Doğal sayıların tanımı nedir? Doğal sayı

Bir x sayısının n'inci kökü, negatif olmayan bir z sayısıdır ve n'inci kuvvetine yükseltildiğinde x olur. Kökün belirlenmesi, çocukluk çağında aşina olduğumuz temel aritmetik işlemler arasında yer almaktadır.

Matematiksel gösterim

"Kök" Latince radix kelimesinden gelir ve günümüzde "radikal" kelimesi bu matematiksel terimin eşanlamlısı olarak kullanılmaktadır. 13. yüzyıldan bu yana matematikçiler kök işlemini r harfiyle, kök ifadesinin üzerine yatay bir çubukla gösterdiler. 16. yüzyılda, yavaş yavaş r işaretinin yerini alan V tanımı tanıtıldı, ancak yatay çizgi kaldı. Bir matbaada yazmak veya elle yazmak kolaydır, ancak elektronik yayıncılık ve programlamada kökün harf tanımı - sqrt - yayıldı. Bu yazıda karekökleri bu şekilde göstereceğiz.

Kare kök

Bir x sayısının kare radikali, kendisiyle çarpıldığında x olan bir z sayısıdır. Örneğin 2'yi 2 ile çarparsak 4 elde ederiz. Bu durumda iki, dördün kareköküdür. 5'i 5 ile çarparsak 25 elde ederiz ve artık sqrt(25) ifadesinin değerini zaten biliyoruz. -12'yi -12 ile çarparak 144 elde edebiliriz ve 144'ün radikali hem 12 hem de -12 olur. Açıkçası, karekökler hem pozitif hem de negatif sayılar olabilir.

Bu tür köklerin kendine özgü dualizmi ikinci dereceden denklemlerin çözümü için önemlidir, bu nedenle bu tür problemlerde cevap ararken her iki kökü de belirtmek gerekir. Cebirsel ifadeleri çözerken aritmetik karekökler, yani yalnızca pozitif değerleri kullanılır.

Karekökleri tam sayı olan sayılara tam kareler denir. Başlangıcı şuna benzeyen bir dizi sayı var:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Diğer sayıların karekökleri irrasyonel sayılardır. Örneğin, sqrt(3) = 1,73205080757... vb. Bu sayının sonsuz olması ve periyodik olmaması bu tür radikallerin hesaplanmasında bazı zorluklara neden olur.

Okul matematik dersi, negatif sayıların karekökünü alamayacağınızı belirtir. Bir üniversite dersinde matematiksel analiz üzerine öğrendiğimiz gibi, bu yapılabilir ve yapılmalıdır; karmaşık sayılara bu nedenle ihtiyaç duyulur. Ancak programımız gerçek kök değerleri çıkarmak üzere tasarlanmıştır, dolayısıyla negatif sayılardan radikalleri bile hesaplamaz.

Küp kökü

Bir x sayısının kübik radikali, kendisiyle üç kez çarpıldığında x sayısını veren bir z sayısıdır. Örneğin 2 × 2 × 2'yi çarparsak 8 elde ederiz. Dolayısıyla iki, sekizin küp köküdür. Dördü kendisiyle üç kez çarpın ve 4 × 4 × 4 = 64 elde edin. Açıkçası, dört, 64 sayısının küp köküdür. Kübik kökleri tam sayı olan sonsuz bir sayı dizisi vardır. Başlangıcı şuna benziyor:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Diğer sayılar için küp kökleri irrasyonel sayılar. Kare köklerin aksine, küp kökler, herhangi bir tek kök gibi, negatif sayılardan türetilebilir. Her şey sıfırdan küçük sayıların çarpımı ile ilgili. Eksi eksi artı verir - ile bilinir okul günleri kural. Ve artıya karşı eksi, eksi verir. Negatif sayıları tek sayıda çarparsanız sonuç da negatif olacaktır, bu nedenle tek radikali çıkarın. negatif sayı hiçbir şey bizi rahatsız etmiyor.

