12 ve 13'ü ne böler. Yaratıcı çalışma "bölünebilirlik işaretleri"

3 ile bölünebilme
Bir sayı ancak ve ancak rakamları toplamı 3'e bölünebiliyorsa 3'e bölünebilir.

4 ile bölünebilme
Bir sayı, ancak ve ancak son iki basamağının sayısı sıfırsa veya 4'e bölünebiliyorsa 4'e bölünebilir.

5 ile bölünebilme
Bir sayı 5'e bölünebilir, ancak ve ancak son basamağı 5'e bölünebiliyorsa (yani 0 veya 5'e eşit).

6 ile bölünebilme
Bir sayı ancak ve ancak 2 ve 3'e bölünebiliyorsa 6'ya tam bölünür.

7 ile bölünebilme
Bir sayı, ancak ve ancak son rakamı olmadan bu sayıdan iki katına çıkan son basamağı çıkarmanın sonucu 7'ye bölünebiliyorsa 7'ye bölünebilir (örneğin, 259, 7'ye bölünebilir, çünkü 25 - (2 9) = 7 bölünebilirdir. 7 ile).

8 ile bölünebilme
Bir sayı ancak ve ancak son üç basamağı sıfırsa veya 8'e bölünebilen bir sayı oluşturuyorsa 8'e bölünebilir.

9 ile bölünebilme
Bir sayı ancak ve ancak rakamları toplamı 9'a bölünebiliyorsa 9'a bölünebilir.

10 ile bölünebilme
Bir sayı ancak ve ancak sıfırla bitiyorsa 10'a bölünebilir.

11 ile bölünebilme
Bir sayı, ancak ve ancak alternatif işaretli rakamların toplamı 11'e bölünebiliyorsa 11'e bölünebilir (yani 182919, 11'e bölünebilir, çünkü 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22, 11'e bölünebilir. ) - 10 n biçimindeki tüm sayıların 11'e bölündüğünde (-1) n kalanını vermesi gerçeğinin bir sonucu.

12 ile bölünebilme
Bir sayı ancak ve ancak 3 ve 4'e bölünebiliyorsa 12'ye tam bölünür.

13 ile bölünebilme
Sayı 13'e bölünebilir, ancak ve ancak dörtlü birim sayısıyla eklenen onluk sayısı 13'ün katıysa (örneğin, 845 13'e bölünebilir, çünkü 84 + (4 5) = 104 bölünebilirdir) 13).

14 ile bölünebilme
Bir sayı ancak ve ancak 2 ve 7'ye bölünebiliyorsa 14'e tam bölünür.

15 ile bölünebilme
Bir sayı ancak ve ancak 3 ve 5'e bölünebiliyorsa 15'e tam bölünür.

17 ile bölünebilme
Sayı 17'ye bölünebilir, ancak ve ancak 12 kat artan birim sayısıyla eklenen onlarca sayısı 17'nin katıysa (örneğin, 29053 → 2905 + 36 = 2941 → 294 + 12 = 306 → 30) + 72 = 102 → 10 + 24 = 34. 34, 17'nin katı olduğundan, 29053 17'nin katıdır). İşaret her zaman uygun değildir, ancak matematikte belirli bir anlamı vardır. Biraz daha basit bir yol var - Sayı 17'ye bölünebilir, ancak ve ancak onluk sayısı ile beşli birim sayısı arasındaki fark 17'nin katıysa (örneğin, 32952 → 3295-10 = 3285 → 328-) 25 = 303 → 30-15 = 15. 15 sayısı 17'ye tam bölünemediğinden 32952 de 17'ye tam bölünemez)

19 ile bölünebilme
Bir sayı, ancak ve ancak birimlerin iki katıyla eklenen onluklarının sayısı 19'un katıysa 19'a bölünebilir (örneğin, 646, 19'a bölünebilir, çünkü 64 + (6 2) = 76 bölünebilirdir) 19'a kadar).

23 ile bölünebilme
Sayı 23'e bölünebilir, ancak ve ancak onlar sayısının üç katıyla eklenen yüzlerce sayısı 23'ün katıysa (örneğin, 28842 23'e bölünebilir, çünkü 288 + (3 * 42) = 414) devam ediyoruz 4 + (3 * 14) = 46, 23'e tam bölünebilir).

25 ile bölünebilme
Bir sayı, ancak ve ancak son iki basamağı 25'e (yani 00, 25, 50 veya 75'i oluşturur) veya 5'in katlarına bölünebiliyorsa 25 ile bölünebilir.

99 ile bölünebilme
Sayıyı sağdan sola 2 basamaklı gruplara ayırın (en soldaki grupta bir basamak olabilir) ve bu grupların toplamını iki basamaklı sayılar olarak sayarak bulun. Bu toplam, ancak ve ancak sayının kendisi 99'a bölünebiliyorsa 99'a bölünebilir.

101 ile bölünebilme
Sayıyı sağdan sola 2 haneli gruplara ayırın (en soldaki grupta bir hane olabilir) ve bu grupların değişen işaretli toplamını iki haneli sayılar olarak kabul ederek bulun. Bu toplam, ancak ve ancak sayının kendisi 101'e bölünebiliyorsa 101'e bölünebilir. Örneğin, 590547 101'e bölünebilir, çünkü 59-05 + 47 = 101, 101'e bölünebilir.

Başlamak için bir örnek düşünün - sorunun çözümü 19(Bu konuda tam sayılar ) - CMM gerçek KULLANIM 2015 yıllar, erken dönem, temel. (Bunun teorisi - bölünebilirlik işaretleri - aşağıda.)

ödev 19

181615121 sayısındaki üç basamağın üzerini çizin, böylece elde edilen sayı 12'ye bölünebilir. Cevabınıza böyle bir sayı yazın.

Çözüm.

12 sayısını asal çarpanlarına ayırıyoruz. 12 = 3 × 4 = 3 × 2 × 2.
Bu nedenle, sayıların üzerini çizdikten sonra verilen sayı, 3 ve 4'e veya 2'ye, yine 2'ye ve son olarak 3'e bölünebilmelidir.
Çift sayılar 2'ye bölünebilir, bu nedenle sondaki 1'i hemen çizin. 18161512 olarak kalacaktır.
Ama 2'ye ikiye bölünebilmesi gerekiyor, yani. 4'e bölünür.
4'e bölünebilme, bunun için son iki basamağın oluşturduğu iki basamaklı sayının 4'e tam bölünebilmesi gerektiğini belirtir. 12 : 4 = 3, yani 18161512'nin son iki basamağının üzeri çizilemez. Sayının 4'e bölünebileceğini garanti ederler (ikiye de bölünür).
Bir sayının 3'e tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'e tam bölünebilmesi gerekir.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 = 3 × 8 + 1 - birimlerden birinin üzerini çizebilirsiniz, ancak sorunun durumuna göre iki sayıyı daha geçmeniz gerekir;
25 = 3 × 7 + 4 - üstü çizilecek iki rakam yoktur, toplamı 4 olur, çünkü son rakamlar 1 ve 2'ye dokunulmamalıdır;
25 = 3 × 6 + 7 - 6'yı ve sonuncusu hariç herhangi birini geçerseniz, iki çarpı işaretli basamağın toplamı 7 olacaktır.
Yani, olası cevaplar: 811512 veya 181512. Bunlardan birini seçin, örneğin

Cevap: 181512

Birinin soruları olabilir, asal faktörler nelerdir ve asal faktörlere nasıl dahil edilir?
Asal faktörler daha fazla bölünemez. Asal sayılar yalnızca kendilerine ve 1'e bölünebilir, örneğin 13: 1 = 13 veya 13:13 = 1 ve bu kadar. Ve yavaş yavaş ortaya koymak daha iyidir.
Örneğin 60 = 6 × 10, 6 = 2 × 3 ve 10 = 2 × 5, yani 60 = 2 × 3 × 2 × 5.

Bu tür sorunları çözmek için teoremleri bilmeniz gerekir - doğal sayıların bölünebilirliği için testler. İşaretleri ne kadar çok bilirseniz, sorunu o kadar hızlı çözersiniz. Ana olanları tekrarlayın.

2 ile bölünebilme.

