İlahi sayı phi. Tanrı sayısı, Fibonacci sayıları, altın oran

Fibonacci dizisi şu şekilde başlar: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

Fibonacci dizisinin özellikleri
1. Seri numarası arttıkça her sayının diğerine oranı giderek 0,618'e doğru yöneliyor. Her sayının bir öncekine oranı 1,618'e (0,618'in tersi) doğru gidiyor. 0,618 sayısına (FI) denir.
2. Her sayı bir sonraki sayıya bölündüğünde birden sonraki sayı 0,382; tam tersine – sırasıyla 2.618.
3. Oranları bu şekilde seçerek ana Fibonacci oranları kümesini elde ederiz: ... 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

Fibonacci Dizimi ile “altın oran” arasındaki bağlantı
Fibonacci dizisi asimptotik olarak (gittikçe yavaşlayarak) sabit bir ilişkiye eğilimlidir. Ancak bu oran irrasyoneldir, yani kesirli kısımda sonsuz, öngörülemeyen ondalık basamak dizisine sahip bir sayıyı temsil eder. Bunu tam olarak ifade etmek mümkün değil.
Fibonacci dizisinin herhangi bir üyesi öncekine (örneğin 13:8) bölünürse, sonuç irrasyonel değer olan 1,61803398875 civarında dalgalanan ve bazen onu aşan, bazen ona ulaşmayan bir değer olacaktır. Ancak bunun için Sonsuzluk'u harcadıktan sonra bile oranı son ondalık basamağa kadar tam olarak bulmak imkansızdır. Kısa olması açısından 1.618 şeklinde sunacağız. Luca Pacioli (bir ortaçağ matematikçisi) bunu İlahi oran olarak adlandırmadan önce bile bu orana özel isimler verilmeye başlandı. Modern isimleri arasında Altın Oran, Altın Ortalama ve dönen karelerin oranı bulunmaktadır. Kepler bu ilişkiyi "geometrinin hazinelerinden" biri olarak adlandırdı. Cebirde Genellikle Yunanca phi harfiyle tanımlandığı kabul edilir.

Ф=1.618

altın Oran- bu, bir segmentin, tüm segmentin kendisi gibi daha büyük kısımla ilişkili olduğu, eşit olmayan parçalara orantılı bir bölünmesidir. çoğu daha küçük olanı ifade eder; veya başka bir deyişle, daha büyük olanın bütüne oranı ne kadar küçükse, o kadar büyüktür.

Altın oranın parçaları sonsuz irrasyonel kesir 0,618... olarak ifade edilir, eğer AB bir olarak alınırsa, AC = 0,382.. Zaten bildiğimiz gibi 0,618 ve 0,382 sayıları Fibonacci dizisinin katsayılarıdır.

Doğada ve tarihte Fibonacci oranları ve altın oran
Fibonacci'nin insanlığa kendi sırasını hatırlattığını belirtmek önemlidir. Eski Yunanlılar ve Mısırlılar tarafından biliniyordu. Ve aslında o zamandan beri doğada mimaride, güzel Sanatlar matematik, fizik, astronomi, biyoloji ve daha birçok alanda Fibonacci katsayıları ile tanımlanan örüntüler bulunmuştur. Fibonacci dizisi kullanılarak kaç tane sabitin hesaplanabildiği ve terimlerinin nasıl göründüğü şaşırtıcıdır. çok büyük bir sayı kombinasyonlar. Ancak bunun sadece sayılarla yapılan bir oyun değil, matematiksel ifadelerin en önemlilerinden biri olduğunu söylemek abartı olmaz. doğal olaylarşimdiye kadar açılmış olanların hepsi.
Aşağıdaki örnekler bu matematiksel dizinin bazı ilginç uygulamalarını göstermektedir.

1. Spiral şeklinde bükülmüş kabuk. Açtığınızda yılanın uzunluğundan biraz daha kısa bir uzunluk elde edersiniz. On santimetrelik küçük kabuğun 35 cm uzunluğunda bir spirali vardır. Spiral olarak kıvrılmış kabuğun şekli Arşimet'in dikkatini çekmiştir. Gerçek şu ki, kabuk buklelerinin boyutlarının oranı sabit ve 1.618'e eşit. Arşimed kabukların spiralini inceledi ve spiralin denklemini çıkardı. Bu denkleme göre çizilen spiral onun adıyla anılmaktadır. Adımındaki artış her zaman aynıdır. Şu anda Arşimet spirali teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır.

2. Bitkiler ve hayvanlar. Goethe ayrıca doğanın sarmallığa olan eğilimini de vurguladı.
Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve spiral dizilişi uzun zaman önce fark edilmişti. Ayçiçeği tohumları, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb.'nin dizilişinde spiral görüldü. Botanikçiler ve matematikçilerin ortak çalışması bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tutuyor. Ayçiçeği çekirdeği ve çam kozalaklarından oluşan bir dal üzerindeki yaprakların dizilişinde Fibonacci serisinin ortaya çıktığı ve dolayısıyla altın oran yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek ağını spiral şeklinde örer. Kasırga spiral gibi dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü sarmal şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülmüştür. Goethe spirale "yaşam eğrisi" adını verdi.

Hem bitki hem de hayvan dünyasında, doğanın biçimlendirici eğilimi, büyüme ve hareket yönüne ilişkin simetriyi sürekli olarak kırar. Burada altın Oran büyüme yönüne dik parçaların oranlarında kendini gösterir. Doğa simetrik parçalara ve altın oranlara bölme işlemi gerçekleştirmiştir. Parçalar bütünün yapısının tekrarını ortaya koyar.

Pierre Curie yüzyılımızın başında bir dizi derin simetri fikrini formüle etti. Simetri dikkate alınmadan herhangi bir cismin simetrisinin dikkate alınamayacağını savundu. çevre. Altın simetri yasaları, temel parçacıkların enerji geçişlerinde, bazı kimyasal bileşiklerin yapısında, gezegensel ve kozmik sistemlerde, canlı organizmaların gen yapılarında kendini gösterir. Yukarıda belirtildiği gibi bu modeller, bireysel insan organlarının ve bir bütün olarak vücudun yapısında bulunur ve aynı zamanda beynin bioritimlerinde ve işleyişinde ve görsel algıda da kendini gösterir.

3. Uzay. Astronomi tarihinden, 18. yüzyıl Alman gökbilimcisi I. Titius'un bu serinin (Fibonacci) yardımıyla gezegenler arasındaki mesafelerde bir düzen ve düzen bulduğu bilinmektedir. Güneş Sistemi
Ancak kanuna aykırı görünen bir durum vardı: Mars ile Jüpiter arasında hiçbir gezegen yoktu. Gökyüzünün bu bölümünün odaklanarak gözlemlenmesi, asteroit kuşağının keşfedilmesine yol açtı. Bu Titius'un ölümünden sonra oldu. XIX'in başı V.
Fibonacci serisi yaygın olarak kullanılmaktadır: canlıların arkitektoniğini, insan yapımı yapıları ve Galaksilerin yapısını temsil etmek için kullanılır. Bu gerçekler, sayı serilerinin evrenselliğinin işaretlerinden biri olan tezahür koşullarından bağımsızlığının delilidir.

4. Piramitler. Birçoğu Giza'daki piramidin sırlarını çözmeye çalıştı. Diğerlerinin aksine Mısır piramitleri Bu bir mezar değil, sayı kombinasyonlarından oluşan çözülemez bir bulmaca. İnşaatta kullandıkları piramidin mimarlarının olağanüstü yaratıcılığı, becerisi, zamanı ve emeği ebedi sembol gelecek nesillere iletmek istedikleri mesajın son derece önemli olduğunu göstermektedir. Onların dönemi yazı öncesi, hiyeroglif öncesiydi ve keşifleri kaydetmenin tek yolu sembollerdi. Uzun zamandır insanoğlu için bir sır olarak kalan Gize Piramidi'nin geometrik-matematiksel sırrının anahtarı, aslında tapınak rahipleri tarafından Herodot'a iletilmiş ve ona piramidin alanı 1000 m2 olacak şekilde inşa edildiği bilgisi verilmiştir. yüzlerinin her biri yüksekliğinin karesine eşitti.
Bazı modern bilim adamları, eski Mısırlıların burayı yalnızca gelecek nesillere korumak istedikleri bilgiyi aktarma amacıyla inşa ettikleri şeklinde yorumlama eğilimindeler. Giza'daki piramit üzerine yapılan yoğun araştırmalar, o dönemde matematik ve astroloji bilgisinin ne kadar kapsamlı olduğunu gösterdi. Piramidin tüm iç ve dış oranlarında 1.618 sayısı merkezi bir rol oynuyor.


