Unde n este un număr natural. Numerele

Cel mai simplu număr este număr natural. Sunt folosite în viata de zi cu zi pentru numărare obiecte, adică pentru a calcula numărul și ordinea acestora.

Ce este un număr natural: numere naturale numiți numerele cu care sunt obișnuite numărarea articolelor sau pentru a indica numărul de serie al oricărui articol din toate omogene articole.

Numerele naturale - acestea sunt numere care incep de la unu. Ele se formează în mod natural la numărare.De exemplu, 1,2,3,4,5... -primele numere naturale.

Cel mai mic număr natural- unul. Nu există cel mai mare număr natural. La numărarea numărului Zero nu este folosit, deci zero este un număr natural.

Seria naturală numere este succesiunea tuturor numerelor naturale. Scrierea numerelor naturale:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

În seria naturală, fiecare număr este mai mare decât precedentul câte unul.

Câte numere sunt în seria naturală? Seria naturală este infinită cel mai mare număr natural nu există.

Decimală deoarece 10 unități din orice cifră formează 1 unitate din cea mai mare cifră. Pozițional așa modul în care semnificația unei cifre depinde de locul ei în număr, adică din categoria unde este scris.

Clase de numere naturale.

Orice număr natural poate fi scris folosind 10 cifre arabe:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pentru a citi numerele naturale, acestea sunt împărțite, începând din dreapta, în grupuri de câte 3 cifre. 3 primul numerele din dreapta sunt clasa unităților, următoarele 3 sunt clasa miilor, apoi clasele milioanelor, miliardelor șiasa mai departe. Fiecare dintre cifrele clasei se numește eideversare.

Comparația numerelor naturale.

Dintre 2 numere naturale, cu atât mai mic este numărul care este numit mai devreme la numărare. De exemplu, număr 7 Mai puțin 11 (scris astfel:7 < 11 ). Când un număr este mai mare decât al doilea, se scrie astfel:386 > 99 .

Tabel de cifre și clase de numere.

1.1.Definiţie

Sunt apelate numerele pe care oamenii le folosesc atunci când numără natural(de exemplu, unu, doi, trei,..., o sută, o sută unu,..., trei mii două sute douăzeci și unu,...) Pentru a scrie numere naturale se folosesc semne speciale (simboluri), numit în cifre.

In zilele noastre este acceptat sistem numeric zecimal. Sistemul zecimal (sau metoda) de scriere a numerelor folosește cifre arabe. Este zece diverse personaje-cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Cel mai puţin un număr natural este un număr unul, ea scris folosind un număr zecimal - 1. Următorul număr natural se obține din cel anterior (cu excepția unuia) prin adăugarea a 1 (unu). Această adăugare se poate face de mai multe ori (un număr infinit de ori). Aceasta înseamnă că Nu cel mai mare număr natural. Prin urmare, ei spun că seria numerelor naturale este nelimitată sau infinită, deoarece nu are sfârșit. Numerele naturale sunt scrise folosind cifre zecimale.

1.2. Numărul „zero”

Pentru a indica absența a ceva, utilizați numărul " zero" sau " zero". Se scrie folosind numere 0 (zero). De exemplu, într-o cutie toate bilele sunt roșii. Câte dintre ele sunt verzi? - Răspuns: zero . Aceasta înseamnă că nu există bile verzi în cutie! Cifra 0 poate însemna că ceva s-a încheiat. De exemplu, Masha a avut 3 mere. Ea a împărțit două cu prietenii și a mâncat ea însăși unul. Deci ea a plecat 0 (zero) mere, i.e. nu a mai ramas nici unul. Cifra 0 poate însemna că ceva nu s-a întâmplat. De exemplu, meciul de hochei Echipa Rusia - Echipa Canada s-a încheiat cu scorul 3:0 (citim „trei - zero”) în favoarea echipei ruse. Aceasta înseamnă că echipa rusă a marcat 3 goluri, iar echipa canadiană a marcat 0 goluri și nu a putut înscrie niciun gol. Trebuie să ne amintim că numărul zero nu este un număr natural.

1.3. Scrierea numerelor naturale

În modul zecimal de a scrie un număr natural, fiecare cifră poate însemna numere diferite. Depinde de locul acestei cifre în înregistrarea numărului. Se numește un anumit loc în notația unui număr natural poziţie. Prin urmare, sistemul numeric zecimal este numit pozițional. Luați în considerare notația zecimală de 7777 șapte mii șapte sute șaptezeci și șapte. Această intrare conține șapte mii, șapte sute, șapte zeci și șapte unități.

Fiecare dintre locurile (pozițiile) din notația zecimală a unui număr este numită deversare. Fiecare trei cifre sunt combinate în Clasă. Această îmbinare se face de la dreapta la stânga (de la sfârșitul înregistrării numărului). Diverse categorii și clase au propriile lor nume. Gama de numere naturale este nelimitată. Prin urmare, numărul de ranguri și clase nu este limitat ( la nesfârşit). Să ne uităm la numele cifrelor și claselor folosind exemplul unui număr cu notație zecimală

38 001 102 987 000 128 425:

Deci, clasele, începând cu cele mai mici, au nume: unități, mii, milioane, miliarde, trilioane, cvadrilioane, chintilioane.

