Împărțirea numerelor pare la 7. Semne de bază ale divizibilității

Matematica în clasa a VI-a începe cu studierea conceptului de divizibilitate și a semnelor de divizibilitate. Ele sunt adesea limitate la criteriile de divizibilitate cu următoarele numere:

• Pe 2 : ultima cifră trebuie să fie 0, 2, 4, 6 sau 8;
• Pe 3 : suma cifrelor numărului trebuie să fie divizibilă cu 3;
• Pe 4 : numărul format din ultimele două cifre trebuie să fie divizibil cu 4;
• Pe 5 : ultima cifră trebuie să fie 0 sau 5;
• Pe 6 : numărul trebuie să aibă semne de divizibilitate cu 2 și 3;
• Test de divizibilitate pentru 7 deseori ratat;
• De asemenea, rareori vorbesc despre testul de divizibilitate prin 8 , deși este similar cu criteriile de divizibilitate cu 2 și 4. Pentru ca un număr să fie divizibil cu 8, este necesar și suficient ca terminația din trei cifre să fie divizibilă cu 8.
• Test de divizibilitate pentru 9 Toată lumea știe: suma cifrelor unui număr trebuie să fie divizibilă cu 9. Ceea ce, însă, nu dezvoltă imunitate împotriva a tot felul de trucuri cu date pe care le folosesc numerologii.
• Test de divizibilitate pentru 10 , probabil cel mai simplu: numărul trebuie să se termine cu zero.
• Uneori, elevii de clasa a șasea sunt învățați despre testul de divizibilitate prin 11 . Trebuie să adăugați cifrele numărului care sunt în locuri pare și să scădeți numerele care sunt în locuri impare din rezultat. Dacă rezultatul este divizibil cu 11, atunci numărul în sine este divizibil cu 11.

Să luăm un număr. Îl împărțim în blocuri de câte 3 cifre fiecare (blocul din stânga poate conține una sau 2 cifre) și adunăm/scădem alternativ aceste blocuri.

Dacă rezultatul este divizibil cu 7, 13 (sau 11), atunci numărul în sine este divizibil cu 7, 13 (sau 11).

Această metodă, ca și o serie de trucuri matematice, se bazează pe faptul că 7x11x13 = 1001. Cu toate acestea, ce să faceți cu numerele de trei cifre, pentru care problema divizibilității, de asemenea, nu poate fi rezolvată fără diviziunea în sine.

Folosind testul universal de divizibilitate, este posibil să se construiască algoritmi relativ simpli pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 7 și alte numere „incomode”.

Test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 7
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 7, trebuie să aruncați ultima cifră din număr și să scădeți această cifră de două ori din rezultatul rezultat. Dacă rezultatul este divizibil cu 7, atunci numărul în sine este divizibil cu 7.

Exemplul 1:
E 238 divizibil cu 7?
23-8-8 = 7. Deci numărul 238 este divizibil cu 7.
Într-adevăr, 238 = 34x7

Această acțiune poate fi efectuată în mod repetat.
Exemplul 2:
Este 65835 divizibil cu 7?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 este divizibil cu 7 (dacă nu am fi observat acest lucru, am fi putut mai face un pas: 6-3-3 = 0, iar 0 este cu siguranță divizibil cu 7).

Aceasta înseamnă că numărul 65835 este divizibil cu 7.

Pe baza criteriului universal de divizibilitate, este posibil să se îmbunătățească criteriile de divizibilitate cu 4 și cu 8.

Test îmbunătățit pentru divizibilitate cu 4
Dacă jumătate din numărul de unități plus numărul de zeci este un număr par, atunci numărul este divizibil cu 4.

Exemplul 3
Este numărul 52 divizibil cu 4?
5+2/2 = 6, numărul este par, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu 4.

Exemplul 4
Este numărul 134 divizibil cu 4?
3+4/2 = 5, numărul este impar, ceea ce înseamnă că 134 nu este divizibil cu 4.

Test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 8
Dacă adăugați de două ori numărul de sute, numărul de zeci și jumătate din numărul de unități, iar rezultatul este divizibil cu 4, atunci numărul în sine este divizibil cu 8.

Exemplul 5
Este numărul 512 divizibil cu 8?
5*2+1+2/2 = 12, numărul este divizibil cu 4, ceea ce înseamnă că 512 este divizibil cu 8.