Kategoriler:

FI numarası veya Latin harfleriyle PHI, evrendeki güzel olan her şeyi temsil eden bir sayıdır. Bu olağandışı sayı nedir ve başka hangi isimleri var?

Bu sayıya neden altın oran deniyor?

İÇİNDE Antik Yunanİnanılmaz yeteneğe sahip bir heykeltıraş Phidias vardı. Herkes onun heykellerine hayran kaldı ve bu yaratıcının her seferinde nasıl gerçek bir sanat eseri yaratmayı başardığını anlamaya çalıştı. Daha sonra Phidias'ın heykellerinin her birinde belirli bir orantıya bağlı kaldığı anlaşıldı.

Daha sonra sanatında bu olağanüstü sayıyı yalnızca bu yaratıcının kullanmadığı ortaya çıktı. Sanatçı Raphael'in, Rus sanatçı Shishkin'in eserlerinde keşfedilmiş ve Beethoven, Chopin ve Çaykovski'nin müzik eserlerinde bulunmuştur. Leonardo Da Vinci'nin ünlü "Giaconda" adlı eseri de bu sayıyı içermektedir. Buna altın oran da denir.

FIBONACCI MUHTEŞEM BİR DÜZENLİLİK NUMARALARI BELİRTİYOR [PHI Numarası ve Altın Oran]

1.618034 sayısının sırrı - en çok ÖNEMLİ sayı Dünyada

ALTIN ​​ORAN

Matematiksel standartlara göre FI sayısı 1.618'dir ve araştırmacı Fibonacci tarafından elde edilmiştir. Bu bilim adamı yaptığı araştırmalar sonucunda tüm sayıların net bir dizilime sahip olduğu sonucuna varmıştır. Üçüncü sayıdan başlayarak sonraki her terim, önceki iki terimin toplamını taşır. Ve iki bitişik sayının bölümü 1.618 sayısına, yani aynı FI sayısına mümkün olduğu kadar yakındır.

Altın oran ve insan vücudunun oranları

Muhtemelen herkes Leonardo Da Vinci'nin insan vücudunun ana hatlarının çizildiği ünlü tablosunu görmüştür. Leonardo, bu ünlü diyagramın yardımıyla insan vücudunun altın oran ilkesine göre yaratıldığını kanıtladı. İnsan vücudunun oranları her zaman aynı PHI güzellik numarasını verir.

İstenirse böyle bir teori pratikte kolaylıkla test edilebilir. Omuzdan kalçanın ucuna kadar olan uzunluğu ölçmek için bir santimetre kullanmanız gerekir. uzun parmak ve ardından bunu dirsekten aynı parmağın ucuna kadar olan uzunluğa bölün. Şaşırtıcı bir şekilde sonuç tam olarak 1.618! Aynı sayıda güzellik. Bu tek örnek değil. Uyluğunuzun üst kısmından olan mesafeyi ölçün, bunu dizden yere kadar olan uzunluğa bölün, aynı değeri elde edersiniz. Böylece insanın tamamen ilahi oranlardan oluştuğunu kanıtlamak kolaydır.

Ayrıca insan vücudunda da aynı altın oranın işaretini rahatlıkla bulabilirsiniz. Burası bizim göbeğimiz. Erkeklerin vücut ölçülerinin imrenilen sayıya biraz daha yakın olması ilginçtir. Bu yaklaşık 1.625'tir. Kadınların oranları 1.6 değerine daha uygundur.

Piramitlerin sırları

Uzun yıllar boyunca insanlar Giza Piramidi'nin gizemini çözmeye çalıştılar. Ancak bu sefer piramit insanlığı bir mezar olarak değil, sayısal değerlerin benzersiz bir birleşimi olarak ilgilendiriyordu. Bu piramit inanılmaz bir ustalığa sahip bir usta tarafından dikilmiş, bu iş için hiçbir emek ve zaman ayırmamıştır. Bulunabilecek en iyi mimarlar onu yaratmak için kullanıldı. Uzun bir süre modern bilim adamları, yazı dili olmayan eski Mısırlıların bu kadar karmaşık bir geometrik-matematiksel anahtarı nasıl bulmayı başardıklarını merak ettiler. Uzun hesaplamalardan sonra bu durumda da altın oranın ve FI sayısının kaçınılmaz olduğu ortaya çıktı. Bu piramidin temeli bu prensibe dayanmaktadır. Bazı modern bilim adamları, bu çalışma aracılığıyla eski Mısırlıların çağdaşlarına doğal güzelliğin ve uyumun sırrını aktarmaya çalıştıklarına inanıyor.

Sadece Giza'da inşa edilen piramitler yok, Meksika'da bulunan piramitler de bu şekilde inşa ediliyor. Bu nedenle modern araştırmacılar, bu bölgelerdeki piramitlerin ortak kökenlere sahip insanlar tarafından inşa edildiği sonucuna varıyor.

Uzaydaki PHI numarası

18. yüzyılda Alman gökbilimci Titius, tüm güneş sisteminin gezegenleri arasındaki mesafede de bir takım Fibonacci sayısal değerlerinin mevcut olduğunu fark etti. Böyle bir model tek bir yasayla çelişmeseydi, bu şaşırtıcı olmazdı. Gerçek şu ki, gökbilimcilerin düşündüğü gibi Mars ile Jüpiter arasında hiçbir gezegen yok. Ancak bu modeli çıkardıktan sonra galaksinin bu bölgesini dikkatlice incelediler ve orada çok sayıda asteroit keşfettiler. Ne yazık ki böylesine önemli bir keşif, aynı Titius çoktan öldüğünde meydana geldi.

Artık astronomide sayısal oranların yardımıyla Fibonacci Galaksilerin yapısını temsil ediyor. Bu gerçek, bu sayısal ilişkilerin tezahür koşullarından bağımsız olduğunu, dolayısıyla evrenselliğini kanıtladığını gösterir.

Doğadan PHI sayılarına örnekler

İşte doğanın kendisinden PHI sayısının ilginç örnekleri:

• Bir arı kovanı alırsanız, içindeki erkek ve kız arıların sayısını sayın, sonra erkek arıları kızlara bölün, her seferinde 1.618 elde edersiniz.
• Ayçiçeğindeki tohumlar saat yönünün tersine spiral bir düzende düzenlenmiştir. Ayçiçeğindeki her spiralin çapı bir sonraki spirale eşittir, yine 1.618.
• Spirallerle aynı prensip salyangozun kabuğunda da çalışır.
• Her bitkinin gökyüzüne doğru nasıl uzandığını analiz ederseniz, küçük bir filizin yukarı doğru büyük bir hareket yaptığını, ardından durup ilk filizden biraz daha kısa olacak bir yaprağı serbest bıraktığını fark edeceksiniz. Daha sonra tekrar yukarıya doğru atış yapılır, ancak daha az kuvvetle. Bütün bunlar tercüme edilirse matematiksel anlam, o zaman ilk atış 100'e, ikinci atış 62'ye, üçüncü 38 birime, dördüncü atış 24'e eşit olacaktır. Bu, altın oranın aynı prensibine göre büyüme ataklarının azaldığı anlamına gelir.
• Canlı kertenkele. Kertenkele gibi muhteşem bir canlıda ilahi oranları çıplak gözle bile fark edebilirsiniz. O hayvanın kuyruk uzunluğunun oranı, o canlının geri kalan vücut uzunluğuna eşittir, yani 62'nin 38'e oranı.

Tüm bu örneklere dayanarak aslında çok daha fazlası var ve bilim adamları, bitkiler dünyasında ve hayvanlar dünyasında büyüme ve hareket açısından simetri olduğu sonucuna varıyorlar. Altın oran burada büyüme yönüne dik olarak gösterilmektedir.