Ancak hesap makinesi programı farklı çalışır. Esasen, bir kökü çıkarmak onu ters kuvvete yükseltmektir. Karekökün 1/2 gücüne yükseltildiği kabul edilir ve kübik kökün 1/3 gücüne yükseltildiği kabul edilir. 1/3'ün gücüne yükseltme formülü yeniden düzenlenip 2/6 olarak ifade edilebilir. Sonuç aynıdır ancak negatif bir sayıdan böyle bir kök çıkaramazsınız. Bu nedenle hesap makinemiz aritmetik kökleri yalnızca pozitif sayılardan hesaplar.

n'inci kök

Radikalleri hesaplamanın bu kadar süslü bir yöntemi, herhangi bir ifadeden herhangi bir derecedeki kökleri belirlemenize olanak tanır. Bir sayının küpünün beşinci kökünü veya bir sayının 19'uncu radikalini 12'nci kuvvetine alabilirsiniz. Bütün bunlar sırasıyla 3/5 veya 12/19'un gücüne yükseltilerek zarif bir şekilde uygulanır.

Bir örneğe bakalım

Bir karenin köşegeni

Bir karenin köşegeninin mantıksızlığı eski Yunanlılar tarafından biliniyordu. Uzunluğu her zaman ikinin köküyle orantılı olduğundan, düz bir karenin köşegenini hesaplama problemiyle karşı karşıya kaldılar. Köşegenin uzunluğunu belirleme formülü türetilir ve sonuçta şu formu alır:

d = a × sqrt(2).

Hesap makinemizi kullanarak ikinin karekökünü belirleyelim. “Sayı(x)” hücresine 2, “Derece(n)” hücresine de 2 değerini girelim. Sonuç olarak sqrt(2) = 1,4142 ifadesini elde ederiz. Dolayısıyla bir karenin köşegenini kabaca tahmin etmek için kenarını 1,4142 ile çarpmak yeterlidir.

Çözüm

Bir radikalin bulunması, bilimsel veya tasarım hesaplamalarının vazgeçilmez olduğu standart bir aritmetik işlemdir. Elbette günlük problemleri çözmek için kökleri belirlememize gerek yok, ancak çevrimiçi hesap makinemiz okul çocukları veya öğrencilerin cebir veya matematik ödevlerini kontrol etmeleri için kesinlikle yararlı olacaktır.

Çevrimiçi mühendislik hesaplayıcısı

Herkese ücretsiz bir mühendislik hesap makinesi sunmaktan mutluluk duyuyoruz. Onun yardımıyla, herhangi bir öğrenci çevrimiçi olarak çeşitli matematiksel hesaplamaları hızlı ve en önemlisi kolayca gerçekleştirebilir.

Göze çarpmayan ve sezgisel bir arayüze sahip basit ve kullanımı kolay bir mühendislik hesap makinesi, çok çeşitli İnternet kullanıcıları için gerçekten faydalı olacaktır. Artık bir hesap makinesine ihtiyaç duyduğunuzda web sitemize gidin ve ücretsiz mühendislik hesap makinesini kullanın.

Bir mühendislik hesaplayıcısı bu kadar basit bir performans gösterebilir Aritmetik işlemler ve oldukça karmaşık matematiksel hesaplamalar.

Web20calc bir mühendislik hesaplayıcısıdır. büyük miktarörneğin tüm temel fonksiyonların hesaplanması gibi fonksiyonlar. Hesap makinesi aynı zamanda trigonometrik fonksiyonları, matrisleri, logaritmaları ve hatta grafikleri de destekler.

Kuşkusuz Web20calc, basit çözümler arayan ve arama motorlarına şu sorguyu yazan bir grup insanın ilgisini çekecektir: matematiksel cevrimici hesap makinesi. Ücretsiz bir web uygulaması, çıkarma, toplama, bölme, kökü çıkarma, bir kuvvete yükseltme vb. gibi bazı matematiksel ifadelerin sonucunu anında hesaplamanıza yardımcı olacaktır.

İfadede üs, toplama, çıkarma, çarpma, bölme, yüzde ve PI sabiti işlemlerini kullanabilirsiniz. Karmaşık hesaplamalar için parantezlerin eklenmesi gerekir.

Mühendislik hesaplayıcısının özellikleri:

1. temel aritmetik işlemler;
2. Sayılarla standart bir biçimde çalışmak;
3. Trigonometrik köklerin, fonksiyonların, logaritmaların, üstellerin hesaplanması;
4. istatistiksel hesaplamalar: toplama, aritmetik ortalama veya standart sapma;
5. Bellek hücrelerinin ve 2 değişkenin özel işlevlerinin kullanımı;
6. Radyan ve derece ölçülerinde açılarla çalışabilecektir.