Exemplul 6
Este numărul 1984 divizibil cu 8?
9*2+8+4/2 = 28, numărul este divizibil cu 4, ceea ce înseamnă că 1984 este divizibil cu 8.

Test de divizibilitate cu 12- aceasta este unirea semnelor de divizibilitate cu 3 și 4. Același lucru funcționează pentru orice n care este produsul dintre coprime p și q. Pentru ca un număr să fie divizibil cu n (care este egal cu produsul pq,actih, astfel încât gcd(p,q)=1), trebuie să fie divizibil atât cu p, cât și cu q.

Totuși, fii atent! Să lucreze caracteristici compozite divizibilitate, factorii unui număr trebuie să fie copprimi. Nu poți spune că un număr este divizibil cu 8 dacă este divizibil cu 2 și 4.

Test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 13
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 13, trebuie să renunțați la ultima cifră din număr și să o adăugați de patru ori la rezultatul rezultat. Dacă rezultatul este divizibil cu 13, atunci numărul în sine este divizibil cu 13.

Exemplul 7
Este 65835 divizibil cu 8?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Numărul 43 nu este divizibil cu 13, ceea ce înseamnă că numărul 65835 nu este divizibil cu 13.

Exemplul 8
E 715 divizibil cu 13?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 este divizibil cu 13, ceea ce înseamnă că numărul 715 este divizibil cu 13.

Semne de divizibilitate cu 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 iar alte numere compuse care nu sunt puteri ale primelor sunt similare cu testele de divizibilitate cu 12. Verificăm divizibilitatea prin factori coprimi a acestor numere.

• Pentru 14: pentru 2 și pentru 7;
• Pentru 15: pentru 3 și pentru 5;
• Pentru 18: pe 2 și 9;
• Pentru 21: pe 3 și 7;
• Pentru 20: cu 4 și cu 5 (sau, cu alte cuvinte, ultima cifră trebuie să fie zero, iar penultima cifră trebuie să fie pară);
• Pentru 24: pentru 3 și pentru 8;
• Pentru 26: pe 2 și 13;
• Pentru 28: pe 4 și 7.

Exemplul 9
Este numărul 1984 divizibil cu 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 nu este divizibil cu 16, ceea ce înseamnă că 1984 nu este divizibil cu 16.

Exemplul 10
Este numărul 1526 divizibil cu 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 nu e divizibil cu 16, ceea ce înseamnă că 1526 nu este divizibil cu 16.

Un test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 17.
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 17, trebuie să aruncați ultima cifră din număr și să scădeți această cifră de cinci ori din rezultatul rezultat. Dacă rezultatul este divizibil cu 13, atunci numărul în sine este divizibil cu 13.

Exemplul 11
Este numărul 59772 divizibil cu 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 e divizibil cu 17, ceea ce înseamnă că numărul 59772 este divizibil cu 17.

Exemplul 12
Este numărul 4913 divizibil cu 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 e divizibil cu 17, ceea ce înseamnă că numărul 4913 este divizibil cu 17.

Un test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 19.
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 19, trebuie să adăugați de două ori ultima cifră la numărul rămas după ce ați renunțat la ultima cifră.

Exemplul 13
Este numărul 9044 divizibil cu 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 e divizibil cu 19, ceea ce înseamnă că numărul 9044 este divizibil cu 19.

Un test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 23.
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 23, trebuie să adăugați ultima cifră, mărită de 7 ori, la numărul rămas după eliminarea ultimei cifre.

Exemplul 14
Este numărul 208012 divizibil cu 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
De fapt, puteți observa deja că 253 este 23,

Matematica este cea mai mare stiinta antica, a fost și rămâne necesar oamenilor. Cuvântul matematică origine greacă. Înseamnă „știință”, „reflecție”.

În cele mai vechi timpuri, ei au încercat adesea să păstreze secrete cunoștințele și descoperirile. De exemplu, în școala lui Pitagora era interzis să împărtășească cunoștințele lor cu non-pitagoreenii.

