Wir haben eine solche Operation bereits durchgeführt - in der Natur gab es zum Beispiel die Zahl "" auch nicht, aber wir haben ein solches Objekt eingeführt, um die Aufzeichnung von Aktionen zu erleichtern.

Stellen Sie sich vor, wir würden angewiesen, in einem Sportlager Bälle auszugeben und entgegenzunehmen. Wir müssen Aufzeichnungen führen. Sie können in Worten schreiben:

Ausgestellt , Akzeptiert , Ausgestellt , Akzeptiert , ... (Siehe Abb. 1.)

Reis. 1. Buchhaltung

Stimmen Sie zu, wenn Sie mehrmals am Tag ausstellen und empfangen müssen, ist die Aufzeichnung nicht sehr praktisch.

Sie können das Blatt in zwei Spalten unterteilen, eine - Akzeptiert, die andere - Ausgestellt. (Siehe Abbildung 2.)

Reis. 2. Vereinfachte Notation

Der Eintrag wurde kürzer. Aber hier ist das Problem: Wie kann man verstehen, wie viele Bälle zu einem bestimmten Zeitpunkt genommen (oder verschenkt) wurden?

Zur Erfassung kann folgende Überlegung herangezogen werden: Wenn wir Bälle aus dem Lager herausgeben, nimmt ihre Anzahl im Lager ab, und wenn wir sie erhalten, nimmt sie zu.

Aber wie schreibt man "den Ball rausgegeben"? Sie können ein solches Objekt eingeben: .

Dieses Objekt ermöglicht es uns, die Bewegung der Kugeln in der Reihenfolge, in der sie passiert sind, mathematisch aufzuzeichnen:

Betrachten wir ein weiteres Beispiel.

Auf dem Konto Ihres Telefons Rubel. Du bist online gegangen, und es hat Rubel gekostet. Es stellte sich eine Schuld von Rubel heraus. Der Betreiber könnte so aufschreiben: "Der Kunde schuldet Rubel." Sie haben Rubel gesetzt. Der Betreiber hat die Schulden abgezogen. Es stellte sich auf dem Konto von Rubel heraus.

Es ist jedoch bequem, sowohl Transaktionen als auch Geld auf dem Konto mit den Zeichen "" und "" zu erfassen. (Siehe Abbildung 3.)

Reis. 3. Bequeme Aufnahme

Wir geben eine negative Zahl ein, um das Ergebnis der Subtraktion einer größeren Zahl von einer kleineren aufzuschreiben: .

Das Addieren einer negativen Zahl entspricht dem Subtrahieren: .

Um negative Zahlen von den zuvor behandelten positiven Zahlen zu unterscheiden, haben wir uns darauf geeinigt, ein Minuszeichen davor zu setzen: .

Könntest du ohne sie auskommen? Ja, du kannst. In jeder spezifischen Situation würden wir die Wörter „zurück“, „verschuldet“ und so weiter verwenden. Aber sie, diese Worte, wären anders.

Und so haben wir ein universelles praktisches Werkzeug. Einer für alle diese Fälle.

Wir können eine Analogie mit einem Auto ziehen. Es besteht aus eine große Anzahl Teile, von denen viele nicht einzeln benötigt werden, aber zusammen ermöglichen sie Ihnen zu fahren. In ähnlicher Weise sind negative Zahlen ein Werkzeug, das zusammen mit anderen mathematischen Werkzeugen das Rechnen erleichtert und die Lösung und Erfassung vieler Probleme vereinfacht.

Also haben wir ein neues Objekt eingeführt - negative Zahlen. Wozu dienen sie im Leben?

Erinnern wir uns zunächst an die Rolle positiver Zahlen:

Menge: z.B. Holz, Liter Milch. (Siehe Abbildung 4.)

Reis. 4. Menge

Ordnung: Beispielsweise werden Häuser mit positiven Zahlen nummeriert. (Siehe Abbildung 5.)

Reis. 5. Bestellung

Name: z.B. Spielernummer. (Siehe Abbildung 6.)