Bir sayı ancak ve ancak son basamağı 2'ye bölünebiliyorsa ikiye bölünebilir, yani. 2, 4, 6, 8, 0.

3 ile bölünebilme.

Bir doğal sayı ancak ve ancak rakamları toplamı 3'e bölünebiliyorsa üçe bölünebilir.

Örneğin, 4539861 3'e bölünebilir, çünkü 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 = 36. 36, 3'e tam bölünür.
Örneğin, 394762 3'e bölünemez, çünkü 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 = 31. 31 sayısı 3'e tam bölünemez.
Favori hesap makinenle kontrol edebilirsin
4539861: 3=1513287
394762: 3=131587,33333333333333333333333333

Rakamların toplamı çok basamaklı bir sayı ise, aynı işaretle bölünebilirliği kontrol edilebilir.
Örneğin, 165394786171277984079 3 ile bölünebilir, çünkü 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 9 + 8 + 4 + 0 + 7 + 9 = 111. 111 3 ile bölünebilir çünkü 1 + 1 + 1 = 3. 3 sayısı 3'e tam bölünür.
165394786171277984079: 3 = 55131595390425994693

4 ile bölünebilme.

En az üç basamaklı bir doğal sayı, ancak ve ancak verilen sayının son iki basamağından oluşan iki basamaklı sayı 4'e bölünebiliyorsa 4'e tam bölünür.

İki basamaklı sayıların 4 ile bölünebilirliğini kontrol etmek için, 4 = 2 × 2 olduğu gerçeğini kullanıyoruz, yani. 4'e bölme, 2'ye bölmek için arka arkaya iki ile aynıdır. Bu nedenle, ilk olarak, iki basamaklı sayı çift olmalıdır ve ikinci olarak, onu 2'ye bölmek ve sonucun çift olup olmadığına bakmak kolaydır. sayı. Örneğin,

5773211789020783 4 ile bölünemez, çünkü 83, 2'nin katı değildir.
4920904953478666 4'e bölünemez, çünkü 66 : 2=33 tek sayıdır.
5897592348940996 4 ile bölünebilir çünkü 96 : 2=48 çift sayıdır.

Bu kriterin işe yaradığının kanıtı, 100'ün 4'e bölünebilmesine ve aşağıda verilen bir toplamın bölünebilirliği teoremine dayanmaktadır. Burada verilen USE probleminden bir örnek kullanarak bir açıklama ele alacağız.
18161512 = 18161500 + 12 = 181615 × 100 + 12 = 181615 × 25 × 4 + 3 × 4 = (181615 × 25 + 3) × 4.
Parantez içinde doğal bir sayı elde edersiniz; bu, orijinal sayının kalansız 4'e bölünebileceği anlamına gelir.

5 ile bölünebilme.

Bir sayı, ancak ve ancak son basamağı 5 veya 0 ise 5'e bölünebilir.

6 ile bölünebilme genellikle bir teorem olarak formüle edilmez. 6 = 2 × 3 olduğundan, 2'ye ve 3'e bölünebilme kriterleri sırayla kullanılır.Böylece çift sayılar 6'ya bölünür ve rakamları toplamı 3'e bölünür.
629 - 6'ya bölünemez, tek.
692 - 6'ya tam bölünemez, ancak 6 + 9 + 2 = 17, 3'e bölünemez.
792, 6'ya tam bölünür ve 7 + 9 + 2 = 18, 3'e tam bölünür.

8 ile bölünebilme ayrıca bir teorem olarak formüle edilmemiştir.
8 = 2 × 4 ve 1000 = 250 × 4 olduğundan, bu nedenle, 1000'den büyük sayılar için, 4'e bölünebilirliğe benzetilerek, son üç basamağın oluşturduğu sayının 8'e bölünebilirliği ve daha küçük sayılar için kontrol edilir. 1000 (üç basamaklı), doğrudan 2'ye bölme ve 4'e bölmeyle elde edilen sonucu kontrol etme. Örneğin,
58989081099472 - 472'den beri 8'e bölünebilir : 2 = 236 ve 36 4'e tam bölünür.

9 ile bölünebilme.

Bir doğal sayı ancak ve ancak rakamları toplamı 9'a bölünebiliyorsa 9'a bölünebilir.

Örneğin, 4539861 9 ile bölünebilir, çünkü 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 = 36. 36, 9'a tam bölünür.
Örneğin, 394762 9 ile bölünemez, çünkü 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 = 31. 31 sayısı 9'a tam bölünemez.
4539861: 9=504429
394762: 9=43862,444444444444444444444444444

10 ile bölünebilme

Bir doğal sayı ancak ve ancak son basamağı 0 ise 10 ile bölünebilir.

Bu özellik kolayca onlarca dereceye kadar genişletilebilir. Bir sayı, son iki basamağı sıfır olduğunda 100'e, sonunda üç sıfır olduğunda 1000'e vb. bölünebilir.

Hatırlaması kolay 7, 11, 13, 17 gibi asal sayılar için bölünebilme kriterleri ..., Ne yazık ki hayır. Birleşik Devlet Sınavı organizatörleri bunu biliyor ve yalnızca bu tür çözüm yöntemlerinin kullanımına odaklanan görevleri içermeyecek. Sözlü sayma tekniğinin gelişiminin uzun tarihi boyunca, matematik, elbette, bu tür sayıların bölünebilirliğinin bazı genel özelliklerini tanımladı ve formüle etti. İlgilenenler Wikipedia'ya başvurabilir.

Sadece 11 sayısına dikkat etmenizi öneririm. İki basamaklı bir sayının aynı basamaklardan oluşuyorsa 11'e tam bölüneceği açıktır. Üç basamaklı bir sayı, orta basamağı iki uçtakinin toplamına eşitse veya ilk ve son basamaklarının toplamı ortadaki basamak artı 11'e eşitse 11'e bölünebilir. Örneğin, 495 ile bölünebilir. 11, 4 + 5 = 9 ve 957, 11'e bölünebildiğinden, 9 + 7 = 5 + 11 gibi.

Ve ezberlemede bileşik sayılar için bölünebilme kriterleri gerekli değil. Bileşik sayılar asal çarpanlara ayrılabilir.

Doğal sayıların çarpımları ve toplamları için bölünebilirlik teoremleri.

Çarpımdaki faktörlerden en az biri bir sayıya bölünebiliyorsa, o zaman İş bu sayıya bölünür.

Örneğin, 475 × 1230 × 800 ürünü 3'e bölünür, çünkü ikinci faktör 3'e bölmeyi karşılar - rakamları toplamı 1 + 2 + 3 + 0 = 6, 3'e bölünür.

Her terim bir sayıya bölünebiliyorsa, o zaman toplam bu sayıya bölünür.

Örneğin, 475 + 1230 + 800 toplamı 5'e bölünebilir, çünkü her toplam 5'e bölme kriterini karşılar.

Toplamın bölünebilirliği ile ilgili tersi ifade doğru değildir. Toplamın her toplamı bir sayıya bölünemiyorsa, bu durumda hem bölünen hem de bölünemeyen toplam için her iki seçenek de mümkündür.
43 5 ile bölünemez, 17 5 ile bölünemez, 43 + 17 = 60 5 ile bölünemez.

Bir ürünün bölünebilirliği hakkındaki ters ifade, ancak bölen asal faktörlere ayrıştırıldıktan sonra formüle edilebilir. Aslında görev, bölümün başında yer alan bu eyleme ayrılmıştır.

Cebir ile arkadaşsanız ve ortak bir çarpanı parantezlerden nasıl çıkaracağınızı ve sıradan kesirleri nasıl iptal edeceğinizi biliyorsanız, o zaman bir toplamın bölünebilirliği teoremi, ortak bir faktörün varlığı ve bölünebilirlik teoremi olarak hatırlanabilir. ürün, sıradan bir kesri iptal etme yeteneği olarak.

