Sayıların bölünebilme işaretleri nelerdir? Bölünebilmenin temel işaretleri

Sayıların bölünebilme işaretleri Sayıların dijital gösterimi ile ilgili problemleri hızlı bir şekilde çözmek için 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 ve diğer sayıları bilmek faydalıdır. Bir sayıyı diğerine bölmek yerine, bir sayının diğerine bölünebilir olup olmadığını (kat olup olmadığını) kesin olarak belirleyebileceğiniz bir dizi işareti kontrol etmek yeterlidir.

Bölünebilmenin temel işaretleri

Hadi verelim sayıların bölünebilirliğinin temel işaretleri:

• Bir sayının “2”ye bölünebilme testi Bir sayı çift ise (son rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8 ise) 2'ye bölünür.
  Örnek: 1256 sayısı 6 ile bittiği için 2'nin katıdır. Ancak 49603 sayısı 3 ile bittiği için 2'ye tam olarak bölünemez.
• Bir sayının “3”e bölünebilme testi Bir sayının rakamlarının toplamı 3'e bölünüyorsa 3'e bölünür
  Örnek: 4761 sayısı rakamlarının toplamı 18 olduğundan 3'e tam bölünür. 143 sayısı da rakamlarının toplamı 8 olduğundan 3'ün katı değildir. 3.
• Bir sayının “4”e bölünebilme testi Bir sayının son iki basamağı sıfırsa veya son iki basamağı 4'e bölünüyorsa sayı 4'e bölünür.
  Örnek: 2344 sayısı 4'ün katıdır çünkü 44/4 = 11'dir. Ve 3951 sayısı 4'e bölünmediği için 4'e bölünmez.
• Bir sayının “5”e bölünebilme testi Bir sayının son rakamı 0 veya 5 ise sayı 5'e bölünür
  Örnek: 5830 sayısı 0 ile bittiği için 5'e bölünür. Ancak 4921 sayısı 1 ile bittiği için 5'e bölünemez.
• Bir sayının “6”ya bölünebilme testi Bir sayı 2 ve 3'e bölünüyorsa 6'ya da bölünür.
  Örnek: 3504 sayısı 4 ile bittiği için 6'nın katıdır (2'ye bölünür) ve sayının rakamları toplamı 12 olup 3'e tam bölünür (3'e bölünür). Ve 5432 sayısı 6'ya tam olarak bölünemez, sayı 2 ile bitse de (2'ye bölünme kriteri gözetilir), ancak rakamların toplamı 14'tür ve 3'e tam olarak bölünemez.
• Bir sayının “8”e bölünebilme testi Bir sayının son üç rakamı sıfırsa veya sayının son üç rakamından oluşan sayı 8'e bölünüyorsa sayı 8'e bölünür.
  Örnek: 112 / 8 = 14 olduğundan 93112 sayısı 8'e bölünür. Ve 212 8'e bölünemediğinden 9212 sayısı 8'in katı değildir.
• Bir sayının “9”a bölünebilme testi Bir sayının rakamlarının toplamı 9'a bölünüyorsa bu sayı 9'a bölünür
  Örnek: 2916 sayısı rakamları toplamı 18 olduğundan 9'a tam bölünebildiğinden 9'un katıdır. 831 sayısı da 9'a tam bölünemez çünkü sayının rakamları toplamı 12'dir ve 9'a bölünmez.
• Bir sayının “10”a bölünebilme testi Bir sayının sonu 0 ile bitiyorsa 10'a bölünür
  Örnek: 39590 sayısı 0 ile bittiği için 10'a bölünür. 5964 sayısı ise 0 ile bitmediği için 10'a bölünemez.
• Bir sayının “11”e bölünebilirliğini test edin Bir sayının tek basamaklarındaki rakamların toplamı çift basamaklardaki rakamların toplamına eşitse veya toplamlar 11'e eşitse, sayı 11'e bölünebilir.
  Örnek: 3 + 6 = 7 + 2 = 9 olduğundan 3762 sayısı 11'e bölünür. Ancak 2 + 7 = 9 ve 3 + 4 = 7 olduğundan 2374 sayısı 11'e bölünemez.
• Bir sayının “25”e bölünebilme testi Bir sayı 00, 25, 50 veya 75 ile bitiyorsa 25'e tam bölünür
  Örnek: 4950 sayısı 50 ile bittiği için 25'in katıdır. 4935 sayısı da 35 ile bittiği için 25'e bölünemez.