1.4. Unități de biți

Fiecare dintre clasele de notare a numerelor naturale este formată din trei cifre. Fiecare rang are unități de cifre. Următoarele numere sunt numite unități de cifre:

1 - cifră unitate de unități cifra,

unitate de 10 cifre a zecilor locului,

100 - unitate de sute de cifre,

1 000 - unitate de mii de cifre,

10 000 este o unitate de loc de zeci de mii,

100.000 este o unitate de loc pentru sute de mii,

1.000.000 este unitatea de milioane de cifre etc.

Un număr din oricare dintre cifre arată numărul de unități ale acestei cifre. Astfel, numărul 9, în locul sutelor de miliarde, înseamnă că numărul 38.001.102.987.000 128.425 include nouă miliarde (adică, de 9 ori 1.000.000.000 sau unități de 9 cifre ale locului de miliarde). Un loc gol de sute de chintilioane înseamnă că nu există sute de chintilioane în numărul dat sau numărul lor este zero. În acest caz, numărul 38 001 102 987 000 128 425 se poate scrie astfel: 038 001 102 987 000 128 425.

Puteți scrie altfel: 000 038 001 102 987 000 128 425. Zerourile de la începutul numărului indică cifre goale de ordin înalt. De obicei, acestea nu sunt scrise, spre deosebire de zerourile din interiorul notației zecimale, care marchează în mod necesar cifrele goale. Astfel, trei zerouri din clasa milioane înseamnă că sutele de milioane, zeci de milioane și unitățile de milioane sunt goale.

1.5. Abrevieri pentru scrierea numerelor

La scrierea numerelor naturale se folosesc abrevieri. Iată câteva exemple:

1.000 = 1 mie (o mie)

23.000.000 = 23 de milioane (douăzeci și trei de milioane)

5.000.000.000 = 5 miliarde (cinci miliarde)

203.000.000.000.000 = 203 trilioane. (două sute trei trilioane)

107.000.000.000.000.000 = 107 metri pătrați. (o sută șapte cvadrilioane)

1.000.000.000.000.000.000 = 1 kwt. (un chintilion)

Blocul 1.1. Dicţionar

Alcătuiește un dicționar de termeni și definiții noi din §1. Pentru a face acest lucru, scrieți cuvinte din lista de termeni de mai jos în celulele goale. În tabel (la sfârșitul blocului), indicați pentru fiecare definiție numărul termenului din listă.

Blocul 1.2. Auto-pregătire

în lume numere mari

Economie .

1. Bugetul Rusiei pentru anul viitor va fi: 6328251684128 ruble.
2. Cheltuielile planificate pentru acest an sunt: ​​5124983252134 ruble.
3. Venitul țării a depășit cheltuielile cu 1203268431094 ruble.

Întrebări și sarcini

1. Citiți toate cele trei numere date
2. Scrieți cifrele din clasa milioanelor pentru fiecare dintre cele trei numere.

1. Cărei secțiuni din fiecare dintre numere îi aparține cifra situată în poziția a șaptea de la sfârșitul înregistrării numerelor?
2. Ce număr de unități de cifre indică numărul 2 în introducerea primului număr?... în introducerea celui de-al doilea și al treilea număr?
3. Numiți unitatea de cifre pentru poziția a opta de la sfârșitul în notația a trei numere.

Geografie (lungime)

1. Raza ecuatorială a Pământului: 6378245 m
2. Circumferința ecuatorului: 40075696 m
3. Cea mai mare adâncime a oceanelor din lume (Șanțul Mariana din Oceanul Pacific) 11500 m

Întrebări și sarcini

1. Convertiți toate cele trei valori în centimetri și citiți numerele rezultate.
2. Pentru primul număr (în cm), scrieți numerele în secțiunile:

sute de mii _______

zeci de milioane _______

mii _______

miliarde _______

sute de milioane _______

1. Pentru al doilea număr (în cm), notați unitățile de cifre corespunzătoare numerelor 4, 7, 5, 9 în notația numerică

1. Convertiți a treia valoare în milimetri și citiți numărul rezultat.
2. Pentru toate pozițiile din introducerea celui de-al treilea număr (în mm), indicați cifrele și unitățile de cifre din tabel:

Geografie (pătrat)

1. Suprafața întregii suprafețe a Pământului este de 510.083 mii de kilometri pătrați.
2. Suprafața sumelor de pe Pământ este de 148.628 mii de kilometri pătrați.
3. Suprafața apei Pământului este de 361.455 mii de kilometri pătrați.