Toplamın bölünebilirliği ile ilgili teoremi kullanarak, örneğin bölünebilme kriterlerini 3 ve 9 ile kontrol ederken, hesaplamalarda "kaydedebilirsiniz". Büyük sayıların basamaklarını eklerken, açıkça bölünebilir olan tüm basamakları toplamdan atabilirsiniz. sırasıyla 3 veya 9 ile.
"3'e bölme işareti"nden son örneğe dönelim.
165394786171277984079 sayısı için 1+6+5+3+9+4+7+8+6+1+7+1+2+7+7+9+8+4+0+7+9 yerine 1 hesaplıyoruz. + 5 + 4 + 7 + 8 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 8 + 4 + 0 + 7 = 69. Sonuç aynı - 3'e bölünür.

Ve sonuncusu:
Matematikçiler çok yazmayı sevmezler. Aynı kelimelerin uzun cümleleri ve tekrarları bir çözümü açıklamak için iyidir, ancak yazarken kuralların kullanılması tavsiye edilir. "Bölen" terimi için sembolünü kullanabilirsiniz. ⋮ dikey elips.
48⋮ 6, 48'in 6'ya bölünebildiği veya 48'in 6'nın katı olduğu anlamına gelir.

Kendi kendini test etme görevleri.

Burada, önce kendiniz düşünebilmeniz ve ardından sizinkiyle benimkini karşılaştırmak için bir düğmeyi tıklayabilmeniz için geçici olarak gizlenen çözümlerle ilgili sorunlar bulunmaktadır. Cevabınızı kontrol etmeyle ilgili benzer sorunlar, Federal Pedagojik Ölçümler Enstitüsü'nün Açık Ödev Bankası'nda bulunabilir.

Sorun 1

Çarpımı 40 olan 12 ile bölünebilen beş basamaklı bir sayı örneği verin. Cevabınıza tam olarak böyle bir sayı yazın.

Çözümü göster

40 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 40 = 2 × 2 × 2 × 5.
Bu tür sadece dört faktör vardır, rakamlar beş basamaklı bir sayı için yeterli değildir, ancak her zaman ürüne bir tane ekleyebilirsiniz, sonuç değişmeyecektir.
40 = 2 × 2 × 2 × 5 × 1.
Böylece cevaptaki sayı ancak şu sayılardan oluşabilir: 1,2,2,2,5.
Bir sayının 12'nin katı olması için (12 ile kalansız bölünebilen aynı şey), 12 = 3 × 4 olduğundan, 3 ve 4 ile bölünebilme kriterlerini sağlamalıdır.
1 + 2 + 2 + 2 + 5 = 12 rakamlarının toplamını kontrol edelim. 3'e bölünebilir, yani herhangi bir basamak permütasyonu için sayımız 3'e bölünebilir.
Ve 4'e bölünebilmesi için, sonunda iki rakam koymanız gerekir, böylece onlardan oluşan sayı 4'e bölünebilir.
Açıkçası, son rakam 2 olmalı, diğerleri tek olmalı. 12, 22, 52 seçeneklerini kontrol edelim.
12: 4 = 3; 22: 4 = 11: 2 - tamamen bölünmemiş; 52: 4 = 13.
Sonuç: sayı, sonunda 12 veya 52 olacak ve başlangıçta kalan üç basamağın herhangi bir permütasyonu olacak şekilde oluşturulmalıdır.
Olası cevaplar: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. Yanıt olarak bunlardan birini yazın. Örneğin,

Cevap: 21252

2. sorun

Rakamlarının çarpımı 30 olan 15 ile bölünebilen üç basamaklı bir sayı örneği verin. Cevabınıza tam olarak böyle bir sayı yazın.

Çözümü göster

30 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 30 = 2 × 3 × 5.
Böyle üç faktör var, 15 ile bölünebilen üç basamaklı bir sayı oluşturmamız gerekiyor, yani. 15 = 3 × 5 olduğundan, 3 ve 5 ile bölünebilme kriterlerini karşılar.
Bir sayının 5'e tam bölünebilmesi için 5 ile bitmesi gerekir.
2 + 3 + 5 = 10 basamaklarının toplamını kontrol edelim. Basamakların toplamı 3'e bölünemez, bu nedenle sayımız herhangi bir basamak permütasyonu için 3'e bölünemez.
Çıkmaz sokak? Numara. Yine, herhangi bir sayıda birimi faktör olarak ekleyebileceğinizi ve sonucun değişmeyeceğini unutmayın.
30'u 2 × 3 × 5 × 1 olarak yeniden yazın.
Artık üç basamaklı bir sayı oluşturmak için gerekenden daha fazla olası basamak var. Bu nedenle, bazı basit faktörleri bileşik olanlar olarak gruplandıralım: 2 × 5 = 10 ve 3 × 5 = 15 bunlar sayı değil, iki basamaklı sayılardır. 2 × 3 = 6 6 sayısı 6 sayısı ile temsil edilir.
30'u 6 × 5 × 1 olarak yeniden yazın.
6 + 5 + 1 = 12 rakamlarının toplamını kontrol edelim. 3'e bölünür. Böylece cevaptaki sayı 6,5,1 rakamlarından oluşabilir. Son rakam 5 olmalıdır.

Olası cevaplar: 615, 165

Sorun 3

5'e bölünebilen dört basamaklı bir sayının rakamları ters sırada yazılır ve ikinci dört basamaklı sayı alınır. Sonra ikincisi birinci sayıdan çıkarıldı ve 2277 oldu. Böyle bir sayıya tam olarak bir örnek verin.

Çözümü göster

5'in katı, 0 veya 5 rakamlarıyla biter. O zaman ters sırada yazılan sayı 0 veya 5 ile başlamalıdır. Sayı 0 ile başlıyorsa, artık dört basamaklı değil, üç basamaklı olacaktır. Başlangıçta 0 genellikle yazmaz. Örneğin, 0348 sadece 348'dir. Yani gerekli sayı 5 ile biter. Sayılarının geri kalanı harflerle gösterilecektir. a, b, c... Sayının kendisi bu durumda belirtilir ABC 5____ .
Bu gösterimi değişkenlerin cebirsel çarpımı ile karıştırmamak için yukarıdaki çubuğa burada ihtiyaç vardır ( a ile çarpmak B, çarpmak ile birlikte...). Ters sırada yazılan sayı 5 ile gösterilir. cba____ .
koşula göre

ABC 5____ − 5cba____ = 2277.
Bu sütunlu çıkarma işlemini yaptığımızı düşünelim.
1) 5, 7'den küçüktür, yani çıkarırken on almanız gerekiyordu.
10 + 5 − a = 7. a = 15 − 7 = 8.
2) Onlarca çıkarıldığında, yüzlerce yerine bir birimin işgal edilip edilmediği çok açık değildir. İlk olarak, diyelim ki yapmadık. Sonra bir azaltılmış sayıdan C okudun mu B ve 7 aldım
(C − 1) − B = 7. C = 8 + B.
Bu seçenek uygundur B= 0 ve B= 1. Büyük değerler B artacak C iki haneye kadar. örneğin al B= 1, o zaman C= 9 ve kontrol ederek 8195 sayısının problemin durumunu karşıladığından emin oluyoruz.

Cevap: 8195

sayılar için bölünebilirlik testleri- bunlar, bölme yapmadan, bu sayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünemeyeceğini nispeten hızlı bir şekilde bulmayı sağlayan kurallardır.
Bazı bölünebilme kriteri oldukça basit, biraz daha zor. Bu sayfada, örneğin 2, 3, 5, 7, 11 gibi asal sayıların bölünebilme kriterlerini ve 6 veya 12 gibi bileşik sayıların bölünebilme kriterlerini bulacaksınız.
Umarım bu bilgiler sizin için faydalı olacaktır.
Mutlu öğrenme!

2 ile bölünebilme

Bu en basit bölünebilirlik testlerinden biridir. Kulağa şöyle geliyor: Bir doğal sayının kaydı çift basamakla bitiyorsa, o zaman çifttir (2'ye kalansız bölünür) ve bir sayının kaydı tek basamakla bitiyorsa, bu sayı tektir.
Başka bir deyişle, sayının son basamağı ise 2 , 4 , 6 , 8 veya 0 - sayı 2'ye bölünür, değilse bölünemez
Örneğin, sayılar: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 çift ​​oldukları için 2'ye tam bölünürler.
Ve sayılar: 23 5 , 137 , 2303
tek oldukları için 2'ye bölünemezler.