Altın Oran ve Kaos Teorisi

Bazı bilim adamları dünyadaki her şeyin kaotik bir şekilde gerçekleştiğini fark ettiler. Diğerleri ise tüm dünyanın maruz kaldığı kaosta bile kişinin kendine özgü kalıpları bulabileceği sonucuna vardı. Aynı modeller şu şekilde de ifade edilir: Sayısal değerler Fibonacci. Her doğal olgunun kendi altın oranı vardır. Bu anlamda doğa kuru ve sıkıcı geometriyle rekabet edemez.

Geometri, tüm doğruluğuna ve yapıcılığına rağmen bir bulutun, ağacın veya dağın şeklini tanımlamaya muktedir değildir. Bulut küreyle, dağ koniyle, deniz kıyısı geometrik daireyle ifade edilemez. Bir ağacın kabuğu düzgün olmadığı ve şimşek asla düz bir çizgide ilerlemediği için bu bilimle ifade edilemez. Doğal olaylar sadece daha fazlası değil yüksek derece, ama kesinlikle yeni seviye zorluklar. Doğada çeşitli ölçeklerde ve farklı uzunluklarda nesneler vardır, dolayısıyla sayısız ihtiyacı karşılayabilirler. Bu ölçek ve boyut kümesine fraktal denir. Bilim adamları, doğrusal geometriye erişilemeyen nesneleri fraktalların yardımıyla tanımlamaya çalışıyorlar. Bu fraktal geometridir. Her insan aynı zamanda bir fraktaldır.

İlginç olan PI sayısının sonsuz bir yapıya sahip olmasıdır, bu da Evrende ve kendimizde sonsuz yeni keşifler yapabileceğimiz anlamına gelir.

Phi sayısı evrendeki en güzel sayı olarak kabul edilmektedir... Mistik kökenine rağmen Phi sayısı benzersiz bir rol oynadı - tüm canlıların yapısında temel bir blok rolü. Bütün bitkiler, hayvanlar ve insanlar Phi'nin 1'e oranının köküne yaklaşık olarak eşit fiziksel oranlara karşılık gelir... Phi sayısı 1.618'dir. Phi sayısı, yalnızca içindeki iki bitişik sayının toplamının bir sonraki sayıya eşit olması nedeniyle değil, aynı zamanda iki bitişik sayının bölümünün şu şekilde olması nedeniyle bilinen bir matematiksel ilerleme olan Fibonacci dizisinden türetilmiştir: benzersiz özellik- 1.618 sayısına yani Phi sayısına yakınlık! Phi'nin doğada her yerde bulunması, tüm canlı varlıkların bağlantısını gösterir. Ayçiçeği tohumları saat yönünün tersine spiraller halinde düzenlenmiştir ve her spiralin çapının bir sonrakinin çapına oranı Phi'dir. Mısır koçanının sarmal kıvrımlı yaprakları, bitki gövdelerindeki yaprakların dizilişi, böceğin vücut kısımlarının bölümlenmesi. Ve hepsi yapılarında itaatkar bir şekilde “ilahi orantı” kanununu takip ediyor. Leonardo da Vinci'nin daire içinde çıplak bir adam çizimi. İnsan bedeninin ilahi yapısını, yapısını da Vinci'den daha iyi kimse anlayamadı. İnsan vücudunun, oranları her zaman aziz sayımıza eşit olan "yapı taşlarından" oluştuğunu gösteren ilk kişi oydu. Başınızın üstünden yere kadar olan mesafeyi ölçüp boyunuza bölerseniz hangi sayıyı elde ettiğinizi görürüz. Kesinlikle Phi - 1.618. Matematikçi Fibonacci on ikinci yüzyılda (1175) yaşadı. Zamanının en ünlü bilim adamlarından biriydi. En büyük başarıları arasında tanıtım yer almaktadır. Arap rakamları Romalıların yerine. Fibonacci toplama dizisini keşfetti. Bu matematiksel dizi, 1, 1'den başlayarak önceki iki sayının eklenmesiyle bir sonraki sayının elde edilmesiyle oluşur. Bu dizi asimptotik olarak sabit bir ilişkiye eğilimlidir. Ancak bu oran irrasyoneldir, yani kesirli kısımda sonsuz, öngörülemeyen ondalık basamak dizisine sahip bir sayıdır. Bunu tam olarak ifade etmek mümkün değil. Fibonacci dizisinin herhangi bir terimi önceki terime (örneğin, 13:8) bölünürse, sonuç 1,61803398875 gibi irrasyonel bir değer etrafında dalgalanan ve bazen onu aşan, bazen de ona ulaşmayan bir değer olacaktır. Ancak bunun için Sonsuzluğu harcadıktan sonra bile oranı son ondalık basamağa kadar tam olarak bilmek imkansızdır. Fibonacci dizisinin herhangi bir üyesi diğerine bölündüğünde sonuç 1,618'in (1:1,618) tersi olur. Ancak bu aynı zamanda çok sıra dışı, hatta dikkat çekici bir olgudur. Orijinal oran sonsuz bir kesir olduğundan bu oranın da sonu olmaması gerekir. Birçoğu Giza'daki piramidin sırlarını çözmeye çalıştı. Diğer Mısır piramitlerinden farklı olarak bu bir mezar değil, çözülemeyen sayı kombinasyonlarından oluşan bir bulmacadır. Piramidin mimarlarının ebedi sembolü inşa ederken kullandıkları dikkate değer yaratıcılık, beceri, zaman ve emek, gelecek nesillere iletmek istedikleri mesajın son derece önemli olduğunu göstermektedir. Onların dönemi okuryazarlık öncesi, hiyeroglif öncesiydi ve keşifleri kaydetmenin tek yolu sembollerdi. İnsanoğlu için uzun süre gizemini koruyan Gize piramidinin geometrik-matematiksel sırrının anahtarı, aslında tapınak rahipleri tarafından Herodot'a verilmiş ve ona piramidin alanı 100 m2 olacak şekilde inşa edildiği bilgisi verilmiştir. yüzlerinin her biri yüksekliğinin karesine eşitti. Üçgenin alanı 356 * 440 / 2 = 78320'dir. Karenin alanı 280 * 280 = 78400'dür. Giza'daki piramidin kenar uzunluğu 783,3 fit (238,7 m), yükseklik Piramidin uzunluğu 484,4 fittir (147,6 m). Yüzün uzunluğunun yüksekliğe bölümü Ф = 1,618 oranına yol açar. 484,4 fitin yüksekliği 5813 inç'e (5-8-13) karşılık gelir - bunlar Fibonacci dizisindeki sayılardır. Bu ilginç gözlemler piramidin tasarımının F = 1,618 oranına dayandığını göstermektedir. Modern bilim adamları, eski Mısırlıların burayı yalnızca gelecek nesillere korumak istedikleri bilgiyi aktarma amacıyla inşa ettikleri şeklinde yorumluyorlar. Giza'daki piramit üzerine yapılan yoğun araştırmalar, o dönemde matematik ve astroloji bilgisinin ne kadar kapsamlı olduğunu gösterdi. Piramidin tüm iç ve dış oranlarında 1.618 sayısı merkezi bir rol oynuyor. Mısır piramitleri sadece altın oranın mükemmel oranlarına göre inşa edilmedi, aynı olay Meksika piramitlerinde de görüldü. Hem Mısır hem de Meksika piramitlerinin yaklaşık olarak aynı zamanda ortak kökenli insanlar tarafından inşa edildiği fikri ortaya çıkıyor.

Gerçek görüşlerin bile pek değeri yoktur
ta ki birisi onları nedensel akıl yürütme bağlantısıyla birbirine bağlayana kadar.

D. Brown'ın "Da Vinci Şifresi" kitabı bu materyali geliştirmeye başlamamda bana yardımcı oldu. Kitabın kahramanı kod olarak Fibonacci serisinden birkaç sayı kullanıyor: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Bu konuyla ilgili ek materyal buldum ve. Sonuç olarak, ders geliştirmelerimin çoğu genişletildi.

Örneğin, beşinci sınıfın "Doğal sayıların gösterimi" konulu ilk matematik dersi. Doğal sayıların sonsuz dizisinden bahsederken, diğer serilerin, örneğin Fibonacci serisi ve "üçgen sayılar" serisinin varlığına dikkat çektim: 1, 3, 6, 10, ...