Reis. 6. Nummer als Name

Schauen wir uns nun die Funktionen negativer Zahlen an:

Bezeichnung der fehlenden Menge. Die Zahl ist nicht negativ. Aber eine negative Zahl wird verwendet, um anzuzeigen, dass der Betrag subtrahiert wird. Zum Beispiel können wir aus einer Flasche gießen und es als schreiben. (Siehe Abbildung 7.)

Reis. 7. Bezeichnung der fehlenden Menge

Bestellung. Manchmal wird während der Nummerierung Null ausgewählt und Sie müssen Objekte auf beiden Seiten der Null nummerieren. Zum Beispiel die Stockwerke unter dem -ten im Untergeschoss. (Siehe Abbildung 8.) Oder eine Temperatur, die unter dem ausgewählten Nullpunkt liegt. (Siehe Abbildung 9.)

Reis. 8. Etage unterm, im Souterrain

Reis. 9. Negative Zahlen auf der Thermometerskala

Dennoch ist der Hauptzweck negativer Zahlen ein Werkzeug zur Vereinfachung mathematischer Berechnungen.

Aber damit negative Zahlen zu einem so praktischen Werkzeug werden, müssen Sie:

Eine negative Temperatur ist eine Temperatur unter Null, unter Null. Aber was ist Nulltemperatur? Um die Temperatur zu messen, aufzuzeichnen, müssen Sie die Maßeinheit und den Referenzpunkt auswählen. Beides ist eine Vereinbarung. Wir verwenden die Celsius-Skala, die nach dem Wissenschaftler benannt ist, der sie vorgeschlagen hat. (Siehe Abbildung 10.)

Reis. 10. Anders Celsius

Als Bezugspunkt wird hier der Gefrierpunkt von Wasser gewählt. Alles darunter ist markiert negativer Wert. (Siehe Abbildung 11.)

Reis. elf.

Aber es ist klar, dass wenn wir einen anderen Bezugspunkt nehmen, eine andere Null, dann kann die negative Temperatur in Celsius in dieser anderen Skala positiv sein. Und so passiert es. In der Physik ist die Kelvin-Skala weit verbreitet. Sie ist ähnlich wie die Celsius-Skala, nur wird der Wert der tiefstmöglichen Temperatur als Null gewählt (niedriger gibt es nicht). Dieser Wert wird als „absoluter Nullpunkt“ bezeichnet. In Celsius ist das ungefähr. (Siehe Abbildung 12.)

Reis. 12. Zwei Skalen

Das heißt, es gibt überhaupt keine negativen Werte in der Kelvin-Skala.

Ja, unser Sommer .

Und frostig .

Das heißt, eine negative Temperatur ist eine Konvention, eine Vereinbarung von Menschen, sie so zu nennen.

Fangen wir bei Null an. Die Null nimmt unter den Zahlen eine Sonderstellung ein.

Wie wir bereits besprochen haben, können wir der Einfachheit halber die Subtraktion von sieben als negative Zahl bezeichnen. Da es Subtraktion bedeutet, belassen wir das Zeichen "" als Vorzeichen. Lass uns eine neue Nummer anrufen.

Das heißt, "" ist eine Zahl, die sich zu Null addiert: . Und in beliebiger Reihenfolge. Dies ist die Definition einer negativen (oder entgegengesetzten) Zahl.

Für jede Zahl, die wir zuvor studiert haben, führen wir eine neue Zahl ein, negativ, deren Vorzeichen ein Minuszeichen davor ist. Das heißt, für jede vorherige Zahl erschien ihr negativer Zwilling. Solche Zwillinge werden Gegenzahlen genannt. (Siehe Abbildung 13.)

Reis. dreizehn. Gegenteilige Zahlen

Also, Definition: Zwei Zahlen heißen Gegenzahlen, deren Summe gleich Null ist.

Äußerlich unterscheiden sie sich nur durch das Zeichen "".