3 ile bölünebilme

Bu bölünebilme kriterinin tamamen farklı kuralları vardır: Bir sayının rakamlarının toplamı 3'e bölünebiliyorsa, o sayı 3'e de bölünebilir; bir sayının rakamları toplamı 3'e tam bölünemiyorsa o sayı 3'e de tam bölünemez.
Yani bir sayının 3'e tam bölünüp bölünemeyeceğini anlamak için sadece içerdiği sayıları toplamanız yeterlidir.
Şuna benziyor: 3987 ve 141, 3'e bölünebilir, çünkü ilk durumda 3 + 9 + 8 + 7 = 27 (27: 3 = 9 - ostak olmadan 3'e bölünebilir) ve ikinci 1 + 4 + 1 = 6 (6: 3 = 2 - ayrıca 3'e ostak'sız bölünebilir).
Ancak 235 ve 566 sayıları 3'e tam bölünemez çünkü 2 + 3 + 5 = 10 ve 5 + 6 + 6 = 17 (ve ne 10'un ne de 17'nin 3'e kalansız bölünemeyeceğini biliyoruz).

4 ile bölünebilme

Bu bölünebilirlik kriteri daha karmaşık olacaktır. Sayının son 2 basamağı 4'e tam bölünen bir sayı oluşturuyorsa veya 00 ise sayı 4'e tam bölünür, aksi halde 4'e kalansız bölünemez.
Örneğin: 1 00 ve 3 64 4'e bölünür, çünkü ilk durumda sayı ile biter 00 , ve ikincisinde 64 4 ile kalansız bölünür (64: 4 = 16)
3 numara 57 ve 8 86 4 ile bölünemez çünkü ikisi de 57 ne de 86 4 ile bölünemezler, yani verilen bölünebilirlik kriterine karşılık gelmezler.

5 ile bölünebilme

Ve yine oldukça basit bir bölünebilirlik işaretine sahibiz: Bir doğal sayının kaydı 0 veya 5 ile bitiyorsa, bu sayı 5'e kalansız bölünebilir. 5 ile kalansız bölünemez.
Bu, rakamlarla biten tüm sayıların 0 ve 5 ör. 1235 5 ve 43 0 , kuralın altına girerler ve 5'e bölünürler.
Ve örneğin, 1549 3 ve 56 4 5 veya 0 ile bitmez, yani 5'e kalansız bölünemezler.

6 ile bölünebilme

Önümüzde 2 ve 3 sayılarının çarpımı olan bir bileşik 6 sayısı var. Bu nedenle, 6'ya bölünebilme de bileşiktir: bir sayının 6'ya bölünebilmesi için aynı anda iki bölünebilme özelliğine karşılık gelmesi gerekir. zaman: 2 ile bölünebilme özelliği ve 3 ile bölünebilme özelliği. Aynı zamanda, 4 gibi bir bileşik sayının bireysel bir bölünebilirlik işaretine sahip olduğuna dikkat edin, çünkü bu, 2 sayısının kendi başına ürünüdür. Ancak 6 kritere bölünebilirliğe geri dönelim.
138 ve 474 sayıları çifttir ve 3'e (1 + 3 + 8 = 12, 12: 3 = 4 ve 4 + 7 + 4 = 15, 15: 3 = 5) bölünebilme kriterlerine karşılık gelir, yani bunlar 6'ya bölünebilir. Ama 123 ve 447, 3'e bölünebilmelerine rağmen (1 + 2 + 3 = 6, 6: 3 = 2 ve 4 + 4 + 7 = 15, 15: 3 = 5), ancak tektirler, yani 2 ile bölünebilme kriterine uymazlar ve bu nedenle 6 ile bölünebilme kriterine uymazlar.

7 ile bölünebilme

Bu bölünebilirlik kriteri daha karmaşıktır: Bir sayı, bu sayının onlarca sayısından son iki katına çıkan rakamın çıkarılmasının sonucu 7'ye veya 0'a bölünebiliyorsa, 7 ile bölünebilir.
Kulağa oldukça kafa karıştırıcı geliyor, ancak pratikte basit. Kendiniz görün: sayı 95 9, 7'ye bölünebilir çünkü 95 -2 * 9 = 95-18 = 77, 77: 7 = 11 (77, 7'ye kalansız bölünür). Ayrıca, dönüşümler sırasında elde edilen sayı ile ilgili zorluklar ortaya çıkarsa (büyüklüğü nedeniyle 7'ye bölünüp bölünmediğini anlamak zordur, bu işleme gerekli gördüğünüz kadar devam edilebilir).
Örneğin, 45 5 ve 4580 1'in 7'ye bölünebilme işaretleri var. İlk durumda, her şey oldukça basit: 45 -2 * 5 = 45-10 = 35, 35: 7 = 5. İkinci durumda, bunu yapacağız: 4580 -2 * 1 = 4580-2 = 4578. olup olmadığını anlamak bizim için zor 457 8'e 7, bu yüzden işlemi tekrarlayalım: 457 -2 * 8 = 457-16 = 441. Ve yine bölünebilme kriterini kullanacağız, çünkü elimizde hala üç basamaklı bir sayı var. 44 1. Yani, 44 -2 * 1 = 44-2 = 42, 42: 7 = 6, yani. 42, 7'ye kalansız bölünür, yani 45801, 7'ye bölünür.
Ama sayılar 11 1 ve 34 5, 7'ye bölünemez çünkü 11 -2 * 1 = 11 - 2 = 9 (9, 7'ye tam bölünemez) ve 34 -2 * 5 = 34-10 = 24 (24, 7'ye tam bölünemez).

8 ile bölünebilme

8 ile bölünebilme şu şekildedir: Son 3 basamak 8 veya 000 ile bölünebilen bir sayı oluşturuyorsa, verilen sayı 8'e tam bölünür.
Sayılar 1 000 veya 1 088 8 ile bölünebilir: ilk biter 000 , ikinci 88 : 8 = 11 (8 ile kalansız bölünür).
Ama 1 numara 100 veya 4 757 sayılar 8 ile bölünemez 100 ve 757 8 ile tam bölünemezler.

9 ile bölünebilme

Bu bölünebilme işareti 3'e bölünebilme işaretine benzer: Bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünebiliyorsa, sayı 9'a da bölünür; bir sayının rakamları toplamı 9'a tam bölünmüyorsa o sayı 9'a da tam bölünemez.
Örneğin: 3987 ve 144 9'a bölünebilir, çünkü ilk durumda 3 + 9 + 8 + 7 = 27 (27: 9 = 3 - ostak olmadan 9'a bölünebilir) ve ikinci 1 + 4 + 4 = 9 (9: 9 = 1 - ayrıca 9'a ostak olmadan bölünebilir).
Ama 235 ve 141 sayıları 9'a tam bölünemez çünkü 2 + 3 + 5 = 10 ve 1 + 4 + 1 = 6 (ve ne 10'un ne de 6'nın 9'a kalansız bölünemeyeceğini biliyoruz).

10, 100, 1000 ve diğer bit birimlerine bölünebilme

Bu bölünebilirlik işaretlerini birleştirdim çünkü aynı şekilde tanımlanabiliyorlar: sayının sonundaki sıfırların sayısı belirli bir bit birimindeki sıfırların sayısından büyük veya ona eşitse bir sayı bir bit birimine bölünür.
Başka bir deyişle, örneğin şöyle sayılara sahibiz: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... bunların hepsi 1'e bölünür 0 ; 46400 ve 867 000 ayrıca 1'e bölünür 00 ; ve bunlardan sadece biri - 867 000 1 ile bölünebilir 000 .
Sonunda bir bit biriminden daha az sıfır olan sayılar o bit birimine bölünemez, örneğin 600 30 ve 7 93 bölünemez 1 00 .