Întrebări și sarcini

1. Convertiți toate cele trei valori în metri pătrați și citiți numerele rezultate.
2. Denumiți clasele și categoriile corespunzătoare cifrelor diferite de zero din înregistrarea acestor numere (în mp).
3. În scrierea celui de-al treilea număr (în mp), numiți unitățile de cifre corespunzătoare numerelor 1, 3, 4, 6.
4. În două intrări ale celei de-a doua valori (în km pătrați și în m²), indicați cărei cifre aparține numărul 2.
5. Scrieți unitățile de valoare de loc pentru cifra 2 în a doua notație de cantitate.

Blocul 1.3. Dialog cu computerul.

Se știe că numerele mari sunt adesea folosite în astronomie. Să dăm exemple. Distanța medie a Lunii de Pământ este de 384 mii km. Distanța Pământului față de Soare (medie) este de 149.504 mii km, Pământul de la Marte este de 55 milioane km. Pe computer, folosind editorul de text Word, creați tabele astfel încât fiecare cifră din intrare numere specificate a fost într-o celulă (celulă) separată. Pentru a face acest lucru, executați comenzile din bara de instrumente: tabel → adăugați tabel → număr de rânduri (utilizați cursorul pentru a seta „1”) → număr de coloane (calculați-vă singur). Creați tabele pentru alte numere (în blocul „Pregătire personală”).

Blocul 1.4. Stafeu numere mari

Primul rând al tabelului conține un număr mare. Citește. Apoi finalizați sarcinile: mutând numerele din înregistrarea numerelor la dreapta sau la stânga, obțineți următoarele numere și citiți-le. (Nu mutați zerourile de la sfârșitul numărului!). În clasă, ștafeta poate fi efectuată pasându-l unul altuia.

Linia 2 . Mutați toate cifrele numărului din prima linie spre stânga prin două celule. Înlocuiți numerele 5 cu următorul număr. Umpleți celulele goale cu zerouri. Citiți numărul.

Linia 3 . Mutați toate cifrele numărului din a doua linie spre dreapta prin trei celule. Înlocuiți numerele 3 și 4 în numărul de intrare următoarele numere. Umpleți celulele goale cu zerouri. Citiți numărul.

Linia 4. Mutați toate cifrele numărului din rândul 3 cu o celulă la stânga. Înlocuiți numărul 6 din clasa trilioanelor cu cel precedent, iar din clasa miliardelor cu următorul număr. Umpleți celulele goale cu zerouri. Citiți numărul rezultat.

Linia 5 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 4 cu o celulă la dreapta. Înlocuiți numărul 7 din categoria „zeci de mii” cu cea anterioară, iar din categoria „zeci de milioane” cu următoarea. Citiți numărul rezultat.

Linia 6 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 5 spre stânga prin 3 celule. Înlocuiți numărul 8 din locul sute de miliarde cu cel precedent, iar numărul 6 din locul sute de milioane cu următorul număr. Umpleți celulele goale cu zerouri. Calculați numărul rezultat.

Linia 7 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 6 în celula din dreapta. Schimbați numerele în zeci de cvadrilioane și zeci de miliarde de locuri. Citiți numărul rezultat.

Linia 8 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 7 la stânga printr-o celulă. Schimbați numerele în locurile de cinci miliarde și cvadrilioane. Umpleți celulele goale cu zerouri. Citiți numărul rezultat.

Linia 9 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 8 la dreapta prin trei celule. Schimbați două cifre adiacente din clasele de milioane și trilioane într-o linie numerică. Citiți numărul rezultat.

Linia 10 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 9 cu o celulă la dreapta. Citiți numărul rezultat. Selectați numerele care indică anul Olimpiadei de la Moscova.

Blocul 1.5. Să ne jucăm

Aprindeți flacăra

Terenul de joc este un desen brad de Crăciun. Are 24 de becuri. Dar doar 12 dintre ele sunt conectate la rețeaua electrică. Pentru a selecta lămpile conectate, trebuie să răspundeți corect la întrebări cu „Da” sau „Nu”. Același joc poate fi jucat pe computer, răspunsul corect „aprinde” becul.