Bileşik sayıya bölünebilme işaretleri

bölünüp bölünemeyeceğini öğrenmek için verilen numara Bileşik bir sayıya dönüştürmek için bu bileşik sayıyı çarpanlara ayırmanız gerekir. eş asal faktörler bölünebilme işaretleri bilinen maddelerdir. Karşılıklı olarak asal sayılar- bunlar olmayan sayılardır ortak bölenler 1 hariç. Örneğin bir sayı 3 ve 5'e bölünebiliyorsa 15'e de bölünebilir.

Bileşik bölenin başka bir örneğini ele alalım: Bir sayı 2 ve 9'a bölünebiliyorsa 18'e de bölünebilir. bu durumda 18'i 3 ve 6'ya genişletemezsiniz çünkü bunlar aralarında asal değildir, çünkü ortak bölenleri 3'tür. Bunu bir örnekle görelim.

456 sayısı rakamlarının toplamı 15 olduğu için 3'e, hem 3'e hem de 2'ye bölünebildiği için 6'ya bölünür. Ancak 456'yı 18'e elle böldüğünüzde kalan elde edersiniz. 456 sayısı için 2 ve 9'a bölünebilme işaretlerini kontrol ederseniz, sayının rakamlarının toplamı 15 olduğu ve sayıya bölünemediği için 2'ye bölünebildiğini ancak 9'a bölünmediğini hemen görebilirsiniz. 9.

Bölünebilme işaretlerini incelemeye devam ediyoruz. Bu makalede tartışılmaktadır 4'e bölünebilme testi. Öncelikle formülasyonu verilmiş ve kullanım örnekleri verilmiştir. Aşağıda 4'e bölünebilme testinin ispatı gösterilmektedir. Sonuç olarak, birebir ifadenin değeri olarak verilen sayıların 4'e bölünebilirliğinin kanıtlanmasına olanak tanıyan yaklaşımlar ele alınmıştır.

Sayfada gezinme.

4'e bölünebilme testi, örnekler

Belirli bir sayının 4'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmenin en kolay yolu doğrudan bölme işlemi yapmaktır; tek basamaklı sayılardan yalnızca 4 ve 8 4'e bölünebilir. İki basamaklı bir doğal sayıyı 4'e bölmek de zor değildir (sözlü bölmede bile). Örneğin, 24:4 = 6 olduğundan 24, 4'e kalansız bölünebilir ve 83:4 = 20 (kalan 3) olduğundan 83 4'e bölünemez (gerekirse ve makalelerine bakın). Ancak bir sayı ne kadar çok basamak içeriyorsa, bölme işlemi o kadar "hoş olmayan" olur.

Belirli bir çok basamaklı sayının bölünebilirliğini daha kolay kontrol etmek için, 4'e bölünebilme testi, belirli bir a sayısının 4'e bölünebilme yeteneği konusundaki çalışmayı, tek değerli veya çift ​​haneli sayı. Bu özelliğin formülasyonunu verelim. a sayısının notasyonundaki son iki rakamdan oluşan sayı (göründükleri sırayla) 4'e bölünebilirse, a tamsayısı 4'e bölünebilir; oluşan sayı 4'e bölünemiyorsa a sayısı 4'e bölünemez.

Hadi düşünelim 4'e bölünebilme testinin kullanımına örnekler.

Örnek.

−98,028, 7,612 ve 999,888,777 sayılarından hangisi 4'e bölünebilir?

Çözüm.

4'e bölünebilme testini kullanalım.