Pentru încălcarea acestei reguli, unul dintre elevi, care a cerut schimbul liber de cunoștințe, Hippasus, a fost exclus din școală. Susținătorii lui Hippasus au început să fie numiți matematicieni, adică adepți ai științei. Toată lumea, fără excepție, începe să studieze bazele matematicii din primele clase de școală și în fiecare an cunoștințele lor se extind. Matematica a pătruns în toate ramurile cunoașterii - fizică, chimie, științe ale limbajului, medicină, astronomie etc. Matematicienii învață computerele să compună poezie și muzică, să măsoare dimensiunile atomilor și să proiecteze baraje, centrale electrice etc. O mulțime de lucruri interesante. poate fi invatat din matematica. Îmi place tema „Semne de divizibilitate”, pe care am studiat-o în clasa a VI-a și am decis să aflu mai multe despre acest subiect.

Scopul acestei lucrări este de a evidenția semnele de divizibilitate cu 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 25, 125.

Cunoscând semnele de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9, 10 din clasa 6, este ușor să derivăm semnele de divizibilitate cu 4, 6, 8, 12, 15, 25, 125.

Am combinat aceste semne într-un tabel.

cu 2 Acele și numai acele numere naturale care se termină cu cifre pare (0,2,4, 6,8) sunt divizibile cu 2.

cu 3 Acele și numai acele numere naturale a căror sumă de cifre este divizibilă cu 3 sunt divizibile cu 3

Acele și numai acele numere naturale sunt divizibile cu 4, ultimele două cifre ale cărora formează un număr divizibil cu 4

cu 5 Acele și numai acele numere naturale a căror notație se termină cu 0 sau 5 sunt divizibile cu 5.

cu 6 Acele și numai acele numere naturale care se termină cu o cifră pară sunt divizibile cu 6, iar suma cifrelor este divizibilă cu 3

cu 8 Acele și numai acele numere naturale sunt divizibile cu 8, ultimele trei cifre ale cărora formează un număr divizibil cu 8

cu 9 Acele și numai acele numere naturale a căror sumă de cifre este divizibilă cu 9 sunt divizibile cu 9

10 este divizibil cu 10, acele și numai acele numere naturale a căror notație se termină cu 0

cu 12 Acele și numai acele numere naturale sunt divizibile cu 12, ultimele două cifre ale cărora formează un număr divizibil cu 4, iar suma cifrelor numărului este divizibilă cu 3

cu 15 Acele și numai acele numere naturale sunt divizibile cu 15, a căror notație se termină cu 0 sau 5 și suma cifrelor este divizibilă cu 3

de 25. Pentru a număr natural conţinând cel puţin trei cifre, este divizibil cu 25, este necesar și suficient ca numărul format din ultimele două cifre să fie divizibil cu 25. Pentru ca un număr natural care conține cel puțin patru cifre să fie divizibil cu 125, este necesar și suficient ca numărul format din ultimele trei cifre să fie divizibil cu 125.

Semne de divizibilitate

În timp ce studiam diverse literaturi, am găsit un test de divizibilitate cu 11.

Un număr este divizibil cu 11 dacă diferența dintre suma cifrelor sale din locurile impare și suma cifrelor din locurile pare este divizibilă cu 11. (cifrele sunt numerotate de la stânga la dreapta sau de la dreapta la stânga). De exemplu, numărul 120340568.

Să găsim suma cifrelor sale în locurile impare 1+0+4+5+8=18 și în locurile pare 2+3+0+6=11.

Diferența dintre sumele găsite este 18-11=7.

7 nu este divizibil cu 11, ceea ce înseamnă că acest număr nu este divizibil cu 11.

Testul de divizibilitate cu 11 poate fi formulat în alt mod.

Dacă suma algebrică a cifrelor unui număr cu semne alternative este divizibilă cu 11, atunci numărul în sine este divizibil cu 11.

De exemplu: fără a efectua împărțirea, dovediți că numărul 86849796 este divizibil cu 11.

Rezolvare: Să facem o sumă algebrică de numere număr dat, începând cu cifra unităților și alternând semnele „+” și „-”.

6 – 9 + 7-9 + 4 – 8 + 6 – 8 = -11

11 e divizibil cu 11, ceea ce înseamnă că numărul 86849796 este divizibil cu 11.

Și iată un alt semn de divizibilitate cu 11.

Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu 11, trebuie să scazi numărul de unități din numărul de zeci și să vezi dacă această diferență este divizibilă cu 11.

Luați, de exemplu, numărul 583 și aplicați această caracteristică:

58-3=55; 55 este divizibil cu 11, ceea ce înseamnă că 583 este divizibil cu 11.