11 ile bölünebilme

Bir sayının 11'e tam bölünüp bölünemeyeceğini bulmak için bu sayının çift ve tek rakamlarının toplamları arasındaki farkı bulmamız gerekir. Bu fark 0'a eşitse veya 11'e kalansız bölünüyorsa, sayı 11'e kalansız bölünür.
Daha açık hale getirmek için, örnekleri düşünmeyi öneriyorum: 2 35 4, 11'e bölünebilir çünkü ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 de 11 ile bölünebilir, çünkü ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Ama 1 1 1 veya 4 35 4, 11'e bölünemez, çünkü ilk durumda (1 + 1) alırız - 1 = 1 ve ikincisinde ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12 ile bölünebilme

12 sayısı bileşiktir. Bölünebilme kriteri, aynı anda 3 ve 4 ile bölünebilme kriterine karşılık gelmesidir.
Örneğin, 300 ve 636 hem 4'e bölünebilme işaretlerine (son 2 basamak sıfırdır veya 4'e bölünebilir) hem de 3'e bölünebilme işaretlerine (rakamların toplamı ve sayının ilk ve üç katının toplamı) karşılık gelir. 3) ile bölünebilir ve znit, 12 ile kalansız bölünebilir.
Ancak 200 veya 630, 12'ye bölünemez, çünkü ilk durumda sayı yalnızca 4'e bölünebilirlik işaretine karşılık gelir ve ikincisinde - yalnızca 3'e bölünebilirlik işaretine karşılık gelir, ancak aynı anda her iki işarete de karşılık gelmez. .

13 ile bölünebilme

13 ile bölünebilmenin işareti, bir sayının 4 birim ile çarpımı ile eklenen onlarca sayının 13'ün katı veya 0'a eşit olması durumunda sayının 13'e tam bölünebilmesidir.
örneğin al 70 2. Yani, 70 + 4 * 2 = 78, 78: 13 = 6 (78, 13'e kalansız bölünür), yani 70 2, 13'e kalansız bölünür. Diğer bir örnek ise sayıdır. 114 4. 114 + 4 * 4 = 130, 130: 13 = 10. 130 sayısı 13'e kalansız bölünür, yani verilen sayı 13'e bölünebilme kriterine karşılık gelir.
sayıları alırsak 12 5 veya 21 2, o zaman alırız 12 + 4 * 5 = 32 ve 21 Sırasıyla + 4 * 2 = 29 ve ne 32 ne de 29 13'e kalansız bölünemez, yani verilen sayılar 13'e tam bölünemez.

sayıların bölünebilirliği

Yukarıdan da görülebileceği gibi, herhangi bir doğal sayı için kendi bireysel bölünebilme kriterinizi veya sayı birkaç farklı sayının katıysa bir "bileşik" özelliği seçebileceğinizi varsayabiliriz. Ancak uygulamanın gösterdiği gibi, genel olarak, sayı ne kadar büyükse, işareti o kadar karmaşıktır. Belki de bölünebilirlik kriterini kontrol etmek için harcanan zaman, bölmenin kendisine eşit veya ondan daha fazla olabilir. Bu nedenle, genellikle bölünebilme kriterlerinin en basitini kullanırız.

CHISTENSKY UVK "GENEL EĞİTİM OKULU

ben – III ADIMLAR - KOLEJ "

YÖN MATEMATİK

"BÖLÜNEBİLİRLİK İŞARETLERİ"

işi yaptım

7a sınıf öğrencisi

Zhuravlev David

süpervizör

en yüksek kategorideki uzman

Fedorenko Irina Vitalievna

Temiz, 2013

İçindekiler

Tanıtım. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2

1. Sayıların bölünebilirliği. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3

1.1 2, 5, 10, 3 ve 9 ile bölünebilme kriteri. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4

1.2 4, 25 ve 50 ile bölünebilme kriteri. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4

1.3 8 ve 125 ile bölünebilme kriteri. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5

1.4 Bölünebilme kriterinin 8 ile sadeleştirilmesi. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5

1.5 6, 12, 15, 18, 45, vb. ile bölünebilme kriteri ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6

1. 6 ile bölünebilme. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7

2. Asal sayılara bölünebilme için basit testler. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7

2.1 7 ile bölünebilme. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7

2.2 11'e bölünebilme kriteri. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... sekiz

2.3 13 ile bölünebilme kriteri. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... sekiz

2.4 19'a bölünebilme kriteri. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... dokuz

3. 7, 11 ve 13 ile bölünebilmenin birleşik kriteri. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... dokuz

4. 7 ile bölünebilme hakkında eski ve yeni.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... on

5. Bölünebilme kriterinin 7 ile diğer sayılara genişletilmesi. ... ... ... ... ... 12

6. Genelleştirilmiş bölünebilme kriteri. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13

7. Bölünebilme merakı. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15

Sonuçlar. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16

Edebiyat. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17

GİRİŞ

Yüzmeyi öğrenmek istiyorsan cesaretle suya gir ve problem çözmeyi öğrenmek istiyorsan çöz.

D.Poya

Matematikte birçok bölüm vardır ve bunlardan biri de sayıların bölünebilirliğidir.

Geçmiş yüzyılların matematikçileri, matematik problemlerinin çözümüyle dolu olan hesaplamaları ve hesaplamaları yapmak için birçok kullanışlı numara bulmuşlardır. Durumdan oldukça makul bir çıkış yolu, çünkü hesap makineleri veya bilgisayarları yoktu. Bazı durumlarda, uygun hesaplama yöntemlerini kullanma yeteneği, sorunların çözümünü büyük ölçüde kolaylaştırır ve bunlara harcanan zamanı önemli ölçüde azaltır.

Şüphesiz, sayıya bölünebilme kriterleri de bu tür faydalı hesaplama tekniklerindendir. Bazıları daha kolaydır - sayıların 2, 3, 5, 9, 10'a bölünebilme işaretleri okul kursu çerçevesinde incelenir ve bazıları oldukça karmaşıktır ve pratikten daha fazla araştırma ilgisine sahiptir. Bununla birlikte, belirli sayılar için bölünebilirlik kriterlerinin her birini kontrol etmek her zaman ilginçtir.

İşin amacı: bölünebilirlik ile ilgili sayıların özelliklerinin anlaşılmasını genişletmek;

Görevler:

Sayıların bölünebilirliğinin çeşitli işaretleri hakkında bilgi edinin;

Onları sistematize edin;

Sayıların bölünebilirliğini belirlemek için tanıtılan kuralları, algoritmaları uygulama becerilerini oluşturur.

sayıların bölünebilirliği

Bölünebilirlik, bölme işlemi yapmadan bir sayının diğerine bölünüp bölünmediğini belirleyebileceğiniz bir kuraldır.

Miktarın bölünebilirliği. Her terim bir sayıya bölünebiliyorsa, toplam da bu sayıya bölünebilir.

Örnek 1.1

32 4 ile bölünebilir, 16 4 ile bölünebilir, yani 32 + 16 4 ile bölünebilir.

Farkın bölünebilirliği. Kesinti ve kesinti bir sayıya bölünebiliyorsa, aradaki fark da bu sayıya bölünür.

Örnek 1.2

777 7 ile bölünebilir, 49 ise 7 ile bölünebilir, yani 777 - 49 farkı 7 ile bölünebilir.

Bir ürünün bir sayıya bölünmesi. Çarpımdaki faktörlerden en az biri bir sayıya bölünüyorsa, çarpım da bu sayıya bölünür.

Örnek 1.3

15, 3'e bölünebilir, yani 15 ∙ 17 ∙ 23 çarpımı 3'e bölünür.

Bir sayının bir ürüne bölünmesi. Bir sayı bir çarpım tarafından bölünebiliyorsa, o çarpım çarpanlarının her birine bölünür.

Örnek 1.4

90, 30'a bölünür, 30 = 2 ∙ 3 ​​​​∙ 5, yani 30, 2'ye ve 3'e ve 5'e bölünür.

B. Pascal, sayıların bölünebilirlik işaretlerinin çalışmasına büyük katkı yaptı.Blaise Pascal (Blaise Pascal) (1623-1662), Fransız dini düşünür, matematikçi ve fizikçi, 17. yüzyılın en büyük beyinlerinden biri.Adını taşıyan aşağıdaki bölünebilirlik kriterini formüle etti:

Doğal sayı a başka bir doğal sayıya böler B sadece sayının rakamlarının çarpımları toplamı a bit birimlerinin sayıya bölünmesiyle elde edilen karşılık gelen artıklarla B , bu sayıya tam bölünür.