Son iki rakamı -98,028, 28 sayısını verir, 28 sayısı 4'e bölündüğü için (28:4=7), -98,028 sayısı 4'e bölünür.

7612 sayısının son iki rakamı 12 sayısını oluşturur ve 12 sayısı 4'e bölünür (12:4=3), dolayısıyla 7612 sayısı 4'e bölünür.

Son olarak 999.888.777 sayısının son iki rakamı 77 sayısını verir, çünkü 77 4'e bölünemediğinden (77:4 = 19 (geri kalan 1)) orijinal sayı 4'e bölünemez.

Cevap:

−98,028 ve 7,612.

Sayı kaydındaki son iki rakam örneğin 01, 02, 03, ..., 09 ise 4'e bölünebilme testi nasıl uygulanır? Bu durumlarda soldaki 0 ​​rakamının atılması gerekir, sonrasında tek haneli 1, 2, 3, ..., 9 rakamı kalır.

Örnek.

75.003 ve −88.108 sayıları 4'e bölünebilir mi?

Çözüm.

75.003 sayısının girişindeki son iki haneye bakalım - 03'ü görüyoruz, soldaki sıfırı atıyoruz ve 3 sayısını elde ediyoruz. 3, 4'e bölünemediğinden, 4'e bölünebilirliğe dayanarak 75.003'ün 4'e bölünemeyeceği sonucuna varabiliriz.

Benzer şekilde, −88 108 sayısının son iki rakamı 8 sayısını oluşturur ve 8, 4'e bölünebildiğinden, −88 108 sayısı 4'e de bölünebilir.

Cevap:

75.003 4'e bölünemez, ancak -88.108 bölünebilir.

Ayrı olarak, sağdaki ardışık iki rakamın (veya daha fazlasının) sıfır olduğu gösterimde sayılar hakkında da söylemek gerekir. Bu sayılara örnek verelim: 100, 893.900, 40.000, 373.002.000 vb. Bu tür sayılar 4'e bölünür. Bunu meşrulaştıralım.

100 sayısı 4'e bölünür. Gerçekten 100:4=25. girişi iki sıfırla biten herhangi bir a tamsayısını a 1 100 çarpımı olarak temsil etmenize olanak tanır; burada sağdaki girişte iki sıfır atılırsa a sayısından a 1 sayısı elde edilir. Örneğin, 588,300=5,883·100 ve 30,000=300·100. Ve a 1 100 çarpımı 4'e bölünebilir, çünkü 4'e bölünebilen bir 100 çarpanı içerir (bölünebilirlik özelliklerine bakın). Sağında iki sıfır bulunan herhangi bir tam sayının 4'e bölünebildiği kanıtlanmıştır.

4'e bölünebilme kanıtı

4'e bölünebilirlik testini kanıtlamak için a doğal sayısının aşağıdaki temsiline ihtiyacımız var. Herhangi bir doğal sayı a=a 1 100+a 0 biçiminde temsil edilebilir; burada a 1 sayısı, gösteriminden son iki rakam çıkarıldığında a sayısından elde edilir ve a 0 sayısı son sayıya karşılık gelir. a sayısının gösterimindeki iki rakam. Örneğin, 5431=54·100+31. a sayısı tek basamaklı veya iki basamaklıysa a=a 0 olur.

Ayrıca bölünebilmenin iki özelliğine de ihtiyacımız olacak:

• Bir a tam sayısının bir b tam sayısına bölünebilmesi için a sayısının modülünün b sayısının modülüne bölünebilir olması gerekli ve yeterlidir;
• a=s+t eşitliğinde, biri hariç tüm terimler bir b tamsayısı ile bölünebiliyorsa, o zaman bu terim de b'ye bölünebilir.

Artık getirebiliriz 4'e bölünebilme kanıtı Bunu öncelikle 4'e bölünebilmenin gerekli ve yeterli koşulu olarak yeniden formüle ediyoruz.

Teorem.