1. Este adevărat că numerele sunt semne speciale pentru scrierea numerelor naturale? (1 - da, 2 - nu)
2. Este adevărat că 0 este cel mai mic număr natural? (3 - da, 4 - nu)
3. Este adevărat că în sistemul numeric pozițional aceeași cifră poate reprezenta numere diferite? (5 - da, 6 - nu)
4. Este adevărat că un anumit loc în notația zecimală a numerelor se numește loc? (7 - da, 8 - nu)
5. Este dat numărul 543.384. Este adevărat că numărul unităților cu cele mai mari cifre din el este 543, iar cifrele cele mai mici sunt 384? (9 - da, 10 - nu)
6. Este adevărat că în clasa miliardelor, cea mai mare unitate de cifre este de o sută de miliarde, iar cea mai mică este de un miliard? (11 - da, 12 - nu)
7. Este dat numărul 458.121. Este adevărat că suma numărului unităților cu cifrele cele mai mari și numărul celor mai mici este 5? (13 - da, 14 - nu)
8. Este adevărat că unitatea cu cea mai mare cifră din clasa trilionului este de un milion de ori mai mare decât unitatea cu cea mai mare cifră din clasa milionului? (15 - da, 16 - nu)
9. Având în vedere două numere 637.508 și 831. Este adevărat că cea mai mare unitate de cifre a primului număr este de 1000 de ori mai mare decât cea mai mare unitate de cifre a celui de-al doilea număr? (17 - da, 18 - nu)
10. Având în vedere numărul 432. Este adevărat că cea mai mare unitate de cifre a acestui număr este de 2 ori mai mare decât cea mai mică? (19 - da, 20 - nu)
11. Este dat numărul 100.000.000 Este adevărat că numărul de unități de cifre din el care alcătuiesc 10.000 este egal cu 1000? (21 - da, 22 - nu)
12. Este adevărat că înaintea clasei de trilioane există o clasă de cvadrilioane, iar înaintea acestei clase există o clasă de chintilioane? (23 - da, 24 - nu)

1.6. Din istoria numerelor

Din cele mai vechi timpuri, oamenii s-au confruntat cu nevoia de a număra numărul de lucruri, de a compara cantitățile de obiecte (de exemplu, cinci mere, șapte săgeți...; într-un trib sunt 20 de bărbați și treizeci de femei,... ). Era, de asemenea, necesitatea stabilirii ordinii într-un anumit număr de obiecte. De exemplu, atunci când vânează, liderul tribului merge primul, cel mai puternic războinic al tribului vine pe al doilea etc. Numerele au fost folosite în aceste scopuri. Pentru ei au fost inventate nume speciale. În vorbire se numesc numerale: unu, doi, trei etc. sunt numere cardinale, iar primul, al doilea, al treilea sunt numerale ordinale. Numerele au fost scrise folosind caractere speciale - numere.

De-a lungul timpului au apărut sisteme de numere. Acestea sunt sisteme care includ modalități de a scrie numere și de a efectua diverse operații asupra lor. Cele mai vechi sisteme de numere cunoscute sunt sistemele de numere egiptean, babilonian și roman. În antichitate, în Rus', literele alfabetului cu semnul special ~ (titlu) erau folosite pentru a scrie numere. În prezent, sistemul numeric zecimal este cel mai utilizat. Sistemele de numere binare, octale și hexazecimale sunt utilizate pe scară largă, în special în lumea computerelor.

Deci, pentru a scrie același număr pe care îl puteți folosi diverse semne- numere. Deci, numărul patru sute douăzeci și cinci poate fi scris cu cifre egiptene - hieroglife:

Acesta este modul egiptean de a scrie numerele. Acesta este același număr în cifre romane: CDXXV(modul roman de a scrie numere) sau cifre zecimale 425 (sistem de numere zecimale). În notație binară arată astfel: 110101001 (sistem de numere binar sau binar), iar în octal - 651 (sistem de numere octale). În sistemul numeric hexazecimal se va scrie: 1A9(sistem de numere hexazecimale). O poți face destul de simplu: faceți, ca Robinson Crusoe, patru sute douăzeci și cinci de crestături (sau lovituri) pe un stâlp de lemn - IIIIIIIII…... III. Acestea sunt primele imagini ale numerelor naturale.

Deci, în sistemul zecimal de scriere a numerelor (în modul zecimal de scriere a numerelor) sunt folosite cifre arabe. Acestea sunt zece simboluri diferite - numere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . În binar - două cifre binare: 0, 1; în octal - opt cifre octale: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; în hexazecimal - șaisprezece cifre hexazecimale diferite: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; în sexagesimal (babilonian) - șaizeci de caractere diferite - numere etc.)

Numerele zecimale au venit în țările europene din Orientul Mijlociu și țările arabe. De aici și numele - cifre arabe. Dar au venit la arabi din India, unde au fost inventați pe la mijlocul primului mileniu.

1.7. Sistemul de numere romane

Unul dintre sistemele de numere antice care este folosit astăzi este sistemul roman. Prezentăm în tabel principalele numere ale sistemului numeric roman și numerele corespunzătoare ale sistemului zecimal.

Sistemul numeric roman este sistem de adăugare.În ea, spre deosebire de sistemele poziționale (de exemplu, zecimală), fiecare cifră reprezintă același număr. Da, înregistrează II- denotă numărul doi (1 + 1 = 2), notație III- numărul trei (1 + 1 + 1 = 3), notație XXX- numărul treizeci (10 + 10 + 10 = 30), etc. Următoarele reguli se aplică pentru scrierea numerelor.

1. Dacă numărul inferior este după mai mare, apoi se adaugă la cea mai mare: VII- numărul șapte (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- numărul șaptesprezece (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- numărul o mie o sută cincizeci (1000 + 100 + 50 = 1150).
2. Dacă numărul inferior este înainte mai mare, atunci se scade din cea mai mare: IX- numărul nouă (9 = 10 - 1), L.M.- numărul nouă sute cincizeci (1000 - 50 = 950).

