История возникновения отрицательных чисел презентация. Понятие отрицательного числа в современной математике и в истории
Ещё несколько тысяч лет назад потребности в измерении привели к расширению множества натуральных чисел, которыми до тех пор пользовались люди. Были введены новые, дробные числа, с помощью которых стало возможно производить измерения (длин, площадей, веса и пр.) с любой степенью точности, допускаемой инструментами.
Не так обстояло дело с отрицательными числами. В практической деятельности людей не ощущалась потребность во введении отрицательных чисел, и они прочно вошли в математику и получили применение лишь в XVII веке.
Но в самой математике потребность в расширении числового множества путём введения новых, отрицательных чисел ощущалась уже давно, и по мере развития математической науки эта потребность становилась всё более настоятельной.
Так, ещё в III веке греческий математик Диофант при выполнении некоторых преобразований, например
фактически уже пользовался правилом умножения отрицательных чисел, которое он выражал так: «Отнимаемое, умноженное на прибавляемое, даёт в результате отнимаемое. Отнимаемое, умноженное на отнимаемое, даёт в результате прибавляемое».
Из этой формулировки видно, что Диофант ещё не признавал самостоятельного существования отрицательных чисел; для него они были прежними числами, «отнимаемыми» от какого-либо другого числа. Поэтому, если, например, при решении уравнения получался отрицательный корень, Диофант его просто отбрасывал как «недопустимый».
Но уже индийский учёный Брамагупта (VII век) в своих вычислениях свободно пользовался отрицательными числами и давал им наглядное истолкование. Он обозначал имущество положительными числами, а долг - отрицательными.
В этой наглядной форме он давал и правила действий с рациональными. числами, например: «Сумма двух имуществ - имущество. Сумма двух долгов - долг. Сумма имущества и долга равна их разности, а если они равны, то нулю» и т. д.
Индийский же математик Бхаскара (XII век) пользуется степенью отрицательного числа. В его сочинении «Венец системы» говорится:
«Квадрат как положительного, так и отрицательного числа даёт положительное число, например:
В Европе математики XVI века хотя и пользовались иногда отрицательными числами, всё же называли их сложными» и «неясными», «меньшими, чем ничто» и т. п.
Лишь голландский математик Жирар (XVI-XVII века) пользуется отрицательными числами наравне с положительными. Так, решая уравнение
он приводит три его корня:
Бурное развитие естествознания и техники в XVII веке предъявляло повышенные требования и к математике, требовало её дальнейшего развития и усовершенствования математического аппарата. Неприменение отрицательных чисел создавало излишние трудности в математических вычислениях и преобразованиях. Начиная с XVII века отрицательные числа прочно входят в математику и находят практические применения. Французский философ и математик Декарт даёт наглядное истолкование чисел с помощью точек числовой оси. Он пользуется отрицательными числами для графического изображения различных процессов и алгебраических выражений.
И стория говорит о том, что люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла. Положительные числа долго трактовали как "прибыль", а отрицательные - как "долг", "убыток". Лишь в Древней Индии и Китае догадались вместо слов "долг в 10 юаней" писать просто "10 юаней", но рисовать эти иероглифы черной тушью. А знаков "+" и "-", о которых мы говорили, в древности не было ни для чисел, ни для действий.В Древнем Китае были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись. В Индии относились к отрицательным числам с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными. Бхасхара прямо писал: "Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел..." Не одобряли их долго и европейские математики, потому что истолкование "имущество-долг" вызывало недоумения и сомнения. В самом деле, можно "складывать" или "вычитать" имущества и долги, но какой реальный смысл может иметь"умножение" или "деление" имущества на долг?
Г реки тоже поначалу знаков не использовали, пока в III веке Диофант Александрийский не стал обозначать вычитание знаком .