Bir a tam sayısının 4'e bölünebilmesi için a sayısının notasyonundaki son iki basamağa karşılık gelen sayının 4'e bölünebilmesi gerekli ve yeterlidir.

Kanıt.

İçin a=0 teoremi açıktır.

Diğer tamsayılar için a a pozitif bir sayıdır ve teoremden önce söylediğimiz gibi ile temsil edilebilir.

Bu makalenin ilk paragrafının sonunda a 1 100 çarpımının her zaman 4'e bölünebileceğini gösterdik. Teoremden önce verilen bölünebilme özelliklerini de dikkate alırsak aşağıdaki sonuçlara varırız.

eğer sayı a 4'e bölünebilirse, a sayısının modülü 4'e bölünebilirse eşitlik, a 0 sayısının 4'e bölünebileceğini gösterir. Bu da ihtiyacı kanıtlıyor.

Öte yandan, a'nın 4'e bölünebilirliği ve eşitlikten, a modülü 4'e bölünebilir, bu da a sayısının kendisinin 4'e bölünebilirliğini ima eder. Bu da yeterliliğini kanıtlıyor.

4'e bölünebilmenin diğer durumları

Bazen bir ifadenin değeri olarak verilen bir tam sayının 4'e bölünebilirliğini kontrol etmeniz gerekir. Bu gibi durumlarda doğrudan bölünme mümkün değildir. Ayrıca 4'e bölünebilme testinin kullanılması her zaman mümkün olmamaktadır. Bu durumlarda ne yapmalı?

Ana fikir, orijinal ifadeyi, biri 4'e bölünebilen çeşitli faktörlerin çarpımına indirgemektir. Bu durumda karşılık gelen bölünebilme özelliğine dayanarak orijinal ifadenin 4'e bölünebilir olduğu sonucuna varmak mümkün olacaktır.

Bazen bu içgörüyü elde etmek yardımcı olur. Açıklığa kavuşturmak için bir örnek verelim.

Örnek.

İfadenin değeri 4'e bölünebilir mi? bazı doğal n için?

Çözüm.

9'u 8+1 olarak düşünelim ve ardından Newton'un binom formülünü kullanalım:

Ortaya çıkan çarpım 4'ün faktörünü içerdiğinden ve parantez içindeki ifade bir doğal sayı olduğundan 4'e bölünebilir. Buradan,

Cevap:

Evet.

Çoğu zaman bazı ifadelerin 4'üne bölünebilirliğini kanıtlamak mümkündür. Önceki örneğin koşulunu kullanarak bunun nasıl yapıldığını gösterelim.

Örnek.

Kanıtla herhangi bir n doğal sayısı için 4'e bölünebilir.

Çözüm.

n=1 için ifadenin değerinin olduğunu gösterelim. 4'e bölünebilir. Sahibiz ve 4, 4'e bölünebilir.

Öyleymiş gibi yapalım n=k olduğunda 4'e bölünebilir, yani 4'e bölünebildiğini varsayacağız.

6. sınıfta matematik, bölünebilirlik kavramının ve bölünebilme işaretlerinin incelenmesiyle başlar. Genellikle aşağıdaki sayılarla bölünebilme kriterleriyle sınırlıdırlar:

• Açık 2 : son rakam 0, 2, 4, 6 veya 8 olmalıdır;
• Açık 3 : Sayının rakamlarının toplamı 3'e bölünmelidir;
• Açık 4 : son iki rakamın oluşturduğu sayı 4'e bölünmelidir;
• Açık 5 : son rakam 0 veya 5 olmalıdır;
• Açık 6 : sayının 2 ve 3'e bölünebilme işaretleri olması gerekir;
• Bölünebilme testi 7 sıklıkla gözden kaçırılan;
• Ayrıca bölünebilme testi hakkında nadiren konuşurlar. 8 2 ve 4'e bölünebilme kriterlerine benzemekle birlikte. Bir sayının 8'e bölünebilmesi için üç rakamının sonunun 8'e bölünebilmesi gerekli ve yeterlidir.
• Bölünebilme testi 9 Herkes bilir: Bir sayının rakamlarının toplamı 9'a bölünebilir olmalıdır. Ancak bu, numerologların kullandığı her türlü tarih hilesine karşı bağışıklık geliştirmez.
• Bölünebilme testi 10 muhtemelen en basiti: sayı sıfırla bitmelidir.
• Bazen altıncı sınıf öğrencilerine bölünebilme testi anlatılır. 11 . Sonuçtan sayının çift yerlerdeki rakamlarını toplamanız, tek yerlerdeki sayıları çıkarmanız gerekir. Sonuç 11'e bölünüyorsa sayının kendisi de 11'e bölünebilir.