1.1 2, 5, 10, 3 ve 9 ile bölünebilme kriteri

Okulda 2, 3, 5, 9, 10 ile bölünebilme işaretlerini inceliyoruz.

10 ile bölünebilme Tüm bunlar ve yalnızca kaydı 0 ile biten sayılar 10'a bölünür.

5 ile bölünebilme. Tüm bunlar ve yalnızca kaydı 0 veya 5 ile biten sayılar 5'e bölünür.

2 ile bölünebilme. Tüm bunlar ve yalnızca kaydı çift basamakla biten sayılar 2: 2,4,6,8 veya 0'a bölünür.

3 ve 9 ile bölünebilme. Rakamlarının toplamı sırasıyla 3 veya 9'a bölünebilen tüm bu sayılar ve yalnızca bu sayılar 3 ve 9'a bölünür.

Sayıyı (son rakamlarına göre) yazarak, sayının 4, 25, 50, 8 ve 125 ile bölünebilirliğini de ayarlayabilirsiniz.

1.2 4, 25 ve 50 ile bölünebilme kriteri

Sadece iki sıfırla biten veya son iki basamağı sırasıyla 4, 25 veya 50 ile bölünebilen bir sayıyı ifade eden sayılar 4, 25 veya 50 ile bölünebilir.

Örnek 1.2.1

97300 sayısı iki sıfırla biter, yani 4, 25 ve 50 ile bölünebilir.

Örnek 1.2.2

81764 sayısı 4'e tam bölünür çünkü 64'ün son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'e tam bölünür.

Örnek 1.2.3

79 450 sayısı 25'e ve 50'ye tam bölünür çünkü 50'nin son iki basamağından oluşan sayı hem 25'e hem de 50'ye tam bölünür.

1.3 8 ve 125 ile bölünebilme kriteri

Sadece üç sıfırla biten veya son üç basamağı sırasıyla 8 veya 125 ile bölünebilen bir sayıyı ifade eden sayılar, 8 veya 125 ile bölünebilir.

Örnek 1.3.1

853.000 sayısı üç sıfırla biter, yani hem 8 hem de 125 ile bölünebilir.

Örnek 1.3.2

381 864 sayısı 8'e tam bölünür çünkü 864'ün son üç basamağının oluşturduğu sayı 8'e tam bölünür.

Örnek 1.3.3

179 250 sayısı 125'e tam bölünür çünkü son üç basamağı 250'nin oluşturduğu sayı 125'e tam bölünür.

1.4 Bölünebilme kriterinin 8 ile sadeleştirilmesi

Bir sayının bölünebilirliği sorunu, üç basamaklı bir sayının 8 ile bölünebilme sorununa indirgenir, ancakaynı zamanda, bu üç basamaklı sayının 8'e bölünüp bölünemeyeceğini hızlı bir şekilde nasıl bulacağınız hakkında hiçbir şey söylenmez. Üç basamaklı bir sayının 8'e bölünebilirliği de her zaman hemen görünmez, aslında yapmanız gerekir. bölme yapmak.

Doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: 8'e bölünebilme kriterini de basitleştirmek mümkün müdür? Üç basamaklı bir sayının 8'e bölünebilirliğinin özel bir işaretiyle tamamlarsanız yapabilirsiniz.

Üç basamaklı herhangi bir sayı 8'e tam bölünür, burada yüzler ve onlukların basamaklarından oluşan iki basamaklı sayı, birlerin yarısı ile eklendiğinde 4'e bölünür.

Örnek 1.4.1

592 8 ile bölünebilir mi?

Çözüm.

Birimleri 592 sayısından ayırıyoruz ve sayılarının yarısını sonraki iki haneye (onlar ve yüzler) ekliyoruz.

59 + 1 = 60 elde ederiz.

60 sayısı 4'e tam bölünür, yani 592 sayısı 8'e tam bölünür.

Cevap: bölünür.

1.5 6, 12, 15, 18, 45 vb. ile bölünebilme kriteri

Bir sayının bir ürüne bölünebilme özelliğini kullanarak, yukarıdaki bölünebilme kriterlerinden 6, 12, 15, 18, 24, vb. ile bölünebilme kriterlerini elde ederiz.

6 ile bölünebilme. Sadece 2 ve 3 ile bölünebilen sayılar 6 ile tam bölünür.

Örnek 1.5.1

31.242 sayısı hem 2'ye hem de 3'e tam bölünebildiği için 6'ya da tam bölünür.

12 ile bölünebilme Sadece 4 ve 3 ile bölünebilen sayılar 12 ile tam bölünür.

Örnek 1.5.2

316.224 sayısı hem 4'e hem de 3'e bölünebildiği için 12'ye tam bölünür.

15 ile bölünebilme Sadece 3 ve 5 ile bölünebilen sayılar 15 ile tam bölünür.

Örnek 1.5.3

812 445 sayısı hem 3'e hem de 5'e bölünebildiği için 15'e tam bölünür.

18 ile bölünebilme Sadece 2 ve 9'a bölünebilen sayılar 18'e tam bölünür.

Örnek 1.5.4

817.254 sayısı hem 2'ye hem de 9'a bölünebildiği için 18'e tam bölünür.

45 ile bölünebilme Sadece 5 ve 9 ile bölünebilen sayılar 45 ile tam bölünür.

Örnek 1.5.5

231.705 sayısı hem 5'e hem de 9'a bölünebildiği için 45'e tam bölünür.

Sayıların 6'ya bölünebildiğine dair başka bir işaret daha var.

1.6 6 ile Bölünebilme

Bir sayının 6 ile bölünebilirliğini kontrol etmek için şunlara ihtiyacınız vardır:

2 ile çarpılan yüzlerce

Yüzlerden sonraki sayıdan sonucu çıkarın.

Sonuç 6'ya bölünebiliyorsa, tam sayı 6'ya da bölünebilir. Örnek 1.6.1

138 6 ile bölünebilir mi?

Çözüm.

Yüzler sayısı 1 2 = 2, 38-2 = 36, 36: 6'dır, yani 138'in 6'ya bölümüdür.

Asal sayılara bölünebilirlik için basit testler

Yalnızca iki böleni varsa (bir ve sayının kendisi) bir sayıya asal denir.

2.1 7 ile bölünebilme

Bir sayının 7'ye tam bölünüp bölünemeyeceğini öğrenmek için:

İki ile çarpımı onluk olan sayı,

Kalan sayıyı sonuca ekleyin.

Sonucun 7'ye bölünüp bölünmediğini kontrol edin.

Örnek 2.1.1

4 690 7 ile bölünebilir mi?

Çözüm.

Onlarca 46 2 = 92, 92 + 90 = 182, 182: 7 = 26'ya kadar olan bir sayı, yani 4690 7 ile bölünebilir.

2.2 11 ile Bölünebilme

Tek yerlerdeki rakamların toplamı ile çift yerlerdeki rakamların toplamı arasındaki fark 11'in katı ise sayı 11'e tam bölünür.

Fark negatif veya sıfır olabilir, ancak 11'in katı olmalıdır.

Örnek 2.2.1

100397 11 ile bölünebilir mi?

Çözüm.

Çift yerlerdeki sayıların toplamı: 1 + 0 + 9 = 10.

Tek yerlerdeki rakamların toplamı: 0 + 3 + 7 = 10.

Toplamlar arasındaki fark: 10 - 10 = 0, 0, 11'in katıdır, yani 100397 11'e bölünebilir.

2.3 13 ile Bölünebilme

Bir sayı, ancak ve ancak son basamağı olmadan 9 ile çarpılan son basamağı bu sayıdan çıkarmanın sonucu 13'e bölünebiliyorsa 13'e bölünebilir.

Örnek 2.3.1

85 - 9 ∙ 8 = 85 - 72 = 13 olduğundan, 858 sayısı 13'e tam bölünür.

2.4 19 ile bölünebilme kriteri

Birlerin iki katıyla eklenen onlukların sayısı 19'a bölünebildiğinde bir sayı 19'a kalansız bölünür.

Örnek 2.4.1

1026'nın 19'a bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.

Çözüm.

1026 sayısında 102 onluk ve 6 birim vardır. 102 + 2 ∙ 6 = 114;

Benzer şekilde 11 + 2 ∙ 4 = 19.

