اعداد طبیعی. اعداد صحیح

ریاضیات از فلسفه عمومیحدود قرن ششم قبل از میلاد e.، و از همان لحظه راهپیمایی پیروزمندانه او در سراسر جهان آغاز شد. هر مرحله از توسعه چیز جدیدی را معرفی کرد - شمارش ابتدایی تکامل یافت، به حساب دیفرانسیل و انتگرال تبدیل شد، قرن ها تغییر کردند، فرمول ها بیشتر و بیشتر گیج کننده شدند و لحظه ای فرا رسید که "پیچیده ترین ریاضیات آغاز شد - همه اعداد از آن ناپدید شدند." اما اساس چه بود؟

آغاز زمان

اعداد طبیعی همراه با اولین عملیات ریاضی ظاهر شدند. یک بار یک ستون فقرات، دو خار، سه خار ... آنها به لطف دانشمندان هندی ظاهر شدند که اولین موقعیت را استنباط کردند.

کلمه "موقعیت" به این معنی است که مکان هر رقم در یک عدد کاملاً مشخص است و با دسته بندی آن مطابقت دارد. به عنوان مثال، اعداد 784 و 487 یکسان هستند، اما اعداد معادل نیستند، زیرا اولی شامل 7 صدها می شود، در حالی که دومی تنها 4 را شامل می شود. نوآوری هندی ها توسط اعراب انتخاب شد، آنها اعداد را به ارقام رساندند. شکلی که اکنون می شناسیم.

در زمان های قدیم اعداد داده می شد معنای عرفانیفیثاغورث معتقد بود که این عدد به همراه عناصر اساسی - آتش، آب، خاک، هوا، زمینه ساز خلقت جهان است. اگر همه چیز را فقط از جنبه ریاضی در نظر بگیریم، پس یک عدد طبیعی چیست؟ میدان اعداد طبیعی با N نشان داده می شود و یک سری نامتناهی از اعداد صحیح و مثبت است: 1، 2، 3، … + ∞. صفر مستثنی شده است. این عمدتا برای شمارش اقلام و نشان دادن ترتیب استفاده می شود.

در ریاضیات چیست؟ بدیهیات Peano

فیلد N میدان پایه ای است که ریاضیات ابتدایی بر آن تکیه دارد. با گذشت زمان، زمینه های اعداد صحیح، گویا،

کار ریاضیدان ایتالیایی جوزپه پیانو ساختار بیشتر حساب را ممکن کرد، به رسمیت آن رسید و راه را برای نتیجه گیری های بیشتر که فراتر از میدان N بود هموار کرد.

یک عدد طبیعی چیست، قبلاً مشخص شد زبان سادهتعریف ریاضی بر اساس بدیهیات Peano در زیر مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

• یک عدد طبیعی در نظر گرفته می شود.
• عددی که بعد از یک عدد طبیعی می آید یک عدد طبیعی است.
• قبل از یک عدد طبیعی وجود ندارد.
• اگر عدد b هم بعد از عدد c و هم از عدد d باشد، c=d.
• اصل استقرا، که به نوبه خود نشان می دهد که یک عدد طبیعی چیست: اگر گزاره ای که به یک پارامتر بستگی دارد برای عدد 1 درست باشد، آنگاه فرض می کنیم که برای عدد n از میدان اعداد طبیعی N نیز کار می کند. این عبارت برای n=1 از میدان اعداد طبیعی N نیز صادق است.

عملیات اساسی برای حوزه اعداد طبیعی

از آنجایی که فیلد N اولین مورد برای محاسبات ریاضی شد، هر دو حوزه تعریف و محدوده مقادیر تعدادی از عملیات زیر به آن اشاره دارند. آنها بسته هستند و نه. تفاوت اصلی این است که عملیات بسته تضمین شده است که نتیجه ای را در مجموعه N باقی می گذارد، صرف نظر از اینکه چه اعدادی درگیر می شوند. همین که طبیعی باشند کافی است. نتیجه برهمکنش‌های عددی باقی‌مانده دیگر چندان واضح نیست و مستقیماً به نوع اعدادی که در عبارت دخیل هستند بستگی دارد، زیرا ممکن است با تعریف اصلی در تضاد باشد. بنابراین، عملیات بسته:

• جمع - x + y = z، که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
• ضرب - x * y = z، که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
• توان - x y، که در آن x، y در فیلد N گنجانده شده است.