Bir sayı alalım. Her biri 3 basamaklı bloklara bölüyoruz (en soldaki blok bir veya 2 basamak içerebilir) ve bu blokları dönüşümlü olarak ekliyor/çıkarıyoruz.

Sonuç 7, 13 (veya 11) ile bölünebiliyorsa, sayının kendisi de 7, 13 (veya 11) ile bölünebilir.

Bu yöntem, bir takım matematik hileleri gibi 7x11x13 = 1001 gerçeğine dayanmaktadır. Ancak bölünebilirlik sorununun da bölme olmadan çözülemeyeceği üç basamaklı sayılar için ne yapılması gerektiği.

Evrensel bölünebilirlik testini kullanarak, bir sayının 7'ye ve diğer "uygunsuz" sayılara bölünebilir olup olmadığını belirlemek için nispeten basit algoritmalar oluşturmak mümkündür.

7'ye bölünebilme testi iyileştirildi
Bir sayının 7'ye bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için sayıdan son rakamı atmanız ve bu rakamı sonuçtan iki kez çıkarmanız gerekir. Sonuç 7'ye bölünüyorsa sayının kendisi de 7'ye bölünebilir.

Örnek 1:
238 7'ye bölünebilir mi?
23-8-8 = 7. Yani 238 sayısı 7'ye tam bölünür.
Aslında 238 = 34x7

Bu eylem tekrar tekrar gerçekleştirilebilir.
Örnek 2:
65835 7'ye bölünebilir mi?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63, 7'ye bölünebilir (eğer bunu fark etmeseydik bir adım daha atabilirdik: 6-3-3 = 0 ve 0 kesinlikle 7'ye bölünebilir).

Bu, 65835 sayısının 7'ye bölünebildiği anlamına gelir.

Evrensel bölünebilme kriterine dayanarak, bölünebilme kriterlerini 4'e ve 8'e geliştirmek mümkündür.

4'e bölünebilme testi iyileştirildi
Birim sayısının yarısı artı onlar sayısının yarısı çift sayı ise sayı 4'e bölünür.

Örnek 3
52 sayısı 4'e bölünür mü?
5+2/2 = 6, sayı çifttir, yani sayı 4'e bölünür.

Örnek 4
134 sayısı 4'e bölünür mü?
3+4/2 = 5, sayı tektir, yani 134 4'e bölünemez.

8'e bölünebilme testi iyileştirildi
Yüzler sayısının iki katı, onlar sayısı ve birim sayısının yarısını toplarsanız ve sonuç 4'e bölünebilirse, sayının kendisi de 8'e bölünebilir.

Örnek 5
512 sayısı 8'e bölünür mü?
5*2+1+2/2 = 12, sayı 4'e bölünür, yani 512 8'e bölünür.

Örnek 6
1984 sayısı 8'e bölünür mü?
9*2+8+4/2 = 28, sayı 4'e bölünebilir, yani 1984 8'e bölünebilir.

12'ye bölünebilme testi- bu, 3 ve 4'e bölünebilme işaretlerinin birleşimidir. Aynı durum eş asal p ve q'nun çarpımı olan herhangi bir n için de geçerlidir. Bir sayının n'ye bölünebilmesi için (bu, gcd(p,q)=1 olacak şekilde pq,actih çarpımına eşittir), bir sayının hem p hem de q'ya bölünebilmesi gerekir.