Ardışık iki adım gerçekleştirmenin sonucunda, 19'a bölünebilen 19 sayısını elde ettik, bu nedenle 1026 sayısı 19'a bölünebilir.

7, 11 ve 13 ile bölünebilmenin birleşik kriteri

Asal sayılar tablosunda 7, 11 ve 13 sayıları yan yana yer almaktadır. Çarpımları: 7 ∙ 11 ∙ 13 = 1001 = 1000 + 1'dir. Dolayısıyla 1001 sayısı 7, 11 ve 13'e tam bölünür.

Herhangi bir üç basamaklı sayı 1001 ile çarpılırsa, çarpımla aynı sayılarda yazılacaktır, sadece iki kez tekrarlanacaktır:ABC–Üç basamaklı sayı;ABC∙1001 = abcabc.

Bu nedenle, abcabc formunun tüm sayıları 7, 11 ve 13 ile bölünebilir.

Bu düzenlilikler, çok basamaklı bir sayının 7 veya 11'e veya 13'e bölünebilirliği sorununun çözümünü, üzerlerindeki başka bir sayının bölünebilirliğine - en fazla üç basamaklı sayıya - azaltmayı mümkün kılar.

Belirli bir sayının yüzlerinin toplamının bir üzerinden alındığında farkı 7 veya 11 veya 13 ile bölünebiliyorsa, bu sayı sırasıyla 7 veya 11 veya 13 ile bölünebilir.

Örnek 3.1

42 623 295'in 7, 11 ve 13'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.

Çözüm.

Bu sayıyı sağdan sola 3 basamaklı kenarlara böldük. En sol kenarda üç rakam olabilir veya olmayabilir. 7, 11 veya 13 sayılarından hangisinin belirli bir sayının yüzlerinin toplamları arasındaki farkı böldüğünü belirleyin:

623 - (295 + 42) = 286.

286 sayısı 11 ve 13'e tam bölünür ama 7'ye tam bölünemez. Bu nedenle 42 623 295, 11 ve 13 ile bölünebilir, ancak 7 ile bölünemez.

7 ile bölünebilme hakkında eski ve yeni

Nedense 7 sayısı insanlara çok düşkündü ve şarkılarına ve sözlerine dahil edildi:

Yedi kez deneyin, bir kez kesin.

Yedi dert, tek cevap.

Haftada yedi Cuma.

Biri iki ayaklı, yedisi kaşıklı.

Çok fazla aşçı suyu bozar.

7 sayısı sadece sözler açısından değil, aynı zamanda çeşitli bölünebilirlik işaretleri açısından da zengindir. 7'ye bölünebilmenin iki işaretini zaten biliyorsunuz (diğer sayılarla birlikte). Ayrıca 7 ile bölünebilme için birkaç bireysel kriter vardır.

İlk bölünebilme kriterini 7 ile bir örnekle açıklayalım.

5236 sayısını alalım. Bu sayıyı şöyle yazalım:

5 236 = 5∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 6

ve her yerde 10 tabanını 3 tabanıyla değiştiririz: 5 ∙ 3 3 + 2∙3 2 + 3∙3 + 6 = 168

Ortaya çıkan sayı 7'ye bölünebilir (bölünemez) ise, bu sayı da 7'ye bölünebilir (bölünemez) demektir.

168 7 ile bölünebildiği için 5236 da 7 ile bölünebilir.

İlk bölünebilirlik işaretinin 7 ile değiştirilmesi. Test numarasının solundaki ilk basamağı 3 ile çarpın ve sonraki basamağı ekleyin; sonucu 3 ile çarpın ve bir sonraki basamağı ekleyin ve bu şekilde son basamağa kadar devam edin. Kolaylık sağlamak için, her eylemden sonra sonuçtan 7 veya yedinin katları çıkarılmasına izin verilir. Nihai sonuç 7'ye bölünebilir (bölünemez) ise, bu sayı da 7'ye bölünebilir (bölünemez) Daha önce seçilen sayı 5 236 için:

5 ∙ 3 = 15; (15 - 14 = 1); 1 + 2 = 3; 3 ∙ 3 = 9; (9 - 7 = 2); 2 + 3 = 5; 5 ∙ 3 = 15; (15 - 14 = 1); 1 + 6 = 7 - 7'ye bölünebilir, yani 5,236 7'ye bölünebilir.

Bu kuralın avantajı, zihinsel olarak kolayca uygulanabilmesidir.

7 ile bölünebilmenin ikinci işareti. Bu işarette, bir öncekiyle tamamen aynı şekilde hareket etmelisiniz, tek fark, çarpma işleminin verilen sayının en soldaki basamağından değil, en sağdan başlaması gerektiğidir. ve 3 ile değil, 5 ile çarpın ...

Örnek 4.1

37 184 7 ile bölünebilir mi?

Çözüm.

4 ∙ 5 = 20; (20 - 14 = 6); 6 + 8 = 14; (14 - 14 = 0); 0 ∙ 5 = 0; 0 + 1 = 1; 1 ∙ 5 = 5; 7 sayısı sonuçtan çıkarıldığı için 7 sayısının eklenmesi atlanabilir; 5 ∙ 5 = 25; (25 - 21 = 4); 4 + 3 = 7 - 7 ile bölünebilir, yani 37 184 sayısı 7 ile bölünebilir.

7'ye bölünebilmenin üçüncü işareti. Bu işareti akılda uygulamak daha az kolaydır, ancak aynı zamanda çok ilginçtir.

Son basamağı ikiye katlayın ve ikinciyi sağdan çıkarın, sonucu ikiye katlayın ve sağdan üçüncüyü ekleyin ve böylece çıkarma ve toplama arasında dönüşümlü olarak ve mümkünse her sonucu 7 veya yedinin katı kadar azaltarak. Nihai sonuç 7 ile bölünebilir (bölünemez) ise, test numarası da 7 ile bölünebilir (bölünemez) olur.

Örnek 4.2

889 7 ile bölünebilir mi?

Çözüm.

9 ∙ 2 = 18; 18 - 8 = 10; 10 ∙ 2 = 20; 20 + 8 = 28 veya

9 ∙ 2 = 18; (18 - 7 = 11) 11 - 8 = 3; 3 ∙ 2 = 6; 6 + 8 = 14 - 7'ye bölünebilir, yani 889 7'ye bölünebilir.

Ve 7'ye bölünebilmenin daha fazla işareti. İki basamaklı herhangi bir sayı 7'ye bölünebiliyorsa, o zaman 7'ye bölünür ve ters çevrilen sayı, verilen sayının onlarca basamağıyla artar.

Örnek 4.3

14 7'ye tam bölünür yani 7'ye ve 41+1'e tam bölünür.

35, 7'ye tam bölünür, yani 53 + 3, 7'ye tam bölünür.

Herhangi bir üç basamaklı sayı 7 ile bölünebiliyorsa, o zaman 7'ye bölünür ve ters çevrilen sayı, verilen sayının birler ve yüzlerce arasındaki basamakları arasındaki farkla azaltılır.

Örnek 4.4

126 sayısı 7'ye tam bölünür. Dolayısıyla 621 - (6 - 1) sayısı, yani 616 7'ye tam bölünür.

Örnek 4.5

693 sayısı 7'ye tam bölünür. Dolayısıyla 7'ye tam bölünür ve 396 sayısı (3 - 6) yani 399'dur.

7 ile Bölünebilirliği Diğer Sayılara Genişletme

Sayıların 7'ye bölünebilirliği için yukarıdaki üç kriter, bir sayının 13, 17 ve 19'a bölünebilirliğini belirlemek için kullanılabilir.

Belirli bir sayının 13, 17 veya 19 ile bölünebilirliğini belirlemek için, test numarasının en soldaki basamağını sırasıyla 3, 7 veya 9 ile çarpmak ve bir sonraki basamağı çıkarmak gerekir; sonuç tekrar sırasıyla 3, 7 veya 9 ile çarpılır ve her çarpmadan sonra çıkarma ve sonraki rakamların eklenmesiyle bir sonraki basamağı, vb. eklenir. Her eylemden sonra sonuç sırasıyla 13, 17, 19 veya bunların katları ile azaltılabilir veya artırılabilir.