Т ермины произошли от слов plus - «больше», minus - «меньше». Сначала действия обозначали первыми буквами p; m. Многие математики предпочитали или Возникновение современных знаков «+», «-» не совсем ясно. Знак «+», возможно, происходит от сокращенной записи et, т.е. «и». Впрочем, может быть он возник из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке «-», а при восстановлении запаса их перечеркивали, получался знак «+». А Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачеркнутым минусом!
С овременные знаки «+» и появились в Германии в последнее десятилетие XVв. в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (1489г.). Чех Ян Видман уже писал «+» и «-» для сложения и вычитания. А чуть позднее немецкий ученый Михель Штифель написал «Полную Арифметику», которая была напечатана в 1544 году, именно напечатана, а не написана от руки. В ней встречаются такие записи для чисел: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Числа первого вида он назвал «меньше, чем ничего» или «ниже, чем ничего». Числа второго вида назвал «больше, чем ничего» или «выше, чем ничего». Вам, конечно, понятны эти названия, потому что «ничего» - это 0. О+
О б этих числах всегда велись разговоры в ученых кругах. Предлагались и другие обозначения, придумывались изображения.
Объединенные знаки впервые встречаются у Жирара (1626г.) в форме .
Такая запись была вытеснена значками и . Вторично объединенные изобрел португалец да Кунья (1790), у которого они выглядели так: и .
Литература. Н.В. Александрова. Математические термины. Справочник. Москва «Высшая школа» 1978
Распечатать материал для стенда в кабинете, документ Word [
Рассмотрим, что такое отрицательные числа. Они входят во множество натуральных чисел и используются в математике для того, чтобы сделать вычитание такой же полноценной операцией, как и сложение. То есть, благодаря введению отрицательных чисел стало возможным не только вычитать из большего меньшее, но и наоборот. Все отрицательные числа меньше ноля и любого положительного числа. Они находятся на привычной всем оси координат слева от ноля. С отрицательными числами можно выполнять все те же арифметические действия, что и с положительными.
Особенности действий с отрицательными числами:
- произведения отрицательного числа на отрицательное будет положительным;
- произведение положительного на отрицательное будет отрицательным;
- при делении с остатком отрицательных чисел (или отрицательного и положительного числа) частное может отрицательными или положительным, остаток - всегда положительный.
Из истории отрицательных чисел
В античном мире (Древний Египет, Греция, Вавилон) отрицательные числа не использовались и отвергались как невозможные. Впервые их начали применять в Индии и Китае с 7 века нашей эры для обозначения долгов или недостачи в торговле. Но действия с отрицательными числами не были упорядочены. Индийский математик Брахмагупта начал рассматривать действия умножение и деление с ними чуть позже.
Пример использования отрицательного числа:
У купца было 10000 рублей. Он закупил товары на 8000. В остатке - 2000. Если же он закупит товаров на 12000, то останется должен 2000. А в его бухгалтерских записях эта сумма и отразится как отрицательное число -2000.
В Европе их начали применять в 1202 году. Математики Леонард Пизанский, Бомбелли, Жирар считали их пригодными для обозначения недостатка чего-либо, долгов. А вот знаменитый Паскаль отрицал их даже в 17 веке, и до конца жизни продолжал утверждать: "Ничто не может быть меньше, чем ничто (то есть ноль)". Окончательно теория по отрицательным числам была сформирована в 19 веке Уильямом Гамильтоном.
Известные отрицательные числа:
- − 273,15 °C Абсолютный нуль температуры по шкале Кельвина;
- − 1,602 176 565.10 −19 Кл. Величина заряда электрона;
- − 270,85 °C Температура космоса.
Запись отрицательных чисел
До сих пор в математике нет отдельного знака для обозначения отрицательного числа. Традиционно используемый "минус" одновременно является и знаком вычитания. А это алгебраически неверно и иногда вводит в заблуждение. А как было раньше? Например, в Китае для отрицательных чисел были специальные счетные палочки черного цвета и для положительных - красного. В Индии отрицательные числа отмечали красной горизонтальной чертой непосредственно над самим числом.