Ancak dikkatli olun! Bileşik bölünebilme kriterinin işe yaraması için bir sayının çarpanlarının aralarında asal olması gerekir. Bir sayı 2 ve 4'e bölünüyorsa 8'e de bölünebilir diyemezsiniz.

13'e bölünebilme testi iyileştirildi
Bir sayının 13'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için sayıdan son rakamı çıkarıp elde edilen sonuca dört kez eklemeniz gerekir. Sonuç 13'e bölünüyorsa sayının kendisi de 13'e bölünebilir.

Örnek 7
65835 8'e bölünebilir mi?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

43 sayısı 13'e bölünemez, yani 65835 sayısı 13'e bölünemez.

Örnek 8
715 13'e bölünebilir mi?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13, 13'e bölünebilir, yani 715 sayısı 13'e bölünebilir.

14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28'e bölünebilme işaretleri ve asal sayıların kuvvetleri olmayan diğer bileşik sayılar 12'ye bölünebilme testlerine benzer. Bu sayıların eş asal çarpanlarına göre bölünebilirliğini kontrol ediyoruz.

• 14 için: 2 ve 7 için;
• 15 için: 3 ve 5 için;
• 18 için: 2 ve 9'da;
• 21 için: 3 ve 7'de;
• 20 için: 4'e ve 5'e (veya başka bir deyişle, son rakam sıfır olmalı ve sondan bir önceki rakam çift olmalıdır);
• 24 için: 3 ve 8 için;
• 26 için: 2 ve 13'te;
• 28 için: 4 için ve 7 için.

Örnek 9
1984 sayısı 16'ya bölünür mü?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30, 16'ya bölünemez, yani 1984, 16'ya bölünemez.

Örnek 10
1526 sayısı 16'ya bölünür mü?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48, 16'ya bölünemez, yani 1526, 16'ya bölünemez.

17'ye bölünebilme için geliştirilmiş bir test.
Bir sayının 17'ye bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için sayıdan son rakamı atmanız ve elde edilen sonuçtan bu rakamı beş kez çıkarmanız gerekir. Sonuç 13'e bölünüyorsa sayının kendisi de 13'e bölünebilir.

Örnek 11
59772 sayısı 17'ye bölünebilir mi?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0, 17'ye bölünebilir, yani 59772 sayısı 17'ye bölünebilir.

Örnek 12
4913 sayısı 17'ye bölünür mü?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17, 17'ye bölünebilir, yani 4913 sayısı 17'ye bölünebilir.

19'a bölünebilme için geliştirilmiş bir test.
Bir sayının 19'a bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için son rakamı atıldıktan sonra kalan sayının son rakamının iki katını eklemeniz gerekir.

Örnek 13
9044 sayısı 19'a bölünür mü?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19, 19'a bölünebilir, yani 9044 sayısı 19'a bölünebilir.

23'e bölünebilme için geliştirilmiş bir test.
Bir sayının 23'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için son rakamı attıktan sonra kalan sayıya 7 kat artırılmış son rakamı eklemeniz gerekir.

Örnek 14
208012 sayısı 23'e bölünebilir mi?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Aslında 253'ün 23 olduğunu zaten fark etmişsinizdir.

Bu yazımızda sayıların bölünebilme işaretlerine ve problem çözerken bölünebilme işaretlerinin nasıl kullanılacağına bakacağız.

Sayıların bölünebilirlik işaretleri.

1. Bölünebilme testi 2. Bir sayının notasyonu 0, 2, 4, 6, 8 ile bitiyorsa 2'ye bölünebilir. 2'ye bölünebilen sayılara çift, 2'ye bölünmeyen sayılara ise tek sayı denir.

2. Bölünebilme testi 5. Bir sayı 0 veya 5 ile bitiyorsa 5'e bölünür.

3. 10'a bölünebilme testi. Bir sayının sonu 0 ile bitiyorsa 10'a bölünür.