Wenn beispielsweise einer Variablen das Zeichen "" vorangestellt ist, was bedeutet das? Dies bedeutet nicht, dass dieser Wert negativ ist. Das Minuszeichen bedeutet, dass dieser Wert der Zahl entgegengesetzt ist: . Welche dieser Zahlen positiv, welche negativ ist, wissen wir nicht.

Wenn, dann .

Wenn (negative Zahl), dann (positive Zahl).

Was ist das Gegenteil von Null? Das wissen wir bereits.

Wenn Null zu einer beliebigen Zahl hinzugefügt wird, einschließlich Null, ändert sich die ursprüngliche Zahl nicht. Das heißt, die Summe zweier Nullen ist gleich Null: . Aber Zahlen, deren Summe Null ist, sind entgegengesetzt. Null ist also das Gegenteil von sich selbst.

Wir haben also die Definition negativer Zahlen gegeben und herausgefunden, warum sie benötigt werden.

Wenden wir uns nun etwas Zeit der Technologie zu. Im Moment müssen wir lernen, wie man das Gegenteil für jede Zahl findet:

Im letzten Teil der Lektion werden wir über die neuen Namen und Bezeichnungen von Mengen sprechen, die nach der Einführung negativer Zahlen erscheinen.

In diesem Artikel werden wir versuchen herauszufinden, was Gegenzahlen sind. Wir erklären, was sie im Allgemeinen sind, zeigen, welche Art von Bezeichnungen für sie verwendet werden, und analysieren einige Beispiele. Im letzten Teil des Materials listen wir die Haupteigenschaften von Gegenzahlen auf.

Um das eigentliche Konzept der Gegensätze zu erklären, müssen wir zuerst eine Koordinatenlinie zeichnen. Nehmen wir einen Punkt M darauf (nur nicht ganz am Anfang der Referenz). Sein Abstand zu Null entspricht einer bestimmten Anzahl von Einheitssegmenten, die wiederum in Zehntel und Hundertstel unterteilt werden können. Wenn wir den gleichen Abstand vom Ursprung in der Richtung messen, die derjenigen entgegengesetzt ist, in der sich M befindet, können wir zu einem anderen ähnlichen Punkt gelangen. Nennen wir es N. Zum Beispiel von M bis Null - der Abstand beträgt 2, 4 Einheitssegmente und von N bis Null - auch. Schau dir das Bild an:

Denken Sie daran, dass jedem Punkt auf der Koordinatenlinie nur eine reelle Zahl zugeordnet werden kann. In diesem Fall entsprechen unsere Punkte M und N bestimmten Zahlen, die als entgegengesetzt bezeichnet werden. Jede Zahl hat eine Gegenzahl, außer der Null. Da dies der Ursprung ist, wird es als das Gegenteil von sich selbst betrachtet.

Schreiben wir die Definition dessen auf, was Gegenzahlen sind:

Bestimmung 1

Gegenteil Zahlen werden genannt, die solchen Punkten auf der Koordinatenlinie entsprechen, die wir erreichen, wenn wir den gleichen Abstand vom Ursprung in markieren verschiedene Richtungen(positiv und negativ). Null steht im Ursprung und ist sich selbst entgegengesetzt.

Wie werden Gegenzahlen angezeigt?

In diesem Unterabschnitt führen wir die grundlegende Notation für solche Zahlen ein. Wenn wir eine bestimmte Zahl haben und das Gegenteil davon aufschreiben müssen, verwenden wir dafür ein Minus.

Beispiel 1

Nehmen wir an, unsere Zahl ist a, also ist ihr Gegenteil a (minus a). Auf die gleiche Weise ist das Gegenteil für 0,26 -0,26 und für 145 ist es -145. Wenn die ursprüngliche Zahl selbst negativ ist, zum Beispiel - 9, dann schreiben wir das Gegenteil als - (- 9) .