Sekizinci sınıfta irrasyonel sayılar çalışırken “pi” sayısının yanı sıra “phi” (Ф=1.618...) sayısını da veriyorum. (D. Brown bu sayıya "pfi" diyor ve yazar bunun "pi"den bile daha havalı olduğuna inanıyor). Öğrencilerden iki sayı düşünmelerini ve ardından Fibonacci serisinin “ilkesini” kullanarak bir seri oluşturmalarını isterim. Herkes onuncu terime kadar sırasını hesaplıyor. Örneğin 7 ve 13. Diziyi oluşturalım: 7, 13, 20, 33, 53, 86, 139, 225, 364, 589, ... Zaten dokuzuncu terimi sekizinciye böldüğümüzde Fibonacci sayısı ortaya çıkıyor.

Hayat hikayesi.

Daha çok Fibonacci takma adıyla tanınan İtalyan tüccar Pisalı Leonardo (1180-1240), Orta Çağ'ın önemli bir matematikçisiydi. Kitaplarının matematiğin gelişmesinde ve Avrupa'da matematiksel bilginin yayılmasındaki rolü küçümsenemez.

Leonardo'nun hayatı ve bilimsel kariyeri, Avrupa kültürünün ve biliminin gelişimiyle yakından bağlantılıdır.

Rönesans hala çok uzaktaydı, ancak tarih İtalya'ya kısa bir süre verdi ve bu, yaklaşan Rönesans'ın provası olarak adlandırılabilir. Bu prova Kutsal Roma İmparatoru II. Frederick tarafından yönetildi. Güney İtalya'nın gelenekleriyle yetişen II. Frederick, Avrupa Hıristiyan şövalyeliğinden içsel olarak çok uzaktı. Frederick II şövalye turnuvalarını hiç tanımıyordu. Bunun yerine, rakiplerin darbeler yerine problem alışverişinde bulunduğu matematiksel yarışmalar geliştirdi.

Leonardo Fibonacci'nin yeteneği böyle turnuvalarda parladı. Bu, oğluna kendisini Doğu'ya götüren ve ona Arap öğretmenler atayan tüccar Bonacci'nin verdiği iyi eğitimle kolaylaştırıldı. Fibonacci ile II. Frederick'in 1225 yılındaki buluşması Pisa şehri için büyük önem taşıyan bir olaydı. İmparator, trompetçiler, saray mensupları, şövalyeler, memurlar ve gezici hayvanlardan oluşan uzun bir kafilenin başında at sırtında ilerliyordu. İmparatorun ünlü matematikçiye sorduğu problemlerden bazıları Abaküs Kitabı'nda ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Görünüşe göre Fibonacci, İmparator'un ortaya çıkardığı sorunları çözmüş ve sonsuza kadar Kraliyet Sarayı'nın hoş karşılanan konuğu haline gelmişti. Fibonacci, 1228'de Abaküs Kitabı'nı revize ettiğinde, revize edilmiş baskıyı II. Frederick'e adadı. Toplamda üç önemli matematik eseri yazdı: 1202'de basılan ve 1228'de yeniden basılan Abaküs Kitabı, 1220'de basılan Pratik Geometri ve Kareler Kitabı. Seviye olarak Arapça ve Orta Çağ Avrupa eserlerinden üstün olan bu kitaplar, neredeyse Descartes zamanına kadar matematik öğretiminde kullanıldı. 1240 tarihli belgelerde belirtildiği gibi, Pisa'nın hayran vatandaşları onun "mantıklı ve bilgili bir adam" olduğunu söylediler ve çok geçmeden Joseph Guise, Şef editör Encyclopædia Britannica, geleceğin bilim adamlarının her zaman "dünyanın en büyük entelektüel öncülerinden biri olarak Pisa'lı Leonardo'ya borçlarını ödeyeceklerini" belirtti.

Tavşan sorunu.

“Abaküs Kitabı” çalışması bizim için en büyük ilgiyi çekiyor. Bu kitap o dönemin aritmetik ve cebirsel bilgilerinin hemen hemen hepsini içeren ciltler dolusu bir eser olup, matematiğin gelişiminde önemli rol oynamıştır. Batı Avrupaönümüzdeki birkaç yüzyıl boyunca. Özellikle Avrupalıların Hindu (Arap) rakamlarıyla tanışması bu kitaptan oldu.

Materyal, bu broşürün önemli bir bölümünü oluşturan sorun örnekleri kullanılarak açıklanmaktadır.

Bu yazıda Fibonacci aşağıdaki problemi ortaya koydu:

“Birisi, eğer tavşanların doğası gereği bir ay sonra bir çift tavşan doğacaksa, yıl içinde kaç çift tavşan doğacağını bulmak için her tarafı duvarlarla çevrili belirli bir yere bir çift tavşan yerleştirdi. Tavşanlar bir çift daha doğurur, tavşanlar da doğumdan sonraki ikinci aydan itibaren doğururlar."

İlk tavşan çiftini yeni doğmuş olarak kabul edersek, ikinci ayda hala bir çifte sahip olacağımız açıktır; 3. ay için - 1+1=2; 4'üncüde - 2 + 1 = 3 çift (mevcut iki çift nedeniyle yalnızca bir çift yavru üretir); 5. ayda - 3+2=5 çift (3. ayda doğan sadece 2 çift 5. ayda yavru doğurur); 6. ayda - 5 + 3 = 8 çift (çünkü yalnızca 4. ayda doğan çiftler çocuk doğurur), vb.

Böylece, eğer mevcut tavşan çiftlerinin sayısını belirlersek n'inci ay Fk aracılığıyla F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 vb. olup bu sayıların oluşumu genel kurallarla düzenlenir. yasa: Tüm n>2 için Fn =Fn-1+Fn-2, çünkü n'inci aydaki tavşan çiftlerinin sayısı, önceki aydaki Fn-1 tavşan çiftlerinin sayısı artı yeni doğanların sayısına eşittir. Bu, (n-2). ayda doğan Fn-2 çift tavşanların sayısına denk gelir (çünkü yalnızca bu çift tavşanlar doğum yapar).

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... dizisini oluşturan Fn sayılarına "Fibonacci sayıları", dizinin kendisine ise "Fibonacci sayıları" adı verilir. Fibonacci Dizisi.

Luca Pacioli (bir ortaçağ matematikçisi) buna İlahi Oran adını vermeden önce bile bu orana özel isimler verilmeye başlandı. Kepler bu ilişkiyi geometrinin hazinelerinden biri olarak adlandırdı. Cebirde genel olarak Yunanca “phi” harfiyle (Ф=1.618033989…) belirtilmesi kabul edilir.

Aşağıda ikinci terimin birinciyle, üçüncünün ikinciyle, dördüncünün üçüncüyle vb. ilişkileri verilmiştir:

1:1 = 1,0000, phi'den 0,6180 küçüktür

2:1 = 2,0000, bu da phi'den 0,3820 fazladır

3:2 = 1,5000, phi'den 0,1180 küçüktür

5:3 = 1,6667, bu da phi'den 0,0486 fazladır

8:5 = 1,6000, phi'den 0,0180 küçüktür

Fibonacci toplama dizisinde ilerledikçe her biri yeni Üye bir sonrakini, ulaşılamaz "phi"ye giderek daha büyük bir yaklaşımla bölecektir. Dönüşüm Kuralı ile tanımlandığı Elliott Dalga Teorisinde 1,618 değeri civarındaki oranlarda daha büyük veya daha küçük bir değere göre dalgalanmalar bulacağız. Doğada tam olarak "phi" sayısına yapılan bir yaklaşım bulunurken, matematik "saf" bir değerle çalışır. Leonardo da Vinci tarafından ortaya atılmış ve “altın oran” (altın oran) olarak adlandırılmıştır. Modern isimleri arasında “altın ortalama” ve “döner kare oranı” gibi isimler bulunmaktadır. Altın oran, AC parçasının, tüm AC parçasının AB ile ilişkisi olduğu gibi, daha büyük olan AB kısmı daha küçük olan BC kısmı ile ilişkili olacak şekilde iki parçaya bölünmesidir, yani: AB: BC = AC: AB = F (tam irrasyonel sayı"fi").