Mühendislik hesaplayıcısı çeşitli matematiksel işlevlerin kullanılmasına olanak tanır:

Köklerin çıkarılması (kare, kübik ve n'inci kök);
ex (e üzeri x), üstel;
trigonometrik fonksiyonlar: sinüs - günah, kosinüs - cos, teğet - tan;
ters trigonometrik fonksiyonlar: arksinüs - sin-1, arkkosinüs - cos-1, arktanjant - tan-1;
hiperbolik fonksiyonlar: sinüs - sinh, kosinüs - cosh, teğet - tanh;
logaritma: ikili logaritmadan iki tabanına - log2x, ondalık logaritmadan on tabanına - log, doğal logaritma - ln.

Bu mühendislik hesaplayıcısı aynı zamanda çeşitli ölçüm sistemleri (bilgisayar birimleri, mesafe, ağırlık, zaman vb.) için fiziksel büyüklükleri dönüştürme yeteneğine sahip bir miktar hesaplayıcı içerir. Bu işlevi kullanarak milleri kilometreye, poundu kilograma, saniyeleri saate vb. anında dönüştürebilirsiniz.

Matematiksel hesaplamalar yapmak için önce uygun alana bir dizi matematiksel ifade girin, ardından eşittir işaretine tıklayın ve sonucu görün. Değerleri doğrudan klavyeden girebilirsiniz (Bunun için hesap makinesi alanının aktif olması gerekir, dolayısıyla imleci giriş alanına yerleştirmek faydalı olacaktır). Diğer şeylerin yanı sıra, hesap makinesinin düğmeleri kullanılarak veriler girilebilir.

Grafikler oluşturmak için, alanda belirtildiği gibi giriş alanına işlevi örneklerle yazmalı veya bunun için özel olarak tasarlanmış araç çubuğunu kullanmalısınız (buna gitmek için grafik simgeli düğmeye tıklayın). Değerleri dönüştürmek için Birim'e tıklayın; matrislerle çalışmak için Matris'e tıklayın.

Talimatlar

Bir sayıyı 1/3'e yükseltmek için sayıyı girin, ardından üs alma düğmesine tıklayın ve yaklaşık 1/3 - 0,333 değerini girin. Bu doğruluk çoğu hesaplama için oldukça yeterlidir. Bununla birlikte, hesaplamaların doğruluğunu artırmak çok kolaydır - yalnızca hesap makinesi göstergesine sığacak kadar çok sayıda üçlü ekleyin (örneğin, 0,3333333333333333). Daha sonra "=" butonuna tıklayın.

Üçüncü kökü bir bilgisayar kullanarak hesaplamak için Windows hesap makinesi programını çalıştırın. Üçüncü kökü hesaplama prosedürü yukarıda açıklanana tamamen benzer. Tek fark üs alma butonunun tasarımındadır. Hesap makinesinin sanal klavyesinde “x^y” olarak gösterilir.

Üçüncü kök MS Excel'de de hesaplanabilir. Bunu yapmak için herhangi bir hücreye "=" girin ve "ekle" simgesini (fx) seçin. Açılan pencerede “DERECE” fonksiyonunu seçiniz ve “OK” butonuna tıklayınız. Açılan pencerede üçüncü kökünü hesaplamak istediğiniz sayının değerini girin. "Derece" alanına "1/3" sayısını girin. 1/3 sayısını tam olarak bu biçimde yazın - sıradan bir sayı gibi. Bundan sonra “Tamam” düğmesine tıklayın. Oluşturulduğu tablonun hücresinde küp kökü arka verilen numara.

Üçüncü kökün sürekli olarak hesaplanması gerekiyorsa, yukarıda açıklanan yöntemi biraz geliştirin. Kökünü çıkarmak istediğiniz sayı için sayının kendisini değil tablo hücresini belirtin. Bundan sonra, her seferinde orijinal sayıyı bu hücreye girmeniz yeterlidir; küp kökü, formülün bulunduğu hücrede görünecektir.

Konuyla ilgili video

Not

Çözüm. Bu makale küp kök değerlerini hesaplamak için çeşitli yöntemleri inceledi. Küp kökünün değerlerinin yineleme yöntemi kullanılarak bulunabileceği ortaya çıktı, ayrıca küp kökünü yaklaşık olarak hesaplayabilir, sayıyı 1/3'ün gücüne yükseltebilir, kullanarak üçüncü kökün değerlerini arayabilirsiniz. Microsoft Office Ecxel, hücrelerdeki formülleri ayarlama.