Să verificăm acum un număr din patru cifre.

De exemplu: 3597

359-7=352 nu este clar dacă este împărțit sau nu.

35-2=33; 33 e divizibil cu 11, ceea ce înseamnă că numărul 3597 este divizibil cu 11.

Semnele divizibilității cu 7 și 13 sunt interesante.

Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 7 sau 13, este necesar și suficient ca suma algebrică a numerelor care formează fețe de 3 cifre (începând cu cifra unităților), luată cu semnul „+” pentru fețele impare și cu semnul „-” pentru fețele pare, divizibil cu 7.

Fără a efectua împărțirea, dovediți că numărul 254390815 este divizibil cu 7.

Să descompunem numărul la 254.390.815. Să compunem suma algebrică a fețelor, începând de la ultima față și alternând semnele „+” și „-”.

Numărul 679 e divizibil cu 7, apoi numărul 254390815 e divizibil cu 7.

Fără a efectua împărțirea, dovediți că numărul 304954 este divizibil cu 13.

Să-l împărțim în fețele 304 și 954 și să compunem suma algebrică a fețelor 954-304=650.

Numărul 650 e divizibil cu 13, ceea ce înseamnă că 304954 este divizibil cu 13.

Și există un alt semn de divizibilitate, combinând numerele 7, 11, 13.

Numerele 7, 11, 13 sunt legate între ele prin misteriosul număr 7 *11*13=1001

1001 înseamnă 77 de zeci;

1001 este 143 șapte;

1001 este de 91 ori 11.

Iar numărul 1001 este numărul Șeherazadei.

După ce am pătruns în notația 7*11*13=1001, putem adăuga următoarele: luăm un anumit număr 235 și îl înmulțim cu 1001, obținem 235235.

Deoarece 1001 este divizibil cu 7, 11, 13, atunci numărul 235235 este divizibil cu 7, 11, 13. Urmează concluzia: numerele de forma abcabc sunt divizibile cu 7, 11, 13. Există, desigur, și alte semne de divizibilitate pe care încă nu o cunosc. Și că puteți utiliza tehnologia computerizată pentru a afla dacă un număr este divizibil cu un alt număr, dar numai că există astfel de semne de divizibilitate și, pentru a vă familiariza cu ele, trebuie să studiați literatură suplimentară și, după ce vă extindeți cunoștințele, obține o mare plăcere.

Să continuăm cunoașterea cu semnele de divizibilitate. Acum vom studia testul de divizibilitate cu 6. Să prezentăm mai întâi formularea acestuia. În continuare, să ne uităm la exemple de utilizare a testului de divizibilitate cu 6. După aceasta, vom demonstra testul de divizibilitate cu 6. În concluzie, să ne oprim asupra exemplelor în care se dovedește divizibilitatea cu 6 valori a unor expresii.

Navigare în pagină.

Test de divizibilitate cu 6, exemple

Formularea testului de divizibilitate cu 6 combină semnul divizibilității cu 2 și semnul divizibilității cu 3. Este după cum urmează: dacă o înregistrare a unui număr întreg se termină cu una dintre cifrele 0, 2, 4, 6 sau 8, iar suma cifrelor din înregistrarea numărului este divizibilă cu 3, atunci un astfel de număr este divizibil cu 6; dacă cel puțin una dintre condițiile specificate este încălcată, atunci numărul nu este divizibil cu 6. Cu alte cuvinte, un număr întreg este divizibil cu 6 dacă și numai dacă acel număr este divizibil cu 2 și 3.

Deci, testul divizibilității cu 6 se aplică în două etape:

• În prima etapă, se verifică divizibilitatea numărului cu 2. Pentru a face acest lucru, se ia în considerare ultima cifră din înregistrarea numărului. Dacă înregistrarea unui număr se termină cu numărul 2, atunci acest număr este divizibil cu 2, iar pentru a verifica în continuare divizibilitatea lui cu 6, trecem la a doua etapă. Dacă ultima cifră din număr este diferită de 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci numărul nu este divizibil cu 2, prin urmare, nu este divizibil cu 6.
• În a doua etapă, se verifică divizibilitatea numărului cu 3. Pentru a face acest lucru, se calculează suma cifrelor numărului inițial și se verifică dacă este divizibil cu 3 (de exemplu, folosind testul de divizibilitate cu 3). Dacă suma cifrelor este divizibilă cu 3, atunci numărul este divizibil cu 3 și, ținând cont de divizibilitatea lui cu 2 (stabilită în pasul precedent), putem concluziona că numărul este divizibil cu 6. Dacă suma cifrelor numărului inițial nu este divizibil cu 3, atunci acest număr nu este divizibil cu 3, prin urmare, nu este divizibil cu 6.