Человек изобрел число для того, чтобы как-то обозначать для себя и других результаты счета и измерения. Видимо, первые понятия о числе у людей появились еще в эпоху палеолита, но развились уже в неолите. Первой ступенькой в появлении чисел, видимо, стало осознание разделения меры на «один» и «много».
В Древнем мире впервые стали применяться специальные знаки для обозначения чисел: их изображения сохранились на глиняных табличках Междуречья, на египетских папирусах и так далее.
Математика развивалась дальше. И в различных странах стали формироваться свои особые, аутентичные и заметно отличные от прочих системы счисления. Даже школьнику сейчас известно, чем отличалось римское написание цифр и арабское. Цифры передавались из страны в страну, из культуры в культуру, как важное и ценное изобретение и наследие. Современные цифры, на которых построена как славянская, так и западная цивилизация – это цифры арабские, но заимствованные из Индии. Многие цифры, знакомые сейчас каждому, изобретены были в Индии, к примеру, цифра «0».
Деление чисел на положительные и отрицательные относится уже к разработкам математиков Средних веков. Опять-таки, отрицательные числа впервые стали применяться в Индии. Так купцам проще было рассчитывать убытки и долги. На то время арифметика уже была весьма разработанной прикладной сферой, и в свое развитие вступала алгебра. С введением Декартовой геометрии, его системы координат отрицательные числа прочно вошли в употребление. Отсюда они не выходят и по сей день.
Комплексные числа – это современное понятие, таковые числа зовутся еще «мнимыми числами» и выведены из формального решения кубических и квадратных уравнений. Их «отцом» был средневековый математик Джероламо Кардано. Во времена Декарта комплексные числа, как и отрицательные, прочно вошли в математический обиход.
Очень давняя и долгая. Так как отрицательные числа являются чем-то эфемерным, ненастоящим, люди долгое время не признавали их существования.
Все началось в Китае, примерно во II веке до н.э. Возможно, в Китае их знали и раньше, но первое упоминание относится именно к тому времени. Там стали применять отрицательные числа и считали их «долгами», при этом называли «имуществом». Той записи, которая существует сейчас, тогда не было, и отрицательные числа записывали черным цветом, а положительные красным.
Первое упоминание отрицательных чисел мы находим в книге «Математика в девяти главах» китайского ученого Чжан Цань.
Далее, в V-VI веках отрицательные числа стали использоваться достаточно широко в Китае и Индии. Правда, в Китае к ним, все-таки относились осторожно, старались их применение свести к минимуму, а в Индии, напротив, они использовались очень широко. Там с ними производились вычисления и отрицательные числа не казались чем-то непонятным.
Известны индийские ученые Брахмагупта Бхаскара (VII-VIII века), которые в своих учениях оставили подробные объяснения работе с отрицательными числами.
А в Древности, например, в Вавилоне и в Древнем Египте, отрицательные числа не использовали вовсе. А если при вычислении получалось отрицательное число, считалось, что решения нет.
Так и в Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что, если из 0 вычесть любое число, то ответом будет 0, так как ничто не может быть меньше нуля - пустоты.
Впервые в Европе свое внимание на отрицательные числа обратил Леонардо Пизанский (Фибоначчи). И описал их в своем произведении «Книга Абака» в 1202 году.
Позже, в 1544 году Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие отрицательных чисел и подробно описал действия с ними. «Нуль находится между абсурдными и истинными числами».
А в XVII веке математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на цифровой оси слева от нуля.
С этого времени отрицательные числа стали повсеместно использовать и признавать, хотя еще долгое время многие ученые отрицали их.
В 1831 году Гаусс называл отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными. А то, что не все действия с ними можно совершать не считал чем -то страшным, с дробями, например, тоже не все действия можно делать.
А в XIX веке Уильман Гамильтон и Герман Грассман создали полную законченную теорию отрицательных чисел. С этого времени отрицательные числа обрели свои права и сейчас уже никто не сомневается в их реальности.