Yararlı tavsiye

İkinci ve üçüncü derecedeki kökler özellikle sıklıkla kullanılır ve bu nedenle özel isimlere sahiptir. Karekök: Bu durumda üs genellikle atlanır ve üssü belirtmeden "kök" terimi çoğunlukla karekök anlamına gelir. Köklerin pratik hesaplanması N'inci derecenin kökünü bulmak için algoritma. Kare ve küp kökler genellikle tüm hesap makinelerinde sağlanır.

Kaynaklar:

• üçüncü kök
• Excel'de karekökün N'inci kuvveti nasıl alınır?

Kök bulma işlemi üçüncü derece buna genellikle "kübik" kökün çıkarılması denir ve küpü radikal sayıya eşit bir değer verecek gerçek bir sayının bulunmasından oluşur. Herhangi bir aritmetik kökü çıkarma işlemi derece n, 1/n gücüne yükseltme işlemine eşdeğerdir. Küp kökünü pratik olarak hesaplamak için kullanabileceğiniz birkaç yöntem vardır.

Bazı teknik problemleri çözerken kök hesaplamak gerekebilir. üçüncü derece. Bazen bu sayıya küp kökü de denir. Kök üçüncü derece Verilen bir sayının küpü (üçüncü kuvveti) verilen sayıya eşit olan sayıya denir. Yani, eğer y bir kök ise üçüncü derece x sayısı varsa şu koşulun yerine getirilmesi gerekir: y?=x (x, küpe eşittir).

İhtiyacın olacak

• hesap makinesi veya bilgisayar

Talimatlar

• Kökü hesaplamak için üçüncü derece, hesap makinesini kullanın. Bunun sıradan bir hesap makinesi değil, mühendislik hesaplamaları için kullanılan bir hesap makinesi olması tavsiye edilir. Ancak böyle bir hesap makinesinde bile kökü çıkarmak için özel bir düğme bulamazsınız. üçüncü derece. Yani bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek için bir işlev kullanın. Kök çıkarma üçüncü derece 1/3 (üçte bir) katına çıkarmaya karşılık gelir.
• Bir sayıyı 1/3'e çıkarmak için sayının kendisini hesap makinesinin klavyesine yazın. Daha sonra “üs alma” tuşuna basın. Böyle bir düğme, hesap makinesinin türüne bağlı olarak xy (y bir üst simgedir) gibi görünebilir. Hesap makinelerinin çoğu sıradan (ondalık olmayan) kesirlerle çalışma yeteneğine sahip olmadığından, 1/3 sayısı yerine yaklaşık değerini girin: 0,33. Daha fazla hesaplama doğruluğu elde etmek için "üçlü" sayısını artırmanız gerekir, örneğin 0,33333333333333'ü çevirin. Daha sonra “=” butonuna tıklayın.
• Kökü hesaplamak için üçüncü derece bilgisayarınızda standart bir Windows hesap makinesi kullanın. Prosedür, talimatların önceki paragrafında açıklanana tamamen benzer. Tek fark, üs alma düğmesinin tanımıdır. Bir “bilgisayar” hesap makinesinde x^y gibi görünür.
• Eğer kök üçüncü derece Sistematik olarak saymanız gerekiyorsa MS Excel'i kullanın. Kökü hesaplamak için üçüncü derece Excel'de herhangi bir hücreye “=” işaretini girin ve ardından “fx” simgesini seçin - bir işlev ekleyin. Açılan pencerede “Bir fonksiyon seçin” listesinde “DERECE” satırını seçin. "Tamam" düğmesini tıklayın. Açılan yeni pencerede, kökü çıkarmak istediğiniz sayının değerini “Sayı” satırına girin. “Derece” satırına “1/3” sayısını girin ve “Tamam”a tıklayın. Orijinal sayının küp kökünün istenen değeri tablo hücresinde görünecektir.