Acum ne putem uita la specific exemple de utilizare a testului de divizibilitate cu 6.

Exemplu.

Este numărul 8813 divizibil cu 6?

Soluţie.

Pentru a răspunde la întrebarea pusă, vom folosi testul de divizibilitate cu 6. Deoarece numărul 8813 se termină cu numărul 3, putem concluziona că numărul 8813 nu este divizibil cu 6.

Răspuns:

Nu.

Exemplu.

Este posibil să împărțim 934 la 6 fără rest?

Soluţie.

Număr 934 se termină cu numărul 4, deci prima condiție de divizibilitate cu 6 este îndeplinită. Să verificăm dacă suma cifrelor numărului 934 este divizibilă cu 3. Avem 9+3+4=16, iar 16 nu este divizibil cu 3. În consecință, a doua condiție a testului de divizibilitate cu 6 nu este îndeplinită, astfel încât numărul inițial nu este divizibil cu 6.

Răspuns:

Nu.

Exemplu.

Este numărul −7.269.708 divizibil cu 6?

Soluţie.

Ultima cifră din înregistrarea acestui număr este 8, ceea ce înseamnă că prima condiție a testului de divizibilitate cu 6 este îndeplinită. Acum găsim suma cifrelor numărului −7 269 708, avem 7+2+6+9+7+0+8=39. Deoarece 39 este divizibil cu 3 (39:3=13), putem concluziona că numărul inițial este divizibil cu 6.

Răspuns:

Da, el împărtășește.

În concluzia acestui punct, observăm că pentru a verifica dacă un anumit număr este divizibil cu 6, puteți efectua împărțirea direct, în loc să recurgeți la testul divizibilității cu 6.

Dovada testului de divizibilitate cu 6

Să dăm dovada de divizibilitate cu 6. Pentru comoditate, folosim formularea acestei caracteristici sub forma unei condiții necesare și suficiente.

Teorema.

Pentru ca un întreg a să fie divizibil cu 6, este necesar și suficient ca numărul a să fie divizibil cu 2 și 3.

Dovada.

Mai întâi demonstrăm necesitatea, adică demonstrăm că dacă un întreg a este divizibil cu 6, atunci este divizibil cu 2 și 3.

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de următoarea proprietate de divizibilitate: dacă un întreg a este divizibil cu b, atunci produsul m·a, unde m este orice număr întreg, este de asemenea divizibil cu b.

Deoarece a este divizibil cu 6, atunci conceptul de divizibilitate ne permite să scriem egalitatea a=6·q, unde q este un număr întreg. În produsul scris, factorul 6 este divizibil cu 2 și 3, apoi din proprietatea de divizibilitate de mai sus rezultă că produsul 6 q este divizibil cu 2 și 3. Aceasta dovedește necesitatea.

Pentru ca testul de divizibilitate cu 6 să fie pe deplin dovedit, rămâne să se dovedească suficiența. Să demonstrăm că dacă un întreg a este divizibil cu 2 și 3, atunci este divizibil cu 6.

Aici vom avea nevoie de teorema din articolul The Fundamental Theorem of Arithmetic. Iată formularea sa: dacă produsul mai multor factori întregi pozitivi, alții decât unul, este divizibil cu un număr prim p, atunci cel puțin un factor este divizibil cu p.

Deoarece întregul a este divizibil cu 2, atunci există un întreg q astfel încât a=2·q. Dar întregul a=2·q este și el divizibil cu 3, de unde 2·q trebuie să fie divizibil cu 3. Deoarece 2 nu este divizibil cu 3, atunci, în virtutea teoremei menționate mai sus, q trebuie să fie divizibil cu 3. Atunci există un întreg q 1 astfel încât q=3·q 1 . Prin urmare, a=2·q=2·3·q 1 =6·q 1. Din egalitatea rezultată rezultă că numărul a este divizibil cu 6. Aceasta dovedește suficiența.