Fibonacci dizisinin herhangi bir üyesi diğerine bölündüğünde 1,618'in tersi elde edilir (1: 1,618 = 0,618). Bu aynı zamanda çok sıra dışı, hatta dikkat çekici bir olgudur. Orijinal oran sonsuz bir kesir olduğundan bu oranın da sonu olmaması gerekir.

Her sayıyı kendisinden sonraki sayıya böldüğümüzde 0,382 sayısını elde ederiz.

Oranları bu şekilde seçerek ana Fibonacci oranları kümesini elde ederiz: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236. Hepsi doğada ve özellikle teknik analizde özel bir rol oynamaktadır.

Fibonacci dizisi kullanılarak kaç tane sabitin hesaplanabildiği ve terimlerinin çok sayıda kombinasyonda nasıl göründüğü şaşırtıcıdır. Ancak bunun sadece sayılarla oynanan bir oyun olmadığını, doğa olaylarının şimdiye kadar keşfedilen en önemli matematiksel ifadesi olduğunu söylemek abartı olmaz.

Bu sayılar şüphesiz, dokunulduğunda hoş gelen, hoş görünen ve hatta kulağa hoş gelen mistik bir doğal uyumun parçasıdır. Örneğin müzik 8 notalı bir oktavı temel alır. Bir piyanoda bu, 8 beyaz tuş ve 5 siyah tuşla (toplamda 13) temsil edilir.

Doğadaki spiraller ve sanat eserleri incelenerek daha görsel bir anlatım elde edilebilir. Kutsal geometri iki tür spirali araştırır: altın oran spirali ve Fibonacci spirali. Bu spirallerin karşılaştırılması aşağıdaki sonuca varmamızı sağlar. Altın oran spirali idealdir: Başı ve sonu yoktur, sonsuza kadar devam eder. Buna karşılık Fibonacci spiralinin bir başlangıcı vardır. Tüm doğal spiraller Fibonacci spiralleridir ve sanat eserleri her iki spirali bazen aynı anda kullanır.

Matematik.

Pentagram (beş köşeli yıldız, beş köşeli yıldız) sık kullanılan sembollerden biridir. Pentagram, kolları iki yana açılmış halde iki ayak üzerinde duran mükemmel bir adamın sembolüdür. İnsanın yaşayan bir pentagram olduğunu söyleyebiliriz. Bu hem fiziksel olarak hem de ruhsal olarak– Bir kişi beş erdeme sahiptir ve bunu gösterir: sevgi, bilgelik, doğruluk, adalet ve nezaket. Bunlar bir pentagramla temsil edilebilecek Mesih'in erdemleridir. İnsanın gelişimi için gerekli olan bu beş erdem doğrudan insan vücuduyla ilgilidir: İyilik bacaklarla, adalet ellerle, sevgi ağızla, bilgelik kulaklarla, gözler hakikatle ilişkilidir.

Hak ruha, sevgi ruha, bilgelik akla, nezaket kalbe, adalet suya aittir. arasında da bir yazışma vardır. insan vücudu ve beş element (toprak, su, hava, ateş ve eter): irade toprağa, kalp suya, akıl havaya, ruh ateşe, ruh etere karşılık gelir. Böylece insan, iradesiyle, aklıyla, kalbiyle, ruhuyla, ruhuyla evrende çalışan beş unsura bağlanır ve şuurlu olarak onunla uyum içinde çalışabilir. Bu tam olarak başka bir sembolün anlamıdır - çift pentagram, insan (mikrokozmos) evrende (mikrokozmos) yaşar ve hareket eder.

Ters çevrilmiş bir pentagram, enerjiyi Dünya'ya akıtır ve bu nedenle materyalist eğilimlerin sembolüdür; normal bir pentagram ise enerjiyi yukarı doğru yönlendirir ve dolayısıyla manevidir. Herkesin hemfikir olduğu şey, pentagramın kesinlikle insan figürünün “ruhsal formunu” temsil ettiğidir.

Lütfen CF:FH=CH:CF=AC:CH=1.618'e dikkat edin. Bu sembolün gerçek oranları, altın bölüm adı verilen kutsal orana dayanmaktadır: çizilen herhangi bir çizgi üzerindeki bir noktanın, çizgiyi böldüğünde, küçük kısmın büyük kısmı ile aynı oranda olması ve büyük kısmın eşit olması durumu. tamamına. Ayrıca merkezdeki düzgün beşgen, sonsuz küçük beşgenler için oranların korunduğunu akla getiriyor. Bu "ilahi oran", pentagramın her bir ışınında kendini gösterir ve matematikçilerin her zaman bu sembole ne kadar hayranlıkla baktıklarını açıklamaya yardımcı olur. Ayrıca beşgenin bir kenarı bire eşitse köşegeni 1,618'e eşit olur.

Birçoğu Giza'daki piramidin sırlarını çözmeye çalıştı. Diğer Mısır piramitlerinden farklı olarak bu bir mezar değil, çözülemeyen bir sayı kombinasyonları bulmacasıdır. Piramidin mimarlarının ebedi sembolü inşa ederken kullandıkları dikkate değer yaratıcılık, beceri, zaman ve emek, gelecek nesillere iletmek istedikleri mesajın son derece önemli olduğunu göstermektedir. Onların dönemi yazı öncesi, hiyeroglif öncesiydi ve keşifleri kaydetmenin tek yolu sembollerdi.

Bilim adamları Giza'daki üç piramidin spiral şeklinde düzenlendiğini keşfettiler. 1980'li yıllarda hem Altın Oran hem de Fibonacci spirallerinin mevcut olduğu keşfedildi.

Uzun zamandır insanoğlu için bir sır olarak kalan Gize Piramidi'nin geometrik-matematiksel sırrının anahtarı, aslında tapınak rahipleri tarafından Herodot'a verilmiş ve ona piramidin alanı 1000 m2 olacak şekilde inşa edildiği bilgisi verilmiştir. yüzlerinin her biri yüksekliğinin karesine eşitti.

Bir üçgenin alanı
356x440 / 2 = 78320
Kare alan
280x280 = 78400

Giza'daki piramidin yüzünün uzunluğu 783,3 fit (238,7 m), piramidin yüksekliği 484,4 fittir (147,6 m). Kenar uzunluğunun yüksekliğe bölümü Ф=1,618 oranına yol açar. 484,4 fitin yüksekliği 5813 inç'e (5-8-13) karşılık gelir - bunlar Fibonacci dizisindeki sayılardır.

Bu ilginç gözlemler piramidin tasarımının Ф=1.618 oranına dayandığını göstermektedir. Modern bilim adamları, eski Mısırlıların burayı yalnızca gelecek nesillere korumak istedikleri bilgiyi aktarma amacıyla inşa ettikleri şeklinde yorumluyorlar. Giza'daki piramit üzerine yapılan yoğun araştırmalar, o dönemde matematik ve astroloji bilgisinin ne kadar kapsamlı olduğunu gösterdi. Piramidin tüm iç ve dış oranlarında 1.618 sayısı merkezi bir rol oynuyor.

Sadece Mısır piramitleri altın oranın mükemmel oranlarına göre inşa edilmedi, aynı olay Meksika piramitlerinde de görüldü. Hem Mısır hem de Meksika piramitlerinin yaklaşık olarak aynı anda, ortak kökenli insanlar tarafından inşa edildiği fikri ortaya çıkıyor.

Biyoloji.

19. yüzyılda bilim adamları, ayçiçeği, papatya, ananas meyvelerindeki pullar, kozalaklı kozalaklar vb. çiçek ve tohumlarının birbirine doğru kıvrılarak çift spiral şeklinde "paketlendiğini" fark ettiler. Bu durumda “sağ” ve “sol” spirallerin sayıları, komşu Fibonacci sayıları gibi (13:8, 21:13, 34:21, 55:34) her zaman birbiriyle ilişkilidir. Doğada bulunan çok sayıda çift sarmal örneği her zaman bu kurala uymaktadır.

Goethe ayrıca doğanın sarmallığa olan eğilimini de vurguladı. Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve spiral dizilişi uzun zaman önce fark edilmişti. Ayçiçeği tohumları, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb.'nin dizilişinde spiral görüldü. Botanikçilerin ve matematikçilerin çalışmaları bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu. Ayçiçeği çekirdeği ve çam kozalaklarından oluşan bir dal üzerindeki yaprakların dizilişinde Fibonacci serisinin ortaya çıktığı ve dolayısıyla altın oran yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek ağını spiral şeklinde örer. Kasırga spiral gibi dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü sarmal şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülmüştür. Goethe spirale "yaşam eğrisi" adını verdi.