İtibaren çok sayıda Bunu zaten hesap makinesi olmadan çözdük. Bu yazımızda küp kökün (üçüncü derece kök) nasıl çıkarılacağına bakacağız. Doğal sayılardan bahsettiğimize dair bir rezervasyon yapayım. Aşağıdaki gibi kökleri sözlü olarak hesaplamanın ne kadar sürdüğünü düşünüyorsunuz:

Oldukça fazla ve 20 dakika boyunca iki veya üç kez pratik yaparsanız, bu tür herhangi bir kökü 5 saniyede ağızdan alabilirsiniz.

*Not: 0'dan 100'e kadar olan doğal sayıların küpü sonucu oluşan kök altındaki sayılardan bahsediyoruz.

Biz biliyoruz ki:

Yani bulacağımız a sayısı 0'dan 100'e kadar bir doğal sayıdır. Bu sayıların küp tablosuna bakın (üçüncü kuvvete yükseltme sonuçları):

Bu tablodaki herhangi bir sayının küp kökünü kolayca çıkarabilirsiniz. Neyi bilmeniz gerekiyor?

1. Bunlar onun katı olan sayıların küpleridir:

Hatta bunların “güzel” rakamlar olduğunu, hatırlanması kolay olduğunu söyleyebilirim. Öğrenmesi kolaydır.

2. Çarpım sırasında sayıların bir özelliğidir.

Bunun özü, belirli bir sayının üçüncü kuvvetine yükseltildiğinde sonucun bir tuhaflığa sahip olacağı gerçeğinde yatmaktadır. Hangisi?

Örneğin 1, 11, 21, 31, 41 vb. sayıların küpünü alalım. Tabloya bakabilirsiniz.

1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

Yani, ucu bir birim olan bir sayının küpünü aldığımızda sonuç her zaman sonunda bir birim olan bir sayı olacaktır.

Sonunda iki olan bir sayının küpünü aldığınızda sonuç her zaman sonunda sekiz olan bir sayı olacaktır.

Tüm sayılar için tablodaki yazışmaları gösterelim:

Sunulan iki noktanın bilgisi oldukça yeterlidir.

Örneklere bakalım:

21952'nin küp kökünü alın.

Bu sayı 8000 ila 27000 aralığındadır. Bu, kök sonucunun 20 ila 30 aralığında olduğu anlamına gelir. 29952 sayısı 2 ile biter. Bu seçenek yalnızca sonunda sekiz olan bir sayı olduğunda mümkündür. küp şeklinde. Böylece kökün sonucu 28 olur.

54852'nin küp kökünü bulun.

Bu sayı 27000 ila 64000 aralığındadır. Bu, kök sonucunun 30 ila 40 aralığında olduğu anlamına gelir. 54852 sayısı 2 ile biter. Bu seçenek yalnızca sonunda sekiz olan bir sayı olduğunda mümkündür. küp şeklinde. Böylece kök sonucu 38 olur.

571787'nin küp kökünü alın.

Bu sayı 512000 ila 729000 aralığındadır. Bu, kök sonucunun 80 ila 90 aralığında olduğu anlamına gelir. 571787 sayısı 7 ile biter. Bu seçenek yalnızca sonunda üç olan bir sayı olduğunda mümkündür. küp şeklinde. Böylece kökün sonucu 83 olur.

614125'in küp kökünü alın.

Bu sayı 512000 ila 729000 aralığındadır. Bu, kök sonucunun 80 ila 90 aralığında olduğu anlamına gelir. 614125 sayısı 5 ile biter. Bu seçenek yalnızca sonunda beş olan bir sayı olduğunda mümkündür. küp şeklinde. Böylece kök sonucu 85 olur.

Artık 681472 sayısının küp kökünü kolaylıkla çıkarabileceğinizi düşünüyorum.

Elbette bu tür köklerin ağızdan alınması biraz pratik gerektirir. Ancak belirtilen iki tableti kağıda geri yükleyerek, böyle bir kökü her halükarda bir dakika içinde kolayca çıkarabilirsiniz.

Sonucu bulduktan sonra kontrol ettiğinizden emin olun (üçüncü kuvvete yükseltin). *Kimse sütunla çarpma işlemini iptal etmedi 😉

Birleşik Devlet Sınavında bu tür "korkutucu" köklerle ilgili herhangi bir sorun yoktur. Örneğin 1728'in küp kökünü çıkarmanız gerekiyor. Bunun artık sizin için sorun olmadığını düşünüyorum.

Hesap makinesi olmadan ilginç hesaplama yöntemleri biliyorsanız, gönderin, zamanı gelince yayınlayacağım.Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.