Alte cazuri de divizibilitate cu 6

În această secțiune ne vom concentra asupra modalităților de a demonstra divizibilitatea cu 6 a unei valori date la valoare specificată variabilă. În aceste cazuri (când întregul nu este specificat în mod explicit), împărțirea directă și aplicarea testului de divizibilitate cu 6 este adesea imposibilă, deci este necesară o abordare diferită a soluției.

Una dintre abordări se bazează pe afirmația: dacă unul dintre factorii întregi din produs este divizibil cu număr dat, atunci întregul produs este împărțit la acest număr. Adică, dacă o expresie dată este prezentată sub forma unui produs în care unul dintre factori este divizibil cu 6, atunci aceasta va dovedi divizibilitatea expresiei originale cu 6. Rămâne să discutăm despre metodele de prezentare sub forma unei lucrări.

Uneori vă permite să reprezentați o expresie dată sub forma produsului dorit. Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Este valoarea expresiei divizibilă cu 6 pentru un număr natural n.

Soluţie.

Număr 7 este egal cu suma lui 6+1, prin urmare . Acum aplicăm formula binomială a lui Newton, după care efectuăm transformările necesare:

Deci am ajuns la un produs care este divizibil cu 6, deoarece conține un factor de 6, iar valoarea expresiei din paranteze este un număr natural pentru orice număr natural n (deoarece suma și produsul numerelor naturale este un număr natural ). Prin urmare, valoarea expresiei originale pentru orice n natural este divizibil cu 6.

Răspuns:

Da.

Dacă expresia este dată ca un polinom, atunci uneori este posibil să obțineți un produs cu un factor divizibil cu 6. După care variabilei n din expansiunea rezultată i se dau valorile n=6·m, n=6·m+1, n=6·m+2, …, n=6·m+5, unde m este un număr întreg. Dacă se arată divizibilitatea pentru fiecare astfel de n, atunci aceasta va dovedi divizibilitatea expresiei originale cu 6 pentru orice număr întreg n.

Exemplu.

Demonstrați că pentru orice număr întreg n valoarea expresiei este divizibilă cu 6.

Soluţie.

Factorizarea acestei expresii are forma .

La n=6 m avem . Produsul rezultat conține un factor de 6, deci este divizibil cu 6 pentru orice număr întreg m.

Să începem să luăm în considerare subiectul „Testul de divizibilitate cu 3”. Să începem cu formularea semnului și să dăm demonstrația teoremei. Apoi vom lua în considerare principalele abordări pentru stabilirea divizibilității cu 3 a numerelor a căror valoare este dată de o expresie. Secțiunea oferă o analiză a soluției principalelor tipuri de probleme pe baza utilizării testului de divizibilitate cu 3.

Test de divizibilitate cu 3, exemple

Testul divizibilității cu 3 este formulat simplu: un număr întreg va fi divizibil cu 3 fără rest dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3. Dacă valoarea totală a tuturor cifrelor care alcătuiesc un număr întreg nu este divizibilă cu 3, atunci numărul original în sine nu este divizibil cu 3. Puteți obține suma tuturor cifrelor dintr-un număr întreg prin adăugarea de numere naturale.

Acum să ne uităm la exemple de utilizare a testului de divizibilitate cu 3.

Exemplul 1

Este numărul 42 divizibil cu 3?

Soluţie

Pentru a răspunde la această întrebare, adunăm toate numerele care alcătuiesc numărul - 42: 4 + 2 = 6.

Răspuns: Conform testului de divizibilitate, deoarece suma cifrelor incluse în numărul inițial este divizibil cu trei, atunci numărul original în sine este divizibil cu 3.

Pentru a răspunde la întrebarea dacă numărul 0 este divizibil cu 3, avem nevoie de proprietatea de divizibilitate, conform căreia zero este divizibil cu orice număr întreg. Se dovedește că zero este divizibil cu trei.

Există probleme pentru care este necesar să se folosească de mai multe ori testul de divizibilitate cu 3.

Exemplul 2

Arată că numărul 907 444 812 divizibil cu 3.

Soluţie

Să găsim suma tuturor cifrelor care formează numărul inițial: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Acum trebuie să stabilim dacă numărul 39 este divizibil cu 3. Încă o dată adunăm numerele care alcătuiesc acest număr: 3 + 9 = 12 . Trebuie doar să adunăm din nou numerele pentru a obține răspunsul final: 1 + 2 = 3 . Numărul 3 este divizibil cu 3

Răspuns: numărul original 907 444 812 este de asemenea divizibil cu 3.