عملیات باقی مانده که ممکن است نتیجه آنها در چارچوب تعریف "عدد طبیعی چیست" وجود نداشته باشد، به شرح زیر است:

خواص اعداد متعلق به فیلد N

تمام استدلال های ریاضی بعدی بر اساس ویژگی های زیر خواهد بود که بی اهمیت ترین، اما نه کمتر مهم هستند.

• خاصیت جابجایی جمع x + y = y + x است که در آن اعداد x، y در فیلد N گنجانده شده است.
• خاصیت جابجایی ضرب x * y = y * x است که اعداد x، y در فیلد N قرار می گیرند.
• خاصیت انجمنی جمع (x + y) + z = x + (y + z) است که در آن x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.
• خاصیت تداعی ضرب (x * y) * z = x * (y * z) است که در آن اعداد x، y، z در فیلد N قرار می گیرند.
• ویژگی توزیع - x (y + z) = x * y + x * z، که در آن اعداد x، y، z در فیلد N گنجانده شده است.

جدول فیثاغورث

یکی از اولین گام‌ها در دانش دانش‌آموزان از کل ساختار ریاضیات ابتدایی، پس از اینکه خودشان فهمیدند کدام اعداد طبیعی نامیده می‌شوند، جدول فیثاغورث است. می توان آن را نه تنها از نظر علمی، بلکه به عنوان یک اثر علمی ارزشمند به شمار آورد.

این جدول ضرب در طول زمان دستخوش تغییراتی شده است: صفر از آن حذف شده است و اعداد از 1 تا 10 بدون در نظر گرفتن ترتیب (صدها، هزاران ...) خود را نشان می دهند. جدولی است که عناوین سطرها و ستون ها اعداد است و محتویات خانه های محل تقاطع آنها برابر حاصلضرب آنهاست.

در عمل تدریس در دهه‌های اخیر، نیاز به حفظ جدول فیثاغورثی «به ترتیب» احساس می‌شود، یعنی اول حفظ می‌شود. ضرب در 1 حذف شد زیرا نتیجه 1 یا بیشتر بود. در همین حال، در جدول با چشم غیر مسلح، می توانید یک الگو را ببینید: حاصل ضرب اعداد یک پله رشد می کند که برابر با عنوان خط است. بنابراین، فاکتور دوم به ما نشان می دهد که چند بار باید اولین مورد را مصرف کنیم تا محصول مورد نظر را بدست آوریم. این سیستم بسیار راحت‌تر از سیستمی است که در قرون وسطی انجام می‌شد: حتی با درک اینکه یک عدد طبیعی چیست و چقدر بی‌اهمیت است، مردم موفق شدند شمارش روزمره خود را با استفاده از یک سیستم مبتنی بر توان دو پیچیده کنند.

زیر مجموعه به عنوان مهد ریاضیات

در این لحظهمیدان اعداد طبیعی N تنها به عنوان یکی از زیرمجموعه های اعداد مختلط در نظر گرفته می شود، اما این باعث نمی شود ارزش آنها در علم کم شود. عدد طبیعی اولین چیزی است که کودک با مطالعه خودش و جهان. یک انگشت، دو انگشت ... به لطف او، یک فرد شکل می گیرد تفکر منطقیو همچنین توانایی تعیین علت و استنتاج معلول، راه را برای کشفیات بزرگ هموار می کند.