Pentru a scrie numere mari, trebuie să folosiți (inventați) simboluri noi - numere. În același timp, înregistrarea numerelor se dovedește a fi greoaie și este foarte dificil să se efectueze calcule cu cifre romane. Astfel, anul lansării primului satelit artificial de Pământ (1957) din înregistrările romane are forma MCMLVII .

Blocul 1. 8. Card perforat

Citirea numerelor naturale

Aceste sarcini sunt verificate folosind o hartă cu cercuri. Să explicăm aplicarea acestuia. După finalizarea tuturor sarcinilor și găsirea răspunsurilor corecte (sunt indicate prin literele A, B, C etc.), așezați pe hartă o coală de hârtie transparentă. Utilizați semnele „X” pentru a marca pe el răspunsurile corecte, precum și semnul de potrivire „+”. Apoi așezați foaia transparentă peste pagină, astfel încât semnele de înregistrare să se alinieze. Dacă toate semnele „X” sunt în cercurile gri de pe această pagină, atunci sarcinile au fost finalizate corect.

1.9. Ordinea citirii numerelor naturale

Când citiți un număr natural, procedați după cum urmează.

1. Împărțiți mental numărul în triplete (clase) de la dreapta la stânga, de la sfârșitul numărului.

1. Începând de la clasa de juniori, de la dreapta la stânga (de la sfârșitul numărului) notează numele claselor: unități, mii, milioane, miliarde, trilioane, cvadrilioane, chintilioane.
2. Au citit numărul începând din liceu. În acest caz, sunt apelate numărul de unități de biți și numele clasei.
3. Dacă bitul conține un zero (bitul este gol), atunci nu este apelat. Dacă toate cele trei cifre ale clasei numite sunt zerouri (cifrele sunt goale), atunci această clasă nu este apelată.

Să citim (numim) numărul scris în tabel (vezi §1), conform pașilor 1 - 4. Împărțim mental numărul 38001102987000128425 în clase de la dreapta la stânga: 038 001 102 987 000 128 425. Indicăm numele clasele în acest număr, începând de la sfârșit înregistrările sale: unități, mii, milioane, miliarde, trilioane, cvadrilioane, chintilioane. Acum puteți citi numărul, începând cu clasa de seniori. Numim numere de trei cifre, două cifre și o singură cifră, adăugând numele clasei corespunzătoare. Nu denumim clase goale. Obținem următorul număr:

• 038 - treizeci și opt de chintilioane
• 001 - un cvadrilion
• 102 - o sută două trilioane
• 987 - nouă sute optzeci și șapte de miliarde
• 000 - nu denumim (nu citim)
• 128 - o sută douăzeci și opt de mii
• 425 - patru sute douăzeci și cinci

Ca urmare, citim numărul natural 38 001 102 987 000 128 425 după cum urmează: „treizeci și opt de chintilioane un cvadrilion o sută două trilioane nouă sute optzeci și șapte de miliarde o sută douăzeci și opt de mii patru sute douăzeci și cinci”.

1.9. Ordinea scrierii numerelor naturale

Numerele naturale sunt scrise în următoarea ordine.

1. Notați trei cifre ale fiecărei clase, începând cu clasa cea mai înaltă până la locul celor. În acest caz, pentru clasa senior pot exista două sau o cifre.
2. Dacă clasa sau categoria nu este denumită, atunci se scriu zerouri în categoriile corespunzătoare.

De exemplu, numărul douăzeci și cinci de milioane trei sute două scris sub forma: 25 000 302 (clasa miilor nu este numită, deci toate cifrele clasei miilor sunt scrise cu zerouri).

1.10. Reprezentarea numerelor naturale ca sumă de termeni de cifre

Să dăm un exemplu: 7.563.429 este notația zecimală a unui număr șapte milioane cinci sute șaizeci și trei mii patru sute douăzeci și nouă. Acest număr conține șapte milioane, cinci sute de mii, șase zece mii, trei mii, patru sute, două zeci și nouă unități. Poate fi reprezentat ca suma: 7.563.429 = 7.000.000 + 500.000 + 60.000 + + 3.000 + 400 + 20 + 9. Această notație se numește reprezentând un număr natural ca sumă de termeni de cifre.

Blocul 1.11. Să ne jucăm

Temnita Treasures

Pe terenul de joc este un desen din basmul lui Kipling „Mowgli”. Cinci cufere au lacăte. Pentru a le deschide, trebuie să rezolvați problemele. În același timp, prin deschiderea unui cufăr de lemn, obțineți un punct. Deschiderea unui cufăr de tablă vă oferă două puncte, un cufăr de cupru primește trei puncte, un cufăr de argint primește patru puncte și un cufăr de aur primește cinci puncte. Câștigă cel care deschide toate cuferele cel mai repede. Același joc poate fi jucat pe computer.