Herhangi bir iyi kitap, örnek olarak nautilus kabuğunu gösterir. Üstelik birçok yayın bunun bir altın oran sarmalı olduğunu söylüyor ancak bu yanlış - bu bir Fibonacci sarmalı. Spiral kolların mükemmelliğini görüyorsunuz ama başlangıca baktığınızda o kadar da mükemmel görünmüyor. En içteki iki kıvrımı aslında eşittir. İkinci ve üçüncü virajlar phi'ye biraz daha yaklaşır. Sonunda bu zarif, pürüzsüz spirali elde edersiniz. İkinci terimin birinciyle, üçüncünün ikinciyle, dördüncünün üçüncüyle vb. ilişkisini hatırlayın. İstiridyenin Fibonacci serisinin matematiğini tam olarak takip ettiği açıktır.

Fibonacci sayıları çeşitli organizmaların morfolojisinde görülür. Örneğin deniz yıldızı. Işınlarının sayısı Fibonacci sayıları dizisine karşılık gelir ve 5, 8, 13, 21, 34, 55'e eşittir. Tanınmış sivrisineğin üç çift bacağı vardır, karnı sekiz parçaya bölünmüştür ve Kafasında beş anten var. Sivrisinek larvası 12 bölüme ayrılmıştır. Pek çok evcil hayvanda omur sayısı 55'tir. “phi” oranı da kendini göstermektedir. insan vücudu.

Drunvalo Melçizedek "kitapta" Antik Gizem Yaşam Çiçeği" şöyle yazıyor: "Da Vinci, vücudun etrafına bir kare çizerseniz, ardından ayaklardan uzatılmış parmakların uçlarına kadar bir köşegen çizerseniz ve ardından paralel bir yatay çizgi (bu paralel çizgilerden ikincisi) çizerseniz hesapladı. göbek deliğinden karenin kenarına kadar, o zaman bu yatay çizgi çaprazla tam olarak pi oranında kesişecek ve ayrıca baştan ayağa kadar olan dikey çizgiyle de kesişecektir. Göbek deliğinin tam da bu mükemmel noktada olduğunu, kadınlarda biraz yukarıda, erkeklerde biraz aşağıda olmadığını düşünürsek bu, insan vücudunun başın üstünden ayaklara kadar pi oranında bölünmüş olduğu anlamına gelir... Eğer bu çizgiler insan vücudunda pi oranının olduğu tek çizgilerdi, muhtemelen sadece ilginç gerçek. Aslında phi oranı vücudun binlerce yerinde bulunur ve bu sadece bir tesadüf değildir. İşte insan vücudunda phi oranının bulunduğu bazı bariz yerler. Bir parmağın her falanksının uzunluğu, bir sonraki falanksla phi oranındadır... Tüm el ve ayak parmakları için aynı oran not edilir. Ön kolun uzunluğunu avuç içi uzunluğuyla ilişkilendirirseniz, pi oranını elde edersiniz ve omuz uzunluğu da ön kolun uzunluğuyla ilişkilidir. Veya alt bacağın uzunluğunu ayağın uzunluğuyla ve uyluğun uzunluğunu alt bacağın uzunluğuyla ilişkilendirin. Pi oranı iskelet sisteminin her yerinde bulunur. Genellikle bir şeyin büküldüğü veya yön değiştirdiği yerlerde görülür. Ayrıca vücudun bazı bölümlerinin boyutlarının diğerlerine oranında da bulunur. Bunu incelediğinizde her zaman şaşırırsınız."

Çözüm.

Orta Çağ'ın en büyük matematikçisi olmasına rağmen, Fibonacci'nin yegâne anıtları Arno Nehri üzerindeki Pisa Kulesi'nin karşısındaki bir heykel ve biri Pisa'da, diğeri Floransa'da olmak üzere onun adını taşıyan iki caddedir.

Açık avucunuzu dikey olarak önünüze koyarsanız, baş parmak yüzünüze doğrultun ve küçük parmağınızdan başlayarak parmaklarınızı sırayla yumruk haline getirin, Fibonacci spirali olan bir hareket elde edeceksiniz.

Edebiyat

1. Ensenzberger Hans Magnus Sayıların Ruhu. Matematiksel maceralar. – Başına. İngilizceden – Kharkov: Kitap Kulübü “Aile Eğlence Kulübü”, 2004. – 272 s.

2. Semboller ansiklopedisi / comp. V.M. Roshal. – Moskova: AST; St.Petersburg; Baykuş, 2006. – 1007 s.

Camposanto anıtsal. Piza

Bugün size bundan bahsetmiştim ama artık bu konuya bu şekilde devam etmek istedim...

Daha çok Fibonacci takma adıyla tanınan İtalyan tüccar Pisalı Leonardo (1180-1240), Orta Çağ'ın önemli bir matematikçisiydi. Kitaplarının matematiğin gelişmesinde ve Avrupa'da matematiksel bilginin yayılmasındaki rolü küçümsenemez.

Leonardo'nun hayatı ve bilimsel kariyeri, Avrupa kültürünün ve biliminin gelişimiyle yakından bağlantılıdır.

Rönesans hala çok uzaktaydı, ancak tarih İtalya'ya kısa bir süre verdi ve bu, yaklaşan Rönesans'ın provası olarak adlandırılabilir. Bu prova Kutsal Roma İmparatoru II. Frederick tarafından yönetildi. Güney İtalya'nın gelenekleriyle yetişen II. Frederick, Avrupa Hıristiyan şövalyeliğinden içsel olarak çok uzaktı. Frederick II şövalye turnuvalarını hiç tanımıyordu. Bunun yerine, rakiplerin darbeler yerine problem alışverişinde bulunduğu matematiksel yarışmalar geliştirdi.

Leonardo Fibonacci'nin yeteneği böyle turnuvalarda parladı. Bu, oğluna kendisini Doğu'ya götüren ve ona Arap öğretmenler atayan tüccar Bonacci'nin verdiği iyi eğitimle kolaylaştırıldı. Fibonacci ile II. Frederick'in 1225 yılındaki buluşması Pisa şehri için büyük önem taşıyan bir olaydı. İmparator, trompetçiler, saray mensupları, şövalyeler, memurlar ve gezici hayvanlardan oluşan uzun bir kafilenin başında at sırtında ilerliyordu. İmparatorun ünlü matematikçiye sorduğu problemlerden bazıları Abaküs Kitabı'nda ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Görünüşe göre Fibonacci, İmparator'un ortaya çıkardığı sorunları çözmüş ve sonsuza kadar Kraliyet Sarayı'nın hoş karşılanan konuğu haline gelmişti.

Fibonacci, 1228'de Abaküs Kitabı'nı revize ettiğinde, revize edilmiş baskıyı II. Frederick'e adadı. Toplamda üç önemli matematik eseri yazdı: 1202'de basılan ve 1228'de yeniden basılan Abaküs Kitabı, 1220'de basılan Pratik Geometri ve Kareler Kitabı. Seviye olarak Arapça ve Orta Çağ Avrupa eserlerinden üstün olan bu kitaplar, neredeyse Descartes zamanına kadar matematik öğretiminde kullanıldı. 1240 tarihli belgelerde kaydedildiği üzere, Pisa'nın hayran vatandaşları onun "akıllı ve bilgili bir adam" olduğunu söylüyordu ve daha yakın zamanda Encyclopædia Britannica'nın baş editörü Joseph Guise, geleceğin bilim adamlarının her zaman "bilgili ve akıllı bir adam" olduğunu ilan etti. Dünyanın en büyük entelektüel öncülerinden biri olan Pisa'lı Leonardo'ya borçlarını ödeyin."

Tavşan sorunu.

“Abaküs Kitabı” çalışması bizim için en büyük ilgiyi çekiyor. Bu kitap, o zamanın hemen hemen tüm aritmetik ve cebir bilgilerini içeren hacimli bir eserdir ve sonraki birkaç yüzyıl boyunca Batı Avrupa'da matematiğin gelişmesinde önemli bir rol oynamıştır. Özellikle Avrupalıların Hindu (Arap) rakamlarıyla tanışması bu kitaptan oldu.