Nihai sonuç 13, 17 ve 19 ile bölünebilir (bölünemez) ise, bu sayı da bölünebilirdir (bölünemez).

Örnek 5.1

2.075.427 19'a bölünür mü?

Çözüm.

2∙9=18; 18 – 0 = 18; 18∙9 = 162; (162 - 19∙8 = 162 = 10); 10 + 7 = 17; 17∙9 = 153; (153 - 19∙7 = 20); 20 – 5 = 15; 15∙9 = 135; (135 - 19∙7 = 2);

2 + 4 = 6; 6 ∙ 9 = 54; (54 - 19 ∙ 2 = 16); 16 - 2 = 14; 14 ∙ 9 = 126; (126 - 19 ∙ 6 = = 12); 12 + 7 = 19 - 19'a bölünebilir, yani 2,075,427 19'a bölünebilir.

Genelleştirilmiş bölünebilme kriteri

Bir yüzde bir sayı kesme ve ardından belirli bir sayının bölünebilirliğini belirlemek için bunları toplama fikri çok verimli oldu ve çok basamaklı sayıların oldukça geniş bir gruba bölünebilirliği için tek tip bir kritere yol açtı. asal sayılar. "Şanslı" bölen gruplarından biri, d = 10n + 1 sayısının p tamsayı faktörleridir, burada n = 1, 2, 3,4, ... (n'nin büyük değerleri için, pratik anlamı özellik kaybolur).

101

101

1001

7, 11, 13

10001

73, 137

2) en sağdan başlayarak kenarları birer birer katlayın;

3) kenarların geri kalanını katlayın;

4) küçük olanı büyük miktardan çıkarın.

Sonuç p ile bölünebiliyorsa, bu sayı p ile de bölünebilir.

Böylece, bir sayının 11'e bölünebilirliğini belirlemek için (p = 11), yüzdeki sayıyı bir basamak (n = 1) keseriz. Daha ileri giderek, belirtildiği gibi, 11'e bölünebilme için iyi bilinen kritere ulaşıyoruz.

Bir sayının 7, 11 veya 13 ile bölünebilirliğini belirlerken (p = 7, 11, 13), 3 basamağı kesin (n = 3). Bir sayının 73 ve 137 ile bölünebilirliğini belirlerken 4 basamağı keseriz (n = 4).

Örnek 6.1

On beş basamaklı 837 362 172 504 831'in 73 ve 137'ye bölünebilirliğini bulun (p = 73, 137, n = 4).

Çözüm.

Kenardaki sayıyı kırıyoruz: 837 3621 7250 4831.

Kenarları birer birer katlıyoruz: 4931 + 3621 = 8452; 7250 + 837 = 8087.

Küçük olanı büyük miktardan çıkarın: 8452-8087 = 365.

365, 73'e bölünebilir, ancak 137'ye bölünemez; dolayısıyla bu sayı 73'e tam bölünür ama 137'ye tam bölünemez.

"Şanslı" bölenlerin ikinci grubu, d = 10n -1 sayısının p tamsayı faktörleridir, burada n = 1, 3, 5, 7, ...

d = 10n -1 sayısı aşağıdaki faktörleri verir:

n

NS

P

1

9

3

3

999

37

5

99 999

41, 271

Herhangi bir sayının bu p sayılarından herhangi birine bölünebilirliğini belirlemek için ihtiyacınız olan:

1) verilen sayıyı sağdan sola (birlerden) n rakamın yüzünde kesin (her p kendi n'sine karşılık gelir; en sol yüz n'den küçük rakamlara sahip olabilir);

2) tüm kenarları katlayın.

Sonuç p'ye bölünebilirse (bölünemez), verilen sayı da bölünebilirdir (bölünemez).

999 = 9 ∙ 111 olduğuna dikkat edin, bu, 111'in 37'ye bölünebildiği anlamına gelir, ancak 222, 333, 444, 555, 666, 777 ve 888 sayıları 37'ye bölünür.

Aynı şekilde: 11 111, 41 ve 271'e tam bölünür.

Bölünebilme merakı

Sonuç olarak, dört şaşırtıcı on basamaklı sayı sunmak istiyorum:

2 438 195 760; 4 753 869 120;3 785 942 160; 4 876 391 520.

Her birinde 0'dan 9'a kadar tüm rakamlar vardır, ancak her rakam yalnızca bir kez ve bu sayıların her biri 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ile bölünebilir. , 15, 16, 17 ve 18.

sonuçlar

Bu çalışmam sonucundamatematik bilgisi. NS2,3,5,9 ve 10 için bildiğim işaretlerin dışında 4,6,7,8,11,12,13,14,15,19,25, 50, 125 ve diğer sayılar ve aynı sayıya bölünebilme işaretleri farklı olabilir, bu da her zaman yaratıcılık için bir yer olduğu anlamına gelir.

Çalışma teorik vepratik kullanım... Bu araştırma, olimpiyatlara ve yarışmalara hazırlıkta faydalı olacaktır.

Sayıların bölünebilirlik işaretleri ile tanıştıktan sonra, eğitim faaliyetlerimde edindiğim bilgileri kullanabileceğime, bu veya bu işareti bağımsız olarak belirli bir göreve uygulayabileceğime, çalışılan işaretleri gerçek bir durumda uygulayabileceğime inanıyorum. Gelecekte, sayılar için bölünebilirlik kriterleri üzerinde çalışmaya devam etmeyi öneriyorum.

Edebiyat

1. NN Vorobyov "Bölünebilirlik işaretleri" Moskova "Bilim" 1988

2. K. I. Shchevtsov, G. P. Bevz "Temel matematik el kitabı" Kiev "Naukova Dumka" 1965

3. M. Ya. Vygodsky "İlköğretim Matematik El Kitabı" Moskova "Bilim" 1986

4. İnternet kaynakları

Doğal sayıların bölünmesini basitleştirmek için, bir bölümde birleştirilen ilk on ve 11, 25 sayılarına bölme kuralları türetilmiştir. doğal sayılar için bölünebilme kriterleri... Bir sayıyı başka bir doğal sayıya bölmeden çözümlemenin, bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25'in katı ve bir basamaklı olup olmadığı sorusunun yanıtlanacağı kurallar aşağıdadır. birim?

İlk basamağında rakamları olan (sonu 2,4,6,8,0 olan) doğal sayılara çift denir.

sayıların 2 ile bölünebilme özelliği

Tüm çift doğal sayılar 2'ye bölünebilir, örneğin: 172, 94.67 838, 1670.

Sayıların 3'e Bölünmesi

Tüm doğal sayılar, rakamları toplamı 3'ün katı olan 3'e bölünür. Örneğin:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Sayıların 4'e Bölünmesi

Tüm doğal sayılar, son iki basamağı sıfır veya 4'ün katı olan 4'e bölünür. Örneğin:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

sayıların 5 ile bölünebilme özelliği

sayıların 6 ile bölünebilme özelliği

Aynı anda hem 2 hem de 3 ile bölünebilen doğal sayılar 6'ya bölünür (3 ile tam bölünebilen tüm çift sayılar). Örneğin: 126 (b - çift, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Sayıların 9'a Bölünmesi

Rakamları toplamı 9'a bölünebilen doğal sayılar 9'a bölünür. Örneğin:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

sayıların 10 ile bölünebilme özelliği

sayıların 11 ile bölünebilme özelliği

Yalnızca çift basamakları işgal eden rakamların toplamının tek yerleri işgal eden rakamların toplamına eşit olduğu veya tek basamakların rakamlarının toplamı ile tek basamakların rakamlarının toplamı arasındaki farkın eşit olduğu doğal sayılar 11'e bölünür. bile yerler 11'in katıdır. Örneğin:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 ve 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + b + 7 = 28 ve 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Sayıların 25'e Bölünmesi

Bu doğal sayılar, son iki basamağı sıfır veya 25'in katı olan 25'e bölünür. Örneğin:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Bit birimi başına sayıların bölünebilirliği

Bu doğal sayılar, sıfır sayısının bit biriminin sıfır sayısından büyük veya ona eşit olduğu bit birimine bölünür. Örneğin: 12.000, 10, 100 ve 1000 ile bölünebilir.