Genel olarak, bir sayının son iki basamağı sıfır ise sayı 100'e, son üç basamağı sıfır ise 1000'e vb. bölünür.

4. 4'e bölünebilme testi. Bir sayının son iki basamağı 4'e bölünebilen bir sayı ise asıl sayı 4'e bölünür.

Örneğin 2116 sayısının son iki rakamı 4'e bölünebilen 16 sayısını oluşturur, dolayısıyla 2116 4'e bölünür.

5. 3 ve 9'a bölünebilme testi. Bir sayının rakamları toplamı 3'e (sırasıyla 9'a) bölünüyorsa sayı 3'e (sırasıyla 9'a) bölünür.

Örneğin 312 sayısı 2'ye (son rakam 2'dir) ve 3'e (rakamların toplamı 3'e bölünür) ve dolayısıyla 6'ya bölünür.

Genel olarak, eğer sayılar göreceli olarak asalsa (yani ortak bölenleri yoksa) ve belirli bir sayı bu sayıların her birine bölünebiliyorsa, o zaman bu sayıların çarpımına bölünebilir.

6. 7'ye bölünebilme testi. Bir sayının birim sayısına eklenen onluk sayının üç katı 7'ye bölünüyorsa sayı 7'ye bölünür.

Örneğin 427 sayısı 7'ye bölünür çünkü bu sayıdaki onlar sayısı 42, 42x3+7=126+7=133; 133 7'ye bölünebilir çünkü bu sayıdaki onlar sayısı 13, 13x3+3==39+3=42'dir.

7. 11'e bölünebilme testi. Bir sayının tek basamaklardaki rakamların toplamı ile çift basamaklardaki rakamların toplamı arasındaki farkın modülü 11'e bölünüyorsa veya farkın modülü sıfır ise sayı 11'e bölünür.

Örneğin 12397 sayısı 11'e bölünebilir çünkü |(1+3+7)-(2+9)|=0

Sayıların bölünebilirliğini belirlemek için aşağıdakileri kullanın: Bir toplamın ve bir çarpımın bölünebilirlik işaretleri:

1. Toplamın her terimi bu sayıya bölünebiliyorsa, sayıların toplamı belirli bir sayıya bölünebilir.

2. Bir sayılar çarpımı, eğer faktörlerden en az biri bu sayıya bölünebiliyorsa, belirli bir sayıya bölünebilir.

Örnek 1. Bu sayının 5'in katı.

Çözüm. Sayının son rakamı 0 veya 5 ise sayı 5'in katıdır.

Bir sayı 1 rakamıyla bitiyorsa bu sayının herhangi bir kuvveti 1 rakamıyla biter, dolayısıyla sayı 1 rakamıyla biter.

Bir sayı 6 sayısıyla bitiyorsa bu sayının herhangi bir kuvveti 6 sayısıyla biter, yani sayı 6 sayısıyla biter.

Böylece fark 5 sayısıyla biter ve bu nedenle 5'e bölünebilir.

Örnek 2. Tüm rakamları farklı olan ve 2, 5, 9 ve 11'e bölünebilen dört basamaklı en büyük sayıyı bulun.

a) 1. Sayı 2 ve 5'e bölünebildiğinden son rakamı 0'dır.

2. 2, 5, 9 ve 11 sayılarının ortak bölenleri bulunmadığından istenilen sayının bu sayıların çarpımına yani 990'a bölünebilmesi gerekir.

990'a bölünebilen ve sonu 0 ile biten dört basamaklı en büyük sayı 9900'dür.

Koşula göre rakamları farklı olan bir sayı bulmamız gerekiyor. 2, 5, 9 ve 11'e bölünebilen bir önceki sayı 9900-990=8910'dur. Bu sayı sorunun tüm koşullarını karşılamaktadır.

Cevap: 8910

Örnek 3: 1'den 9'a kadar olan tüm sayıları bir kez kullanarak 11'e bölünebilen dokuz basamaklı en büyük sayıyı oluşturun.