1. Cufăr din lemn

Aflați câți bani (în mii de ruble) sunt în acest cufăr. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți număr total cele mai mici unități de cifre din clasa milionului pentru numărul: 125308453231.

1. Cufă de tablă

Aflați câți bani (în mii de ruble) sunt în acest cufăr. Pentru a face acest lucru, în numărul 12530845323, găsiți numărul unităților cu cifrele cele mai mici ale clasei de unități și numărul unităților cu cifrele cele mai mici din clasa milioanelor. Apoi găsiți suma acestor numere și adăugați numărul din zeci de milioane de la dreapta.

1. Cufă de cupru

Pentru a găsi banii din acest cufăr (în mii de ruble), trebuie să găsiți în numărul 751305432198203 numărul unităților cu cele mai mici cifre din clasa trilioanelor și numărul celor mai mici unități din clasa miliardelor. Apoi găsiți suma acestor numere și scrieți în dreapta numerele naturale ale clasei de unități ale acestui număr în ordinea locației lor.

1. Cufăr de argint

Banii din acest cufăr (în milioane de ruble) vor fi afișați prin suma a două numere: numărul unităților cu cifrele cele mai mici din clasa miilor și unitățile cu cifrele mijlocii ale clasei de miliarde pentru numărul 481534185491502.

1. Cufăr de aur

Numărul 800123456789123456789 este dat dacă înmulțim numerele din cele mai mari cifre din toate clasele acestui număr, primim banii acestui cufăr într-un milion de ruble.

Blocul 1.12. Meci

Scrierea numerelor naturale. Reprezentarea numerelor naturale ca sumă de termeni de cifre

Pentru fiecare sarcină din coloana din stânga, selectați o soluție din coloana din dreapta. Scrieți răspunsul sub forma: 1a; 2g; 3b…

Opțiunea 2

Blocul 1.13. Testul fațetelor

Numele testului provine de la cuvântul „ochi compus de insecte”. Acesta este un ochi complex format din „ocelli” individuale. Sarcinile de testare fațetă sunt formate din elemente individuale indicate prin numere. De obicei, testele fațete conțin un număr mare de sarcini. Dar există doar patru probleme în acest test, dar sunt alcătuite din număr mare elemente. Acesta este conceput pentru a vă învăța cum să „asamblați” problemele de testare. Dacă le puteți crea, puteți face față cu ușurință altor teste fațete.

Să explicăm cum sunt compuse sarcinile folosind exemplul celei de-a treia sarcini. Este compus din elemente de testare numerotate: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« Dacă» 1) ia numere (cifra) din tabel; 4) 7; 7) plasați-l într-o categorie; 11) miliarde; 1) ia un număr de pe masă; 5) 8; 7) plasați-l în categorii; 9) zeci de milioane; 10) sute de milioane; 16) sute de mii; 17) zeci de mii; 22) Așezați numerele 9 și 6 în locurile cu mii și sute. 21) umpleți biții rămași cu zerouri; " CĂ» 26) obținem un număr egal cu timpul (perioada) de revoluție a planetei Pluto în jurul Soarelui în secunde (s); " Acest număr este egal cu": 7880889600 str. În răspunsuri este indicat prin literă „V”.

Când rezolvați probleme, folosiți un creion pentru a scrie numerele în celulele tabelului.

Testul fațetelor. Alcătuiește un număr

Tabelul conține numerele:

Dacă

1) luați numărul(ele) din tabel:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) plasați această(e) cifră(e) în cifre(e);

8) sute de cvadrilioane și zeci de cvadrilioane;

9) zeci de milioane;

10) sute de milioane;

11) miliarde;

12) chintilioane;

13) zeci de chintilioane;

14) sute de chintilioane;

15) trilioane;

16) sute de mii;

17) zeci de mii;

18) umpleți clasa(ele) cu aceasta (ele);

19) chintilioane;

20) miliarde;

21) umpleți biții rămași cu zerouri;

22) așezați numerele 9 și 6 în locurile miilor și sutelor;

23) obținem un număr egal cu masa Pământului în zeci de tone;

24) obținem un număr aproximativ egal cu volumul Pământului în metri cubi;

25) obținem un număr egal cu distanța (în metri) de la Soare la cea mai îndepărtată planetă sistem solar Pluton;

26) obținem un număr egal cu timpul (perioada) revoluției planetei Pluto în jurul Soarelui în secunde (s);

Acest număr este egal cu:

a) 5929000000000

b) 9999900000000000000000

d) 5980000000000000000000

Rezolva probleme:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Răspunsuri

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - b

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - în

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - a

„Funcția cadranică” - Proprietăți: -Intervale de monotonitate pentru a > 0 pentru a< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Квадратичные функции используются уже много лет.

„Power function grad 9” - Suntem familiarizați cu funcțiile. Funcția de putere. U. 0. Profesorul clasa a IX-a Ladoshkina I.A. Y = x2, y = x4, y = x6, y = x8, ... Indicatorul este un număr natural par (2n). Y = x. Parabolă. Parabolă cubică. Funcția y=x2n este pară, deoarece (–x)2n = x2n.