Exemplul 3

Numărul este divizibil cu 3? − 543 205 ?

Soluţie

Să calculăm suma cifrelor care formează numărul inițial: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Acum să calculăm suma cifrelor numărului rezultat: 1 + 9 = 10 . Pentru a obține răspunsul final, găsim rezultatul încă o adăugare: 1 + 0 = 1 .
Răspuns: 1 nu este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul inițial nu este divizibil cu 3.

Pentru a determina dacă un număr dat este divizibil cu 3 fără rest, putem împărți numărul dat la 3. Dacă împărțiți numărul − 543 205 din exemplul discutat mai sus cu o coloană de trei, atunci nu vom obține un număr întreg în răspuns. Aceasta înseamnă și că − 543 205 nu poate fi împărțit la 3 fără rest.

Dovada testului de divizibilitate cu 3

Aici vom avea nevoie de următoarele abilități: descompunerea unui număr în cifre și regula înmulțirii cu 10, 100 etc. Pentru a efectua proba, trebuie să obținem o reprezentare a numărului a din formular , Unde a n , a n - 1 , … , a 0- acestea sunt numerele care sunt situate de la stânga la dreapta în notația unui număr.

Iată un exemplu folosind un anumit număr: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Să scriem o serie de egalități: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1.000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 și așa mai departe.

Acum să înlocuim aceste egalități în loc de 10, 100 și 1000 în egalitățile date mai devreme a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Iată cum am ajuns la egalitate:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33. . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

Acum să aplicăm proprietățile adunării și proprietățile înmulțirii numerelor naturale pentru a rescrie egalitatea rezultată după cum urmează:

a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0

Expresia a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 este suma cifrelor numărului original a. Să introducem o nouă notație scurtă pentru aceasta O. Se obține: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

În acest caz, reprezentarea numărului este a = 3 33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A ia forma pe care ne va fi convenabil să o folosim pentru a demonstra testul de divizibilitate cu 3.

Definiția 1

Acum amintiți-vă următoarele proprietăți de divizibilitate:

• condiție necesară și suficientă pentru ca un întreg a să fie divizibil cu un întreg
  ​​​​​​ b , este condiția prin care modulul numărului a este împărțit la modulul numărului b;
• dacă în egalitate a = s + t toți termenii, cu excepția unuia, sunt divizibili cu un număr întreg b, atunci acest singur termen este de asemenea divizibil cu b.

Am pus bazele pentru demonstrarea testului de divizibilitate cu 3. Acum să formulăm această caracteristică sub forma unei teoreme și să o demonstrăm.

Teorema 1

Pentru a afirma că întregul a este divizibil cu 3, este necesar și suficient pentru noi ca suma cifrelor care formează notația numărului a să fie divizibil cu 3.

Dovada 1

Dacă luăm valoarea a = 0, atunci teorema este evidentă.

Dacă luăm un număr a care este diferit de zero, atunci modulul numărului a va fi un număr natural. Acest lucru ne permite să scriem următoarea egalitate:

a = 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , unde A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - suma cifrelor numărului a.

Deoarece suma și produsul numerelor întregi este un număr întreg, atunci
33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 este un număr întreg, atunci, prin definiția divizibilității, produsul este 3 · 33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 este divizibil cu 3 pentru orice a 0 , a 1 , … , a n.

Dacă suma cifrelor unui număr oîmpărțit la 3 , adică Oîmpărțit la 3 , apoi datorită proprietății de divizibilitate indicată înainte de teoremă, a se împarte la 3 , prin urmare, oîmpărțit la 3 . Deci suficiența este dovedită.

Dacă oîmpărțit la 3 , atunci a este și divizibil cu 3 , apoi datorită aceleiași proprietăți de divizibilitate, numărul
Oîmpărțit la 3 , adică suma cifrelor unui număr oîmpărțit la 3 . Necesitatea a fost dovedită.