Çözüm. Sayımızda tek basamaklardaki rakamların toplamı ile çift basamaklardaki rakamların toplamı arasındaki farkın modülü 11'e bölünmelidir.

Sayı en büyük olmalı, yani ilk sıradaki sayılar en büyük olmalıdır. Sayı şu şekilde olsun: Bir sayının 11'e bölünebilmesi için ifadenin değerinin 11'in katı veya sıfıra eşit olması gerekir.

İfadeyi basitleştirelim ve şunu elde edelim:

Bunlar sayılar olduğundan ve en büyüğü zaten kullanıldığından, 1, 2, 3, 4, 5 sayılarını her gruptaki sayılar: azalan düzende olacak şekilde birleştiriyoruz. Aşağıdaki kombinasyon uygundur:

Cevap: 987652413

Bölünebilme kriterleri şu durumlarda kullanılır: Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma.

Bir doğal sayının yalnızca 2 farklı böleni varsa asal sayı olarak adlandırılır: biri ve sayının kendisi.

Örneğin asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 vb. sayılardır.

Dikkat! 1 sayısı ne asal ne de bileşiktir.

Bir asal sayı dizisini bulmak için, adı verilen bir algoritma kullanırlar. Eratostenes eleği:

1. Bir dizi yazın doğal sayılar:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, ...

2. 2'nin katı olan sayıların üzerini çizin - 2'den sonraki her ikinci sayı:

2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15, 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21, 22 , 23, 24 , 25,...

3. 3'ün katı olan sayıların üzerini çizin - 3'ten sonraki her üçüncü sayı:

2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25,...

4. 5'in katı olan sayıların üzerini çizin - 5'ten sonraki her beşinci sayı:

2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25 ,...

2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9, 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 ,...

Aritmetiğin temel teoremi:

Birden büyük herhangi bir doğal sayı, asal çarpanların çarpımı olarak ve benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

Örnek 4. 4356 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

Çözüm: Bölünebilme kriterlerini uygulayalım. Sayının son rakamı çifttir, sayıyı 2'ye bölün. Bir tam sayıya bölmek mümkün oluncaya kadar 2'ye böleceğiz.

1089 sayısı artık 2'ye bölünemez, 3'e bölünebilir (sayıdaki rakamların toplamı 18'dir). Mümkün olduğunca 3'e böleceğiz.

121, 11'e bölünür.

Bu yüzden,

Bu eşitliğe 4356'nın çarpanlarına ayrılması denir.

Asal çarpanlara ayırma, çok çeşitli problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Örnek 5. Bir kesri azaltın

Pay ve paydayı basit faktörlere ayıralım:

Örnek 6: Karekök bulma:

4356 sayısının asal çarpanlarına ayrıştırılmasını kullanalım:

Örnek 7. Yarısı kare, üçte biri küp ve beşincisi beşinci kuvveti olan en küçük doğal sayıyı bulun.

Bu koşulları sağlayan en küçük sayı 2, 3, 5 sayılarının kuvvetlerinin çarpımıdır.

Bu sayının şöyle görünmesine izin verin:

a) Sayının yarısı kare olduğundan n-1, m ve k çift sayılardır.

b) Sayının üçte biri küp olduğundan n, m-1 ve k 3'e bölünür.

c) Bir sayının beşinci kısmı beşinci kuvveti olduğundan n, m ve k-1 5'in katlarıdır.

k, 2 ve 3'ün katıdır, bu nedenle k, 6'ya eşit olabilir (a) ve b'yi karşılar), 6-1, 5'e bölünür (c'yi karşılar)).

n, 3 ve 5'in katıdır, bu nedenle n, 15'e eşit olabilir (c) ve b'yi karşılar), 15-1, 2'ye bölünür (a'yı karşılar)).

m, 5 ve 2'nin katıdır, bu nedenle m, 10'a eşit olabilir (c) ve a)'yı karşılar), 10-1, 3'e bölünebilir (b'yi karşılar)).