„Funcția pătratică de clasa a VIII-a” - 1) Construiți vârful unei parabole. -1. Construiți un grafic al funcției. 2) Construiți axa de simetrie x=-1. y. Algebră clasa a VIII-a Profesor 496 Bovina T.V. Reprezentarea grafică a unei funcţii pătratice. x. -7. Plan de construcție.

„Graficul funcției Y X” - Graficul funcției y=x2 + n este o parabolă cu vârful în punctul (0; n). Graficul funcției y=(x - m)2 este o parabolă cu vârful său în punctul (m; 0). Pentru a vedea graficele, faceți clic cu mouse-ul. Pagina este afișată la clic. Din cele de mai sus rezultă că graficul funcției y=(x - m)2 + n este o parabolă cu vârful său în punctul (m; n).

„Logaritm natural” - 0,1. „Dăți logaritmice” 0,04. 121. Logaritmi naturali. 7.4.

„Funcția cadranică și graficul acesteia” - Autor: Ilya Granov. Rezolvarea problemelor: Rezolvare.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-apartine. 4. Graficul funcției este y=4x punct: A(0,5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0,1:0,4)? Când a=1, formula y=ax ia forma.

Există un total de 25 de prezentări în acest subiect

Numerele naturale sunt unul dintre cele mai vechi concepte matematice.

În trecutul îndepărtat, oamenii nu știau numerele și atunci când aveau nevoie să numere obiecte (animale, pești etc.), o făceau altfel decât noi acum.

Numărul de obiecte a fost comparat cu părți ale corpului, de exemplu, cu degetele pe o mână, și au spus: „Am atâtea nuci câte degete sunt pe mâna mea”.

De-a lungul timpului, oamenii și-au dat seama că cinci nuci, cinci capre și cinci iepuri au o proprietate comună - numărul lor este egal cu cinci.

Ține minte!

Numerele naturale- acestea sunt numere, incepand de la 1, obtinute prin numararea obiectelor.

1, 2, 3, 4, 5…

Cel mai mic număr natural — 1 .

Cel mai mare număr natural nu există.

La numărare, numărul zero nu este folosit. Prin urmare, zero nu este considerat un număr natural.

Oamenii au învățat să scrie numere mult mai târziu decât să numere. În primul rând, au început să înfățișeze unul cu un bețișor, apoi cu două bețe - numărul 2, cu trei - numărul 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Apoi au apărut semne speciale pentru a desemna numere - predecesorii numerelor moderne. Cifrele pe care le folosim pentru a scrie numere au apărut în India cu aproximativ 1.500 de ani în urmă. Arabii i-au adus în Europa, motiv pentru care sunt numiti cifre arabe.

Sunt zece numere în total: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Folosind aceste numere puteți scrie orice număr natural.

Ține minte!

Seria naturală este o succesiune a tuturor numerelor naturale:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

În seria naturală, fiecare număr este mai mare decât precedentul cu 1.

Seria naturală este infinită, nu există cel mai mare număr natural în ea.

Sistemul de numărare pe care îl folosim se numește pozițional zecimal.

Decimală deoarece 10 unități din fiecare cifră formează 1 unitate din cifra cea mai semnificativă. Pozițional deoarece semnificația unei cifre depinde de locul ei în înregistrarea numărului, adică de cifra în care este scrisă.

Important!

Clasele care urmează miliardului sunt denumite după denumirile latine ale numerelor. Fiecare unitate ulterioară conține o mie de unități anterioare.

• 1.000 de miliarde = 1.000.000.000.000 = 1 trilion („trei” înseamnă în latină „trei”)
• 1.000 trilion = 1.000.000.000.000.000 = 1 cvadrilion („quadra” înseamnă „patru”)
• 1.000 de cvadrilion = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 chintilion („quinta” este latină pentru „cinci”)

Cu toate acestea, fizicienii au găsit un număr care depășește numărul tuturor atomilor (cele mai mici particule de materie) din întregul Univers.

Acest număr a primit un nume special - googol. Googol este un număr cu 100 de zerouri.

Există două abordări pentru definirea numerelor naturale:

• numărare (numerotare) articole ( primul, doilea, treilea, patrulea, cincilea…);
• numerele naturale sunt numere care apar atunci când desemnarea cantității articole ( 0 articole, 1 articol, 2 articole, 3 articole, 4 articole, 5 articole…).

În primul caz, seria numerelor naturale începe cu unu, în al doilea - cu zero. Nu există un consens în rândul majorității matematicienilor dacă prima sau a doua abordare este de preferat (adică dacă zero ar trebui considerat un număr natural sau nu). Majoritatea covârșitoare a surselor rusești adoptă în mod tradițional prima abordare. A doua abordare este, de exemplu, luată în lucrările lui Nicolas Bourbaki, unde numerele naturale sunt definite ca cardinalități ale mulțimilor finite.