MBOU لیسیوم شماره 000

انشا در مورد ریاضیات با موضوع

"اعداد صحیح"

تکمیل شد:

دانش آموز کلاس پنجم

موروزوف وانیا

بررسی شد:

معلم ریاضی

نووسیبیرسک، 2012

مقدمه - 3

چرا به اعداد طبیعی نیاز داریم - 4

انواع اعداد طبیعی - 5

نتیجه گیری - 6

ادبیات مورد استفاده - 7

مقدمه

امروزه مردم نمی توانند بدون اعداد کار کنند. اعداد همه جا ما را احاطه کرده اند، ما در هر دقیقه از زندگی خود با آنها روبرو می شویم. از مجموعه عظیم اعداد، ساده ترین گروه است اعداد صحیحکه با آن حساب خود را شروع می کنیم.

هدف: دریابید که به چه نوع اعداد طبیعی می توان تقسیم کرد.

چرا به اعداد طبیعی نیاز داریم؟

از اعداد طبیعی برای شمارش اجسام استفاده می شود. هر عدد طبیعی را می توان با استفاده از ده رقم نوشت: 0، 1.2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. اعداد در ساخت اعداد "آجر" هستند. برای نوشتن یک عدد می توان از یک یا چند رقم استفاده کرد. چنین نمادی از اعداد اعشاری نامیده می شود، زیرا فقط از 10 رقم مختلف استفاده می شود.

دنباله تمام اعداد طبیعی نامیده می شود طبیعی کنار هم : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

سریال طبیعینامتناهی است، آغازی دارد، اما پایانی ندارد، یعنی بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد، همیشه می توانید عدد طبیعی را پیدا کنید که بزرگتر باشد.

کوچکترین عدد طبیعی یک (1) است و هر عدد بعدی 1 بیشتر از عدد قبلی است.

معنای یک رقم به جایگاه آن در نماد عدد بستگی دارد. مثلاً عدد 4 به این معناست: 4 یکان اگر در آخرین مکان در مدخل اعداد (در جای یکها) باشد 4 ده اگر در جای ماقبل آخر (در محل ده ها) باشد 4 صدها اگر در. مقام سوم از پایان (در مکان صدها).

عدد 0 به معنای عدم وجود واحدهای این رقم در نماد اعشاری عدد است. همچنین برای نشان دادن عدد "صفر" عمل می کند. این عدد به معنای "هیچ" است. امتیاز 0:3 یک مسابقه فوتبال نشان می دهد که تیم اول حتی یک گل هم به حریف نخورده است.

به یاد داشته باشید که صفر یک عدد طبیعی نیست. این بدان معنی است که صفر خود یک عدد طبیعی نیست، اما اغلب برای نوشتن اعداد طبیعی استفاده می شود تا نشان دهد که هیچ یک، ده، یا صد، وجود ندارد.

انواع اعداد طبیعی

اگر رکورد یک عدد طبیعی از یک علامت - یک رقم تشکیل شده باشد، نامیده می شود بدون ابهام. به عنوان مثال اعداد 1، 5، 8 تک رقمی هستند.

اگر رکورد یک عدد از دو کاراکتر - دو رقمی تشکیل شده باشد، آنگاه فراخوانی می شود دو رقمی. به عنوان مثال اعداد 14، 33، 28، 95 دو رقمی هستند.

به همین ترتیب برای تعداد کاراکترهای موجود در شماره داده شدهبه اعداد دیگر نام دهید: اعداد 386، 555، 951 - سه رقمی; شماره های 1346، 5787، 9999 - چهار رقمیو غیره.

به اعداد دو رقمی، سه رقمی، چهار رقمی، پنج رقمی و ... می گویند مبهم. برای راحتی درک و خواندن اعداد چند رقمی، آنها از سمت راست به گروه های سه رقمی تقسیم می شوند (سمت چپ ترین گروه می تواند شامل یک یا دو رقم باشد). به عنوان مثال: , 1 250.

این گروه ها نامیده می شوند کلاس ها. سه رقم اول در سمت راست کلاس واحدها را تشکیل می دهند، سه رقم بعدی - کلاس هزاران و به دنبال آن کلاس های میلیون ها، میلیاردها و غیره.

هزار برابر است با هزار واحد (1000). 1 هزار یا 1000 ثبت می شود.

یک میلیون هزار هزار (1000 هزار) است. ثبت شده است: 1 میلیون یا 1

یک میلیارد هزار میلیون (1000 میلیون) است. نوشته شده: 1 میلیارد یا 1000.