Materyal, bu broşürün önemli bir bölümünü oluşturan sorun örnekleri kullanılarak açıklanmaktadır.

Bu yazıda Fibonacci aşağıdaki problemi ortaya koydu:

“Birisi, eğer tavşanların doğası gereği bir ay sonra bir çift tavşan doğacaksa, yıl içinde kaç çift tavşan doğacağını bulmak için her tarafı duvarlarla çevrili belirli bir yere bir çift tavşan yerleştirdi. Tavşanlar bir çift daha doğurur, tavşanlar da doğumdan sonraki ikinci aydan itibaren doğururlar."

İlk tavşan çiftini yeni doğmuş olarak kabul edersek, ikinci ayda hala bir çifte sahip olacağımız açıktır; 3. ayda - 1+1=2; 4'üncüde - 2 + 1 = 3 çift (mevcut iki çift nedeniyle yalnızca bir çift yavru üretir); 5. ayda - 3+2=5 çift (3. ayda doğan sadece 2 çift 5. ayda yavru doğurur); 6. ayda - 5 + 3 = 8 çift (çünkü yalnızca 4. ayda doğan çiftler çocuk doğurur), vb.

Dolayısıyla n'inci ayda mevcut olan tavşan çifti sayısını Fk ile gösterirsek, F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8= 21 vb. ve bu sayıların oluşumu genel yasa ile düzenlenir: tüm n>2 için Fn=Fn-1+Fn-2, çünkü n'inci aydaki tavşan çiftlerinin sayısı Fn sayısına eşittir. Önceki aydaki -1 çift tavşan artı yeni doğan çiftlerin sayısı, bu da (n-2). ayda doğan Fn-2 çift tavşanların sayısına denk gelir (çünkü sadece bu tavşan çiftleri yavru verir).

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... dizisini oluşturan Fn sayılarına "Fibonacci sayıları", dizinin kendisine ise "Fibonacci sayıları" adı verilir. Fibonacci Dizisi.

Luca Pacioli (bir ortaçağ matematikçisi) buna İlahi Oran adını vermeden önce bile bu orana özel isimler verilmeye başlandı. Kepler bu ilişkiyi geometrinin hazinelerinden biri olarak adlandırdı. Cebirde genel olarak Yunanca “phi” harfiyle (Ф=1.618033989…) belirtilmesi kabul edilir.

Aşağıda ikinci terimin birinciyle, üçüncünün ikinciyle, dördüncünün üçüncüyle vb. ilişkileri verilmiştir:

1:1 = 1,0000, phi'den 0,6180 küçüktür

2:1 = 2,0000, bu da phi'den 0,3820 fazladır

3:2 = 1,5000, phi'den 0,1180 küçüktür

5:3 = 1,6667, bu da phi'den 0,0486 fazladır

8:5 = 1,6000, phi'den 0,0180 küçüktür

Fibonacci toplama dizisinde ilerledikçe, her yeni terim bir sonrakini bölecek ve ulaşılamaz "phi"ye giderek daha da yaklaşacaktır. Dönüşüm Kuralı ile tanımlandığı Elliott Dalga Teorisinde 1,618 değeri civarındaki oranlarda daha büyük veya daha küçük bir değere göre dalgalanmalar bulacağız. Doğada tam olarak "phi" sayısına yapılan bir yaklaşım bulunurken, matematik "saf" bir değerle çalışır. Leonardo da Vinci tarafından ortaya atılmış ve “altın oran” (altın oran) olarak adlandırılmıştır. Modern isimleri arasında “altın ortalama” ve “döner kare oranı” gibi isimler bulunmaktadır. Altın oran, AC parçasının, tüm AC parçasının AB ile ilişkisi olduğu gibi, büyük kısmı AB daha küçük parçası BC ile aynı şekilde ilişkili olacak şekilde iki parçaya bölünmesidir, yani: AB:BC=AC: AB=F (tam irrasyonel sayı " fi").

Fibonacci dizisinin herhangi bir üyesi diğerine bölündüğünde 1,618'in tersi elde edilir (1: 1,618 = 0,618). Bu aynı zamanda çok sıra dışı, hatta dikkat çekici bir olgudur. Orijinal oran sonsuz bir kesir olduğundan bu oranın da sonu olmaması gerekir.

Her sayıyı kendisinden sonraki sayıya böldüğümüzde 0,382 sayısını elde ederiz.

Oranları bu şekilde seçerek ana Fibonacci oranları kümesini elde ederiz: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236. Hepsi doğada ve özellikle teknik analizde özel bir rol oynamaktadır.

Fibonacci dizisi kullanılarak kaç tane sabitin hesaplanabildiği ve terimlerinin çok sayıda kombinasyonda nasıl göründüğü şaşırtıcıdır. Ancak bunun sadece sayılarla oynanan bir oyun olmadığını, doğa olaylarının şimdiye kadar keşfedilen en önemli matematiksel ifadesi olduğunu söylemek abartı olmaz.

Bu sayılar şüphesiz, dokunulduğunda hoş gelen, hoş görünen ve hatta kulağa hoş gelen mistik bir doğal uyumun parçasıdır. Örneğin müzik 8 notalı bir oktavı temel alır. Piyanoda bu, 8 beyaz tuş ve 5 siyah tuşla (toplamda 13) temsil edilir.

Doğadaki spiraller ve sanat eserleri incelenerek daha görsel bir anlatım elde edilebilir. Kutsal geometri iki tür spirali araştırır: altın oran spirali ve Fibonacci spirali. Bu spirallerin karşılaştırılması aşağıdaki sonuca varmamızı sağlar. Altın oran sarmalı idealdir: Başı ve sonu yoktur, sonsuza kadar devam eder. Buna karşılık Fibonacci spiralinin bir başlangıcı vardır. Tüm doğal spiraller Fibonacci spiralleridir ve sanat eserleri her iki spirali bazen aynı anda kullanır.

Matematik.

Pentagram (beş köşeli yıldız, beş köşeli yıldız) sık kullanılan sembollerden biridir. Pentagram, kolları iki yana açılmış halde iki ayak üzerinde duran mükemmel bir adamın sembolüdür. İnsanın yaşayan bir pentagram olduğunu söyleyebiliriz. Bu hem fiziksel hem de ruhsal olarak doğrudur; insan beş erdeme sahiptir ve bunları sergiler: sevgi, bilgelik, doğruluk, adalet ve nezaket. Bunlar bir pentagramla temsil edilebilecek Mesih'in erdemleridir. İnsanın gelişimi için gerekli olan bu beş erdem doğrudan insan vücuduyla ilgilidir: İyilik bacaklarla, adalet ellerle, sevgi ağızla, bilgelik kulaklarla, gözler ise hakikatle ilişkilendirilir.

Hakikat ruha, sevgi ruha, bilgelik akla, nezaket kalbe, adalet suya aittir. İnsan vücudu ile beş element (toprak, su, hava, ateş ve eter) arasında da bir benzerlik vardır: irade toprağa, kalp suya, akıl havaya, ruh ateşe ve ruh da suya karşılık gelir. eter. Böylece insan, iradesiyle, aklıyla, kalbiyle, ruhuyla, ruhuyla evrende çalışan beş unsura bağlanır ve şuurlu olarak onunla uyum içinde çalışabilir. Bu tam olarak başka bir sembolün anlamıdır - çift pentagram, insan (mikrokozmos) evrende (mikrokozmos) yaşar ve hareket eder.

Ters çevrilmiş bir pentagram Dünya'ya enerji akıtır ve bu nedenle materyalist eğilimlerin sembolüdür, normal bir pentagram ise enerjiyi yukarı doğru yönlendirir ve dolayısıyla manevidir. Herkesin hemfikir olduğu şey pentagramın kesinlikle insan figürünün “ruhsal formunu” temsil ettiğidir.