Faptul fundamental este că aceste axiome definesc în mod esențial numerele naturale (natura categorială a sistemului de axiome Peano). Și anume, se poate dovedi (vezi, precum și o scurtă dovadă) că dacă (N, 1, S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))Şi (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- două modele pentru sistemul de axiome Peano, atunci ele sunt neapărat izomorfe, adică există o mapare inversabilă (bijecție) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) astfel încât f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))Şi f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x))) pentru toată lumea x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Prin urmare, este suficient să fixați ca oricare model specific al mulțimii de numere naturale.

Zero ca număr natural

Uneori, mai ales în literatura străină și tradusă, unul este înlocuit cu zero în prima și a treia axiomă Peano. În acest caz, zero este considerat un număr natural. Când este definit prin clase de seturi de echipower, zero este un număr natural prin definiție. Ar fi nefiresc să o respingem în mod deliberat. În plus, acest lucru ar complica semnificativ construcția și aplicarea ulterioară a teoriei, deoarece în majoritatea construcțiilor zero, ca și mulțimea goală, nu este ceva separat. Un alt avantaj de a trata zero ca număr natural este că acesta N (\displaystyle \mathbb (N) ) formează un monoid.

În literatura rusă, zero este de obicei exclus din lista numerelor naturale ( 0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), iar mulțimea numerelor naturale cu zero se notează ca N 0 (\displaystyle \mathbb (N)_(0)). Dacă zero este inclus în definiția numerelor naturale, atunci mulțimea numerelor naturale se scrie ca N (\displaystyle \mathbb (N) ), și fără zero - ca N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*)).

În literatura matematică internațională, ținând cont de cele de mai sus și pentru a evita ambiguitățile, sunt multe ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) de obicei numită mulţimea numerelor întregi pozitive şi notate Z + (\displaystyle \mathbb (Z)_(+)). Multe ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) este adesea numită mulțimea numerelor întregi nenegative și denotă Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z)_(\geqslant 0)).

Astfel, numerele naturale sunt introduse și pe baza conceptului de mulțime, după două reguli:

Numerele definite în acest fel se numesc ordinale.

Să descriem primele câteva numere ordinale și numerele naturale corespunzătoare:

Mărimea mulțimii numerelor naturale

Mărimea unei mulțimi infinite este caracterizată de conceptul de „cardinalitate a unei mulțimi”, care este o generalizare a numărului de elemente ale unei mulțimi finite la mulțimi infinite. În mărime (adică cardinalitate), mulțimea numerelor naturale este mai mare decât orice mulțime finită, dar mai mică decât orice interval, de exemplu, intervalul (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Mulțimea numerelor naturale are aceeași cardinalitate ca și mulțimea numerelor raționale. O mulțime de aceeași cardinalitate ca și mulțimea numerelor naturale se numește mulțime numărabilă. Astfel, setul de termeni ai oricărei secvențe este numărabil. În același timp, există o succesiune în care fiecare număr natural apare de un număr infinit de ori, deoarece mulțimea numerelor naturale poate fi reprezentată ca o uniune numărabilă de mulțimi numărabile disjunse (de exemplu, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty)\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Operatii pe numere naturale

Operațiile închise (operațiile care nu obțin un rezultat din mulțimea numerelor naturale) asupra numerelor naturale includ următoarele operații aritmetice:

În plus, sunt luate în considerare încă două operații (din punct de vedere formal, nu sunt operații pe numere naturale, deoarece nu sunt definite pentru toată lumea perechi de numere (uneori există, alteori nu)):

De remarcat că operațiile de adunare și înmulțire sunt fundamentale. În special, inelul numerelor întregi este definit tocmai prin operațiile binare de adunare și înmulțire.

Proprietăți de bază

• Comutativitatea adunării:

• Comutativitatea înmulțirii:

• Asociativitatea adăugării:

• Asociativitatea înmulțirii:

• Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

Structura algebrică

Adunarea transformă mulțimea numerelor naturale într-un semigrup cu unitate, rolul de unitate îl joacă 0 . Înmulțirea transformă și mulțimea numerelor naturale într-un semigrup cu identitate, elementul identitate fiind 1 . Folosind închideri cu privire la operațiile de adunare-scădere și înmulțire-împărțire se obțin grupuri de numere întregi Z (\displaystyle \mathbb (Z) )și numere pozitive raționale Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*)) respectiv.

Definiții teoretice de mulțimi

Să folosim definiția numerelor naturale ca clase de echivalență de mulțimi finite. Dacă notăm clasa de echivalență a unei mulțimi O, generat prin bijecții, folosind paranteze drepte: [ O], operațiile aritmetice de bază sunt definite după cum urmează:

Se poate demonstra că operațiile rezultate pe clase sunt introduse corect, adică nu depind de alegerea elementelor de clasă și coincid cu definițiile inductive.

Vezi de asemenea

Note

Literatură

• Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. - M.: Nauka, 1978.
  • Retipărire: M.: AST, 2006,