عدد را در نظر بگیرید

این عدد دارای 286 واحد در کلاس واحدها، n واحد در کلاس میلیون ها و 15 واحد در کلاس میلیاردها است.

نام کلاس واحدها و همچنین کلاسی که هر سه رقم آن صفر است را تلفظ نکنید.

15 میلیارد و 389 میلیون و 286

نتیجه.

اکنون می توان با اطمینان گفت که اعداد طبیعی را می توان به چند نوع تقسیم کرد. و هنگام خواندن اعداد طبیعی، باید بسیار مراقب باشید.

منابع:

2. http://www. *****/lessons/5/1.html

دو رویکرد برای تعریف اعداد طبیعی وجود دارد:

• شمارش (شماره گذاری)موارد ( اولین, دومین, سوم, چهارم, پنجم…);
• اعداد طبیعی - اعدادی که وقتی بوجود می آیند تعیین مقدارموارد ( 0 مورد, 1 مورد, 2 مورد, 3 مورد, 4 مورد, 5 مورد…).

در مورد اول، سری اعداد طبیعی از یک شروع می شود، در مورد دوم - از صفر. در مورد ترجیح رویکرد اول یا دوم (یعنی صفر به عنوان یک عدد طبیعی در نظر گرفته شود یا خیر) نظر مشترکی برای اکثر ریاضیدانان وجود ندارد. اکثریت قریب به اتفاق منابع روسی به طور سنتی رویکرد اول را اتخاذ کرده اند. برای مثال، رویکرد دوم در نوشته‌های نیکلاس بورباکی، جایی که اعداد طبیعی به‌عنوان کاردینالیته‌های مجموعه‌های متناهی تعریف می‌شوند، اتخاذ شده است.

واقعیت اساسی این است که این بدیهیات اساساً به طور منحصر به فرد اعداد طبیعی را تعیین می کنند (ماهیت طبقه بندی سیستم بدیهیات Peano). یعنی می توان ثابت کرد (رجوع کنید و همچنین برهانی کوتاه) که اگر (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))و (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N)))،(\tilde (1))،(\tilde (S))))- دو مدل برای سیستم بدیهیات Peano ، پس آنها لزوماً هم شکل هستند ، یعنی یک نقشه برداری معکوس وجود دارد (bijection) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N))))به طوری که f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))و f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)))برای همه x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N)).

بنابراین، کافی است به عنوان یک مدل خاص مجموعه اعداد طبیعی را ثابت کنیم.

صفر به عنوان یک عدد طبیعی

گاهی، به ویژه در ادبیات خارجی و ترجمه، بدیهیات اول و سوم پیانو جای یک را با صفر می گیرد. در این حالت صفر یک عدد طبیعی در نظر گرفته می شود. هنگامی که بر حسب کلاس های مجموعه های معادل تعریف می شود، صفر طبق تعریف یک عدد طبیعی است. دور انداختن آن به طور خاص غیرطبیعی خواهد بود. علاوه بر این، این امر ساخت و کاربرد بیشتر نظریه را به طور قابل توجهی پیچیده می کند، زیرا در اکثر ساختارها صفر، مانند مجموعه خالی، چیزی جدا شده نیست. مزیت دیگر در نظر گرفتن صفر به عنوان یک عدد طبیعی این است که N (\displaystyle \mathbb (N))یک مونوئید تشکیل می دهد.

در ادبیات روسی، صفر معمولاً از تعداد اعداد طبیعی حذف می شود ( 0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N))) و مجموعه اعداد طبیعی با صفر نشان داده می شود N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)). اگر در تعریف اعداد طبیعی صفر گنجانده شود، مجموعه اعداد طبیعی به صورت نوشته می شود N (\displaystyle \mathbb (N))، و بدون صفر - به عنوان N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*)).