Welche anderen Beispiele für Gegenzahlen können Sie nennen? Nehmen wir ganze Zahlen: 12 und - 12. Gegenteilige rationale Zahlen sind 3 2 11 und - 3 2 11, sowie 8, 128 und - 8, 128, 0, (18901) und - 0, (18901) usw. Irrationale Zahlen können auch entgegengesetzt sein, z. Werte numerische Ausdrücke 2 + 1 und - 2 + 1 .

Gegenteil irrationale Zahlen wird auch e und -e sein.

Grundlegende Eigenschaften von Gegenzahlen

Solche Zahlen haben bestimmte Eigenschaften. Nachfolgend geben wir eine Liste mit Erläuterungen.

Bestimmung 2

1. Wenn die ursprüngliche Zahl positiv ist, ist ihr Gegenteil negativ.

Diese Aussage ist offensichtlich und folgt aus der obigen Grafik: Solche Zahlen befinden sich auf gegenüberliegenden Seiten der Referenz auf der Koordinatenlinie. Wenn Sie die Konzepte positiver und negativer Zahlen vergessen haben, sehen Sie sich das Material an, das wir zuvor veröffentlicht haben.

Aus dieser Regel lässt sich eine weitere sehr wichtige Aussage ableiten. In wörtlicher Form lautet die Notation wie folgt: Für jedes positive a gilt − (− a) = a . Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, warum dies wichtig ist.

Nehmen wir die Zahl 5. Mit Hilfe der Koordinatenlinie können Sie sehen, dass die Zahl ihr entgegengesetzt ist - 5 und umgekehrt. Unter Verwendung der oben angegebenen Notation schreiben wir die Zahl gegenüber - 5 als - (- 5). Es stellt sich heraus, dass - (- 5) \u003d 5. Daher die Schlussfolgerung: Gegensätzliche Zahlen unterscheiden sich nur durch das Vorhandensein eines Minuszeichens.

2. Die folgende Eigenschaft wird gewöhnlich Symmetrieeigenschaft genannt. Es kann auch aus der Definition von Gegenzahlen abgeleitet werden. Es klingt so:

Bestimmung 3

Wenn eine Zahl a das Gegenteil von b ist, dann ist b das Gegenteil von a.

Offensichtlich bedarf diese Behauptung keiner weiteren Beweise.

3. Die dritte Eigenschaft von Gegenzahlen besagt:

Bestimmung 4

Jede reelle Zahl hat nur eine Gegenzahl.

Diese Aussage folgt daraus, dass die Punkte der Koordinatenlinie nicht vielen Zahlen gleichzeitig entsprechen können.

Bestimmung 5

4. Module mit entgegengesetzten Zahlen sind gleich.

Dies ergibt sich aus der Moduldefinition. Es ist logisch, dass die Punkte auf der Linie, die allen gegenüberliegenden Zahlen entsprechen, den gleichen Abstand vom Bezugspunkt haben.

Bestimmung 6

5. Wenn wir entgegengesetzte Zahlen addieren, erhalten wir 0.

In wörtlicher Form sieht diese Aussage wie a + (− a) = 0 aus.

Beispiel 2

Hier sind Beispiele für solche Berechnungen:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Wie Sie sehen können, funktioniert diese Regel für alle Zahlen – ganzzahlig, rational, irrational usw.

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Ein interessantes Konzept aus dem Schulunterricht sind Gegenzahlen, die sowohl mathematisch als auch geometrisch betrachtet werden können. Das Verständnis dieses Themas vereinfacht das Studium der Mathematik und ermöglicht es Ihnen, einige Aufgaben schnell zu bewältigen. Daher werden wir überlegen, welche Zahlen als Gegensätze bezeichnet werden und welche Regeln für sie gelten.

Was ist die Essenz des Begriffs?