Alte cazuri de divizibilitate prin 3

Numerele întregi pot fi specificate ca valoare a unei expresii care conține o variabilă, având în vedere o anumită valoare a acelei variabile. Astfel, pentru un număr natural n, valoarea expresiei 4 n + 3 n - 1 este un număr natural. În acest caz, împărțirea directă prin 3 nu ne poate da un răspuns la întrebarea dacă un număr este divizibil cu 3 . Aplicarea testului de divizibilitate prin 3 poate fi, de asemenea, dificil. Să ne uităm la exemple de astfel de probleme și să analizăm metodele de rezolvare a acestora.

Se pot folosi mai multe abordări pentru a rezolva astfel de probleme. Esența unuia dintre ele este următoarea:

• reprezentăm expresia originală ca un produs al mai multor factori;
• aflați dacă cel puțin unul dintre factori poate fi împărțit la 3 ;
• Pe baza proprietății de divizibilitate, concluzionăm că întregul produs este divizibil cu 3 .

Când rezolvăm, de multe ori trebuie să recurgem la utilizarea formulei binomiale a lui Newton.

Exemplul 4

Este valoarea expresiei 4 n + 3 n - 1 divizibil cu 3 sub orice firesc n?

Soluţie

Să scriem egalitatea 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Să aplicăm formula binomială a lui Newton:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + + C n n - 2 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Acum hai să-l scoatem 3 în afara parantezelor: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Produsul rezultat conține multiplicatorul 3 , iar valoarea expresiei din paranteze pentru n natural reprezintă un număr natural. Acest lucru ne permite să afirmăm că produsul rezultat și expresia originală 4 n + 3 n - 1 sunt împărțite la 3 .

Răspuns: Da.

Putem folosi și metoda inducției matematice.

Exemplul 5

Demonstrați folosind metoda inducției matematice că pentru orice natural
n valoarea expresiei n n 2 + 5 se împarte la 3 .

Soluţie

Să aflăm valoarea expresiei n n 2 + 5 când n=1: 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 este divizibil cu 3 .

Acum să presupunem că valoarea expresiei n n 2 + 5 at n = kîmpărțit la 3 . De fapt, va trebui să lucrăm cu expresia k k 2 + 5, care ne așteptăm să fie divizibil cu 3 .

Considerând că k k 2 + 5 este divizibil cu 3 , arătăm că valoarea expresiei n · n 2 + 5 at n = k + 1împărțit la 3 , adică vom arăta că k + 1 k + 1 2 + 5 este divizibil cu 3 .

Să efectuăm transformările:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

Expresia k · (k 2 + 5) se împarte la 3 iar expresia 3 k 2 + k + 2 se împarte la 3 , deci suma lor este împărțită la 3 .

Deci am demonstrat că valoarea expresiei n · (n 2 + 5) este divizibil cu 3 pentru orice număr natural n.

Acum să ne uităm la abordarea de a demonstra divizibilitatea prin 3 , care se bazează pe următorul algoritm de acțiuni:

• arătăm că valoarea acestei expresii cu variabila n pentru n = 3 m, n = 3 m + 1 și n = 3 m + 2, Unde m– un număr întreg arbitrar, divizibil cu 3 ;
• concluzionăm că expresia va fi divizibilă cu 3 pentru orice număr întreg n.

Pentru a nu distrage atenția de la detalii minore, vom aplica acest algoritm la soluția exemplului anterior.

Exemplul 6

Să se arate că n · (n 2 + 5) este divizibil cu 3 pentru orice număr natural n.

Soluţie

Să presupunem că n = 3 m. Atunci: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5. Produsul pe care l-am primit conține un multiplicator 3 , prin urmare produsul în sine este împărțit în 3 .

Să presupunem că n = 3 m + 1. Apoi:

n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 ​​​​m2 + 2 m + 2)

Produsul pe care l-am primit este împărțit în 3 .

Să presupunem că n = 3 m + 2. Apoi:

n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3

Această lucrare este, de asemenea, împărțită în 3 .

Răspuns: Deci am demonstrat că expresia n n 2 + 5 este divizibil cu 3 pentru orice număr natural n.

Exemplul 7

Este divizibil cu 3 valoarea expresiei 10 3 n + 10 2 n + 1 pentru un număr natural n.

Soluţie

Să presupunem că n=1. Primim:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Să presupunem că n=2. Primim:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Deci putem concluziona că pentru orice n natural vom obține numere care sunt divizibile cu 3. Aceasta înseamnă că 10 3 n + 10 2 n + 1 pentru orice număr natural n este divizibil cu 3.

Răspuns: Da

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter