12 ve 35 sayılarının en küçük ortak katı. Çevrimiçi hesap makinesi GCD ve LCM'yi bulma (hesaplama).

Tanım. a ve b sayılarını kalansız olarak bölen en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak bölen (GCD) bu sayılar.

24 ve 35 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sayılarıdır; 35'in bölenleri ise 1, 5, 7, 35 sayılarıdır.
24 ve 35 sayılarının yalnızca bir ortak böleni olduğunu görüyoruz - 1 sayısı. Bu tür sayılara denir karşılıklı olarak asal.

Tanım. Doğal sayılara denir karşılıklı olarak asal, eğer en büyük ortak bölenleri (GCD) 1 ise.

En Büyük Ortak Bölen (GCD) verilen sayıların tüm bölenleri yazılmadan bulunabilir.

48 ve 36 sayılarını çarpanlarına ayırdığımızda şunu elde ederiz:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Bu sayılardan ilkinin açılımında yer alan faktörlerden, ikinci sayının açılımında yer almayanları (yani iki ikiyi) çıkarıyoruz.
Geriye kalan çarpanlar 2*2*3'tür. Çarpımları 12'ye eşittir. Bu sayı 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak böleni olur. Üç veya daha fazla sayının da en büyük ortak böleni bulunur.

Bulmak en büyük ortak böleni

2) bu sayılardan birinin genişletilmesine dahil edilen faktörlerden, diğer sayıların genişletilmesine dahil olmayanların üzerini çizin;
3) Kalan faktörlerin çarpımını bulun.

Verilen sayıların tümü bunlardan birine bölünebiliyorsa bu sayı en büyük ortak böleni verilen rakamlar.
Örneğin, 15, 45, 75 ve 180 sayılarının en büyük ortak böleni 15 sayısıdır, çünkü diğer tüm sayılar ona bölünebilir: 45, 75 ve 180.

En küçük ortak kat (LCM)

Tanım. En küçük ortak kat (LCM) doğal sayılar a ve b, hem a hem de b'nin katı olan en küçük doğal sayıdır. 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların katları art arda yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı asal çarpanlarına ayıralım: 75 = 3 * 5 * 5 ve 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Bu sayılardan birincisinin açılımında yer alan çarpanları yazalım ve bunlara ikinci sayının açılımında eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını ekleyelim (yani çarpanları birleştirelim).
Çarpımı 300 olan 2 * 2 * 3 * 5 * 5 şeklinde beş çarpan elde ederiz. Bu sayı, 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katıdır.

Ayrıca üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını da bulurlar.

İle en küçük ortak katları bul birkaç doğal sayıya ihtiyacınız var:
1) bunları asal faktörlere ayırın;
2) sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörleri yazın;
3) kalan sayıların açılımlarından eksik faktörleri bunlara ekleyin;
4) Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun.

Bu sayılardan biri diğer tüm sayılara bölünebiliyorsa bu sayı, bu sayıların en küçük ortak katıdır.
Örneğin 12, 15, 20 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı 60'tır çünkü bu sayıların tümüne bölünebilir.

Pisagor (M.Ö. VI. yüzyıl) ve öğrencileri sayıların bölünebilirliği konusunu incelediler. Tüm bölenlerinin toplamına eşit olan (sayı hariç) bir sayıya mükemmel sayı adını verdiler. Örneğin 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sayıları mükemmeldir. Sonraki mükemmel sayılar 496, 8128, 33,550,336'dır. Pisagorcular yalnızca ilk üç mükemmel sayıyı biliyorlardı. Dördüncü - 8128 - 1. yüzyılda tanındı. N. e. Beşincisi (33.550.336) 15. yüzyılda bulundu. 1983 yılına gelindiğinde 27 mükemmel sayı zaten biliniyordu. Ancak bilim adamları hala tek mükemmel sayıların mı yoksa en büyük mükemmel sayıların mı olduğunu bilmiyorlar.
Antik matematikçilerin asal sayılara olan ilgisi, herhangi bir sayının asal olması veya çarpım olarak gösterilebilmesinden kaynaklanmaktadır. asal sayılar yani asal sayılar diğer doğal sayıların inşa edildiği tuğlalar gibidir.
Muhtemelen doğal sayılar dizisindeki asal sayıların eşit olmayan bir şekilde oluştuğunu fark etmişsinizdir - serinin bazı kısımlarında daha fazla, bazılarında ise daha az vardır. Ancak sayı dizisinde ne kadar ilerlersek, asal sayılar o kadar az yaygın olur. Şu soru ortaya çıkıyor: Son (en büyük) bir asal sayı var mı? Antik Yunan matematikçi Öklid (MÖ 3. yüzyıl), iki bin yıl boyunca matematiğin ana ders kitabı olan “Elementler” adlı kitabında sonsuz sayıda asal sayının olduğunu, yani her asal sayının arkasında daha büyük bir asal sayının bulunduğunu kanıtladı. sayı.
Asal sayıları bulmak için aynı dönemdeki bir başka Yunan matematikçi Eratosthenes bu yöntemi ortaya attı. 1'den bir sayıya kadar tüm sayıları yazdı ve sonra ne asal ne de asal olan bir sayının üzerini çizdi. bileşik sayı, ardından 2'den sonra gelen tüm sayıların (2'nin katı olan sayılar, yani 4, 6, 8 vb.) üzerini çizin. 2'den sonra kalan ilk sayı 3'tü. Daha sonra ikiden sonra 3'ten sonra gelen tüm sayıların (3'ün katı olan sayılar yani 6, 9, 12 vb.) üzeri çizildi. sonunda yalnızca asal sayılar çaprazlanmadan kaldı.

LCM'nin nasıl hesaplanacağını anlamak için öncelikle "çoklu" teriminin anlamını belirlemelisiniz.

A'nın katı, A'ya kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır. Dolayısıyla, 5'in katı olan sayılar 15, 20, 25 vb. olarak kabul edilebilir.

Belirli bir sayının sınırlı sayıda böleni olabilir, ancak sonsuz sayıda katı vardır.

Doğal sayıların ortak katı, kendilerine kalan bırakmadan bölünebilen sayıdır.

Sayıların en küçük ortak katı nasıl bulunur

Sayıların (iki, üç veya daha fazla) en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların tümüne bölünebilen en küçük doğal sayıdır.

LOC'yi bulmak için çeşitli yöntemler kullanabilirsiniz.

Küçük sayılar için, aralarında ortak bir şey bulana kadar bu sayıların tüm katlarını bir satıra yazmak uygundur. Katlar büyük harf K ile gösterilir.

Örneğin 4'ün katları şu şekilde yazılabilir:

K(4) = (8,12,16,20,24,...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Böylece 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 24 sayısı olduğunu görebilirsiniz. Bu gösterim şu şekilde yapılır:

LCM(4, 6) = 24

Sayılar büyükse, üç veya daha fazla sayının ortak katını bulun, o zaman LCM'yi hesaplamak için başka bir yöntem kullanmak daha iyidir.

Görevi tamamlamak için verilen sayıları asal faktörlere ayırmanız gerekir.

Öncelikle en büyük sayının ayrışmasını bir satıra ve altına - gerisini yazmanız gerekir.

Her sayının genişletilmesinde olabilir farklı miktarçarpanlar.

Örneğin 50 ve 20 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.

Küçük sayının açılımında ilk sayının açılımında olmayan unsurların vurgulanması gerekir. çok sayıda ve ardından bunları buna ekleyin. Sunulan örnekte bir iki eksik.

Artık 20 ve 50'nin en küçük ortak katını hesaplayabilirsiniz.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Yani asal faktörlerin çarpımı Daha ve ikinci sayının daha büyük sayının açılımına dahil edilmeyen çarpanları en küçük ortak kat olacaktır.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmak için, önceki durumda olduğu gibi hepsini asal çarpanlara ayırmalısınız.

Örnek olarak 16, 24, 36 sayılarının en küçük ortak katını bulabilirsiniz.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Bu nedenle, daha büyük bir sayının (bir, yirmi dördün açılımındadır) çarpanlara ayrılmasına, on altının açılımından yalnızca iki iki dahil edilmemiştir.

Bu nedenle daha büyük bir sayının açılımına eklenmeleri gerekir.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

En küçük ortak katın belirlenmesinde özel durumlar vardır. Yani, eğer sayılardan biri diğerine kalansız bölünebiliyorsa, bu sayılardan büyük olanı en küçük ortak kat olacaktır.

Örneğin on iki ve yirmi dört sayısının LCM'si yirmi dörttür.

Aynı bölenlere sahip olmayan eş asal sayıların en küçük ortak katını bulmak gerekiyorsa, bunların LCM'leri çarpımlarına eşit olacaktır.

Örneğin LCM (10, 11) = 110.

LCM (en az ortak kat) nasıl bulunur?

İki tam sayının ortak katı, verilen her iki sayıya kalan bırakmadan eşit olarak bölünebilen bir tam sayıdır.

İki tam sayının en küçük ortak katı, verilen sayıların her ikisine de kalan bırakmadan bölünebilen tam sayıların en küçüğüdür.

Yöntem 1. LCM'yi, verilen sayıların her biri için, elde edilen tüm sayıları 1, 2, 3, 4 vb. ile çarparak artan sırada yazarak bulabilirsiniz.

Örnek 6 ve 9 numaralar için.
6 sayısını sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5 ile çarpıyoruz.
Şunu elde ederiz: 6, 12, 18 , 24, 30
9 sayısını sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5 ile çarpıyoruz.
Şunu elde ederiz: 9, 18 , 27, 36, 45
Gördüğünüz gibi 6 ve 9 numaralarının LCM'si 18'e eşit olacaktır.

Bu yöntem, her iki sayı da küçük olduğunda ve bunları bir tam sayı dizisiyle çarpmanın kolay olduğu durumlarda kullanışlıdır. Ancak, iki basamaklı veya LCM'yi bulmanız gereken zamanlar vardır. üç basamaklı sayılar ve ayrıca üç veya daha fazla başlangıç numarası olduğunda.

Yöntem 2. Orijinal sayıları asal çarpanlara ayırarak LCM'yi bulabilirsiniz.
Ayrıştırmadan sonra, ortaya çıkan serideki asal faktörlerin üzerini çizmek gerekir. aynı sayılar. İlk sayının kalan sayıları ikinciye çarpan, ikinci sayının kalan sayıları ise birinciye çarpan olacaktır.

Örnek 75 ve 60 numaraları için.
75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı, bu sayıların katları art arda yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı basit çarpanlarına ayıralım:
75 = 3 * 5 * 5, bir
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Gördüğünüz gibi her iki satırda da faktör 3 ve 5 görünüyor. Zihinsel olarak onların üzerini çizeriz.
Bu sayıların her birinin açılımında yer alan kalan faktörleri yazalım. 75 sayısını ayrıştırırken 5 rakamı, 60 sayısını ayrıştırırken 2*2 kalıyor.
Yani 75 ve 60 sayılarının LCM'sini belirlemek için 75'in açılımından kalan sayıları (bu 5'tir) 60 ile çarpmamız ve 60'ın açılımından kalan sayıları (bu 2'dir) çarpmamız gerekir. * 2) 75'e. Yani, anlaşılmasını kolaylaştırmak için "çapraz" çarptığımızı söylüyoruz.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
60 ve 75 sayılarının LCM'sini bu şekilde bulduk. Bu 300 sayısıdır.

Örnek. 12, 16, 24 sayıları için LCM'yi belirleyin
İÇİNDE bu durumda eylemlerimiz biraz daha karmaşık olacak. Ama önce her zaman olduğu gibi tüm sayıları çarpanlarına ayıralım
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM'yi doğru bir şekilde belirlemek için, tüm sayıların en küçüğünü seçiyoruz (bu 12 sayısıdır) ve diğer sayı satırlarından en az birinde henüz aynı faktörle karşılaşırsak, bunların üstünü çizerek sırayla faktörlerini gözden geçiriyoruz. üzeri çizildi.

Aşama 1 . Tüm sayı dizilerinde 2*2'nin oluştuğunu görüyoruz. Hadi bunların üzerini çizelim.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Adım 2. 12 sayısının asal çarpanlarında sadece 3 sayısı kalıyor ama 24 sayısının asal çarpanlarında mevcut. Her iki satırdan da 3 sayısını çiziyoruz, 16 sayısı için ise herhangi bir işlem beklenmiyor. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Gördüğünüz gibi 12 sayısını ayrıştırırken tüm sayıların üzerini çizdik. Bu, LOC bulmanın tamamlandığı anlamına gelir. Geriye kalan tek şey değerini hesaplamak.
12 sayısı için 16 sayısının kalan çarpanlarını alın (bir sonraki artan sırada)
12 * 2 * 2 = 48
Burası NOC

Gördüğünüz gibi bu durumda LCM'yi bulmak biraz daha zordu ancak üç veya daha fazla sayı için bulmanız gerektiğinde bu yöntem bunu daha hızlı yapmanızı sağlar. Ancak LCM'yi bulmanın her iki yöntemi de doğrudur.

Ancak birçok doğal sayı aynı zamanda diğer doğal sayılara da bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;

36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünür.

Bir sayının bir tama bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayıların bölenleri. Bir doğal sayının böleni A-bölen bir doğal sayıdır verilen numara A iz bırakmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir kompozit .

12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu lütfen unutmayın. Bu sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Bu iki sayının ortak böleni A Ve B- verilen her iki sayının da kalansız olarak bölündüğü sayıdır A Ve B.

Ortak katlar birkaç sayı, bu sayıların her birine bölünebilen bir sayıdır. Örneğin 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 da onların ortak katlarıdır. Tüm ortak katlar arasında her zaman en küçük olan vardır, bu durumda 90'dır. Bu sayıya denir. en küçükortak kat (CMM).

LCM her zaman tanımlandığı sayıların en büyüğünden büyük olması gereken bir doğal sayıdır.

En küçük ortak kat (LCM). Özellikler.

Değişebilirlik:

İlişkisellik:

Özellikle, eğer ve eş asal sayılar ise, o zaman:

İki tam sayının en küçük ortak katı M Ve N diğer tüm ortak katların bölenidir M Ve N. Ayrıca ortak katlar kümesi m, n LCM'nin katları kümesiyle çakışır ( m, n).

Asimptotikleri bazı sayı-teorik fonksiyonlarla ifade edilebilir.

Bu yüzden, Chebyshev işlevi. Ve:

Bu, Landau fonksiyonunun tanımından ve özelliklerinden kaynaklanmaktadır. g(n).

Asal sayıların dağılım kanunundan çıkan sonuç.

En küçük ortak katı (LCM) bulma.

NOC( a, b) çeşitli şekillerde hesaplanabilir:

1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, bunun LCM ile bağlantısını kullanabilirsiniz:

2. Her iki sayının asal çarpanlarına kanonik ayrışımı bilinsin:

Nerede p 1 ,...,p k- çeşitli asal sayılar ve d 1 ,...,d k Ve e 1 ,...,ek— negatif olmayan tamsayılar (karşılık gelen asal sayı genişlemede değilse sıfır olabilirler).

Daha sonra NOC ( A,B) aşağıdaki formülle hesaplanır:

Başka bir deyişle LCM ayrıştırması, sayıların ayrıştırılmasından en az birinde yer alan tüm asal faktörleri içerir. a, b, ve bu çarpanın iki üssünden en büyüğü alınır.

Örnek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını hesaplamak, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:

Kural. Bir sayı serisinin LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

- sayıları asal faktörlere ayrıştırmak;

- en büyük ayrıştırmayı (verilenlerden en büyük sayının faktörlerinin çarpımı) istenen ürünün faktörlerine aktarın ve ardından ilk sayıda bulunmayan veya içinde bulunan diğer sayıların ayrıştırılmasından faktörleri ekleyin daha küçük sayı bir kere;

— asal faktörlerin sonuçtaki çarpımı, verilen sayıların LCM'si olacaktır.

Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının kendi LCM'si vardır. Sayılar birbirinin katı değilse veya açılımda aynı faktörlere sahip değilse, LCM'leri bu sayıların çarpımına eşittir.

28 sayısının asal çarpanları (2, 2, 7) 3 çarpanı (21 sayısı) ile tamamlanır, elde edilen çarpım (84) şu şekilde olur: en küçük sayı 21 ve 28'e bölünebilen sayıdır.

En büyük 30 sayısının asal çarpanları 25 sayısının 5 çarpanı ile tamamlanır, sonuçta ortaya çıkan 150 çarpımı en büyük 30 sayısından büyüktür ve hepsine bölünebilir verilen sayılar iz bırakmadan. Bu, verilen tüm sayıların katı olan mümkün olan en küçük çarpımdır (150, 250, 300...).