Um die Bedeutung von Gegenzahlen zu verstehen, wenden wir uns für einen Moment der Geometrie zu. Lassen Sie uns eine Koordinatenlinie zeichnen und den Nullpunkt darauf markieren und dann zwei weitere Markierungen auf der Linie setzen - zum Beispiel "2" auf der rechten Seite und "-2" auf der linken Seite von Null. Natürlich ist von beiden Punkten der Abstand zum Ursprung genau gleich - und das lässt sich leicht durch Messungen verifizieren. "2" und "-2" haben den gleichen Abstand von Null, aber in unterschiedliche Richtungen - bzw. sie sind einander völlig entgegengesetzt.

Das ist der Punkt. Zahlen können beliebig groß oder klein, ganz oder gebrochen sein. Jeder von ihnen hat jedoch eine bestimmte Anzahl, die seine ausmacht komplettes Gegenteil. Die Definition kann wie folgt gegeben werden - wenn auf der Koordinatenlinie von zwei Punkten auf beiden Seiten der Null ein gleicher Abstand zum Ursprung festgelegt werden kann - diese Punkte oder vielmehr die ihnen entsprechenden Zahlen sind entgegengesetzt .

Welche Regeln lassen sich aus der Definition ableiten?

Es lohnt sich, sich einige unbedingte Aussagen zum betrachteten Thema zu merken:

• Das Prinzip der Gegensätze für zwei Zahlen funktioniert in beide Richtungen. Zum Beispiel ist die Zahl 3 der Zahl -3 entgegengesetzt - und daher ist die Zahl -3 nur der Zahl 3 entgegengesetzt und keiner anderen.
• Eine Zahl kann nicht zwei Gegensätze haben – es gibt immer nur einen.
• Zahlen können einander entgegengesetzt sein. verschiedene Vorzeichen. Wenn die Zahl positiv ist, hat die entgegengesetzte Zahl ein Minuszeichen - zum Beispiel 5 und -5. Dasselbe funktioniert in Rückseite- Bei einer Zahl mit Minuszeichen ist das Gegenteil immer diejenige mit Pluszeichen - zum Beispiel -6 und 6.
• Zwei entgegengesetzte Zahlen haben denselben Absolutwert oder Modul. Mit anderen Worten, wenn für die Nummer 4

Definition von Gegenzahlen

Definition von Gegenzahlen:

Zwei Zahlen heißen entgegengesetzt, wenn sie sich nur im Vorzeichen unterscheiden.

Beispiele für Gegenzahlen

Beispiele für Gegenzahlen.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Von hier aus ist es klar, wie man die der gegebenen Zahl entgegengesetzte Zahl findet: Ändern Sie einfach das Vorzeichen der Zahl.

Das Gegenteil von 3 ist die Zahl minus drei.

Beispiel. Die Zahlen sind das Gegenteil der Daten.

Gegeben: Zahlen 1; 5; acht; 9.

Finden Sie entgegengesetzte Zahlen zu gegeben.

Um dieses Problem zu lösen, ändern Sie einfach die Vorzeichen gegebenen Zahlen:

Lassen Sie uns eine Tabelle mit entgegengesetzten Zahlen erstellen:

Die Zahl gegenüber Null

Das Gegenteil von Null ist Null selbst.

Das Gegenteil von 0 ist also 0.

Gegenteilige ganze Zahlen

Entgegengesetzte ganze Zahlen unterscheiden sich nur in Vorzeichen.

Beispiele für entgegengesetzte ganze Zahlen.

10 -10
20 -20
125 -125

Ein Paar entgegengesetzter Zahlen

Wenn von Gegenzahlen gesprochen wird, ist immer ein Paar von Gegenzahlen gemeint.

Eine Zahl ist das Gegenteil einer anderen Zahl. Und jede Zahl hat nur eine Gegenzahl.

Zahlen gegenüber natürlichen zahlen

Den natürlichen Zahlen entgegengesetzte Zahlen sind negative ganze Zahlen.

Lassen Sie uns eine Tabelle mit Gegenzahlen für die ersten fünf natürlichen Zahlen erstellen:

Summe der Gegenzahlen

Die Summe der Gegenzahlen ist Null. Gegensätzliche Zahlen unterscheiden sich schließlich nur im Vorzeichen.