در ادبیات بین المللی ریاضی با توجه به موارد فوق و به منظور جلوگیری از ابهامات، مجموعه ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \))معمولاً مجموعه اعداد صحیح مثبت نامیده می شود و نشان داده می شود Z + (\displaystyle \mathbb (Z) _(+)). بسیاری از ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \))اغلب به مجموعه اعداد صحیح غیر منفی گفته می شود و نشان داده می شود Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\geqslant 0)).

بنابراین، اعداد طبیعی نیز بر اساس مفهوم مجموعه، طبق دو قاعده معرفی می شوند:

به اعدادی که به این شکل داده می شوند، ترتیبی می گویند.

اجازه دهید چند اعداد ترتیبی اول و اعداد طبیعی مربوط به آنها را شرح دهیم:

مقدار مجموعه اعداد طبیعی

اندازه یک مجموعه نامتناهی با مفهوم "قدرت یک مجموعه" مشخص می شود که تعمیم تعداد عناصر یک مجموعه محدود به مجموعه های نامتناهی است. در اندازه (یعنی توان)، مجموعه اعداد طبیعی بزرگتر از هر مجموعه متناهی است، اما کمتر از هر بازه ای است، به عنوان مثال، بازه (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). مجموعه اعداد طبیعی همان کاردینالیتی را با مجموعه اعداد گویا دارد. به مجموعه ای با همان کاردینالیته مجموعه اعداد طبیعی، مجموعه قابل شمارش می گویند. بنابراین، مجموعه اصطلاحات هر دنباله ای قابل شمارش است. در همان زمان، دنباله ای وجود دارد که در آن هر عدد طبیعی بی نهایت بار رخ می دهد، زیرا مجموعه اعداد طبیعی را می توان به عنوان یک اتحادیه قابل شمارش از مجموعه های قابل شمارش متمایز نشان داد (به عنوان مثال، N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

عملیات روی اعداد طبیعی

عملیات بسته (عملیاتی که از مجموعه اعداد طبیعی نتیجه نمی گیرند) روی اعداد طبیعی شامل عملیات حسابی زیر است:

علاوه بر این، دو عملیات دیگر در نظر گرفته شده است (از دیدگاه رسمی، آنها عملیات روی اعداد طبیعی نیستند، زیرا برای آنها تعریف نشده اند. همهجفت اعداد (گاهی وجود دارند، گاهی اوقات وجود ندارند)):

لازم به ذکر است که عملیات جمع و ضرب بنیادی هستند. به طور خاص، حلقه اعداد صحیح دقیقاً از طریق عملیات باینری جمع و ضرب تعریف می شود.

خواص اساسی

• جابجایی جمع:

• جابجایی ضرب:

• تداعی اضافه:

• همبستگی ضرب:

• توزیع ضرب با توجه به جمع:

ساختار جبری

جمع مجموعه اعداد طبیعی را به یک نیمه گروه با وحدت تبدیل می کند، نقش وحدت توسط 0 . ضرب همچنین مجموعه اعداد طبیعی را به یک نیمه گروه با واحد تبدیل می کند، در حالی که عنصر هویت است 1 . با بسته شدن تحت عملیات جمع- تفریق و ضرب- تقسیم، گروه هایی از اعداد صحیح به دست می آیند. Z (\displaystyle \mathbb (Z))و اعداد مثبت گویا Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*))به ترتیب.

تعاریف نظری مجموعه ها

اجازه دهید از تعریف اعداد طبیعی به عنوان کلاس های هم ارزی مجموعه های محدود استفاده کنیم. اگر کلاس هم ارزی یک مجموعه را نشان دهیم آ، تولید شده توسط دوجکشن ها، با استفاده از براکت های مربع: [ آ]، عملیات حسابی اساسی به شرح زیر تعریف می شود:

می توان نشان داد که عملیات به دست آمده روی کلاس ها به درستی معرفی شده اند، یعنی به انتخاب عناصر کلاس بستگی ندارند و با تعاریف استقرایی مطابقت دارند.

همچنین ببینید

یادداشت

ادبیات

• ویگودسکی ام. یا.کتاب راهنمای ریاضیات ابتدایی. - M.: Nauka، 1978.
  • انتشار مجدد: M.: AST، 2006،