Lütfen CF:FH=CH:CF=AC:CH=1.618'e dikkat edin. Bu sembolün gerçek oranları, altın bölüm adı verilen kutsal orana dayanmaktadır: çizilen herhangi bir çizgi üzerindeki bir noktanın, çizgiyi böldüğünde, küçük kısmın büyük kısmı ile aynı oranda olması ve büyük kısmın aynı oranda olması durumudur. tamamına. Ayrıca merkezdeki düzgün beşgen, sonsuz küçük beşgenler için oranların korunduğunu akla getiriyor. Bu "ilahi oran", pentagramın her bir ışınında kendini gösterir ve matematikçilerin her zaman bu sembole ne kadar hayranlıkla baktıklarını açıklamaya yardımcı olur. Ayrıca beşgenin bir kenarı bire eşitse köşegeni 1,618'e eşit olur.

Birçoğu Giza'daki piramidin sırlarını çözmeye çalıştı. Diğer Mısır piramitlerinden farklı olarak bu bir mezar değil, çözülemeyen sayı kombinasyonlarından oluşan bir bulmacadır. Piramidin mimarlarının ebedi sembolü inşa ederken kullandıkları dikkate değer yaratıcılık, beceri, zaman ve emek, gelecek nesillere iletmek istedikleri mesajın son derece önemli olduğunu göstermektedir. Onların dönemi yazı öncesi, hiyeroglif öncesiydi ve keşifleri kaydetmenin tek yolu sembollerdi.

Bilim adamları Giza'daki üç piramidin spiral şeklinde düzenlendiğini keşfettiler. 1980'li yıllarda hem Altın Oran hem de Fibonacci spirallerinin mevcut olduğu keşfedildi.

Uzun zamandır insanoğlu için bir sır olarak kalan Gize Piramidi'nin geometrik-matematiksel sırrının anahtarı, aslında tapınak rahipleri tarafından Herodot'a verilmiş ve ona piramidin alanı 1000 m2 olacak şekilde inşa edildiği bilgisi verilmiştir. yüzlerinin her biri yüksekliğinin karesine eşitti.

Bir üçgenin alanı
356x440 / 2 = 78320
Kare alan
280x280 = 78400

Giza'daki piramidin yüzünün uzunluğu 783,3 fit (238,7 m), piramidin yüksekliği 484,4 fittir (147,6 m). Kenar uzunluğunun yüksekliğe bölümü Ф=1,618 oranına yol açar. 484,4 fitin yüksekliği 5813 inç'e (5-8-13) karşılık gelir - bunlar Fibonacci dizisindeki sayılardır.

Bu ilginç gözlemler piramidin tasarımının Ф=1.618 oranına dayandığını göstermektedir. Modern bilim adamları, eski Mısırlıların onu yalnızca gelecek nesillere korumak istedikleri bilgiyi aktarma amacıyla inşa ettikleri şeklinde yorumlama eğilimindedirler. Giza'daki piramit üzerine yapılan yoğun araştırmalar, o dönemde matematik ve astroloji bilgisinin ne kadar kapsamlı olduğunu gösterdi. Piramidin tüm iç ve dış oranlarında 1.618 sayısı merkezi bir rol oynuyor.

Sadece Mısır piramitleri altın oranın mükemmel oranlarına göre inşa edilmedi, aynı olay Meksika piramitlerinde de görüldü. Hem Mısır hem de Meksika piramitlerinin aynı kökene sahip insanlar tarafından yaklaşık olarak aynı anda inşa edildiği fikri ortaya çıkıyor.

Biyoloji.

19. yüzyılda bilim adamları, ayçiçeği, papatya, ananas meyvelerindeki pullar, kozalaklı kozalaklar vb. çiçek ve tohumlarının birbirine doğru kıvrılarak çift spiral şeklinde "paketlendiğini" fark ettiler. Bu durumda, "sağ" ve "sol" spirallerin sayıları, komşu Fibonacci sayıları gibi (13:8, 21:13, 34:21, 55:34) her zaman birbiriyle ilişkilidir. Doğada bulunan çok sayıda çift sarmal örneği her zaman bu kurala uymaktadır.

Goethe ayrıca doğanın sarmallığa olan eğilimini de vurguladı. Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve spiral dizilişi uzun zaman önce fark edilmişti. Ayçiçeği tohumları, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb.'nin dizilişinde spiral görüldü. Botanikçilerin ve matematikçilerin çalışmaları bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu. Ayçiçeği çekirdeği ve çam kozalaklarından oluşan bir dal üzerindeki yaprakların dizilişinde Fibonacci serisinin ortaya çıktığı ve dolayısıyla altın oran yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek ağını spiral şeklinde örer. Kasırga spiral gibi dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü sarmal şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülmüştür. Goethe spirale "yaşam eğrisi" adını verdi.

Herhangi bir iyi kitap, örnek olarak nautilus kabuğunu gösterir. Üstelik birçok yayın bunun bir altın oran sarmalı olduğunu söylüyor ancak bu yanlış - bu bir Fibonacci sarmalı. Spiral kolların mükemmelliğini görüyorsunuz ama başlangıca baktığınızda o kadar da mükemmel görünmüyor. En içteki iki kıvrımı aslında eşittir. İkinci ve üçüncü virajlar phi'ye biraz daha yaklaşır. Sonunda bu zarif, pürüzsüz spirali elde edersiniz. İkinci terimin birinciyle, üçüncünün ikinciyle, dördüncünün üçüncüyle vb. ilişkisini hatırlayın. İstiridyenin Fibonacci serisinin matematiğini tam olarak takip ettiği açıktır.

Fibonacci sayıları çeşitli organizmaların morfolojisinde görülür. Örneğin deniz yıldızı. Işınlarının sayısı Fibonacci sayıları dizisine karşılık gelir ve 5, 8, 13, 21, 34, 55'e eşittir. Tanınmış sivrisineğin üç çift bacağı vardır, karnı sekiz parçaya bölünmüştür ve Kafasında beş anten var. Sivrisinek larvası 12 bölüme ayrılmıştır. Pek çok evcil hayvanda omur sayısı 55'tir. İnsan vücudunda da “phi” oranı görülür.

Drunvalo Melchizedek, Yaşam Çiçeğinin Kadim Sırrı kitabında şöyle yazıyor: “Da Vinci, vücudun etrafına bir kare çizerseniz, önce ayaklardan uzatılmış parmakların uçlarına kadar bir köşegen çizdiğinizi ve ardından paralel bir yatay çizgi çizdiğinizi anladı. (bu paralel çizgilerden ikincisi) göbekten karenin kenarına kadar uzanırsa, bu yatay çizgi köşegeni tam olarak pi oranında keseceği gibi baştan ayağa kadar olan dikey çizgiyi de kesecektir. Göbek deliğinin tam da bu mükemmel noktada olduğunu, kadınlarda biraz yukarıda, erkeklerde biraz aşağıda olmadığını düşünürsek bu, insan vücudunun başın üstünden ayaklara kadar pi oranında bölünmüş olduğu anlamına gelir... Eğer bu çizgiler insan vücudunda pi oranının olduğu tek çizgilerdi, bu muhtemelen ilginç bir gerçek olurdu. Aslında phi oranı vücudun binlerce yerinde bulunur ve bu sadece bir tesadüf değildir.

İşte insan vücudunda phi oranının bulunduğu bazı bariz yerler. Bir parmağın her falanksının uzunluğu, bir sonraki falanksla phi oranındadır... Tüm el ve ayak parmakları için aynı oran not edilir. Ön kolun uzunluğunu avuç içi uzunluğuyla ilişkilendirirseniz, pi oranını elde edersiniz ve omuz uzunluğu da ön kolun uzunluğuyla ilişkilidir. Veya alt bacağın uzunluğunu ayağın uzunluğuyla ve uyluğun uzunluğunu alt bacağın uzunluğuyla ilişkilendirin. Pi oranı iskelet sisteminin her yerinde bulunur. Genellikle bir şeyin büküldüğü veya yön değiştirdiği yerlerde görülür. Ayrıca vücudun bazı bölümlerinin boyutlarının diğerlerine oranında da bulunur. Bunu incelediğinizde her zaman şaşırırsınız.

Ancak kanuna aykırı görünen bir durum vardı: Mars ile Jüpiter arasında hiçbir gezegen yoktu. Gökyüzünün bu bölümünün odaklanarak gözlemlenmesi, asteroit kuşağının keşfedilmesine yol açtı. Bu, 19. yüzyılın başında Titius'un ölümünden sonra oldu.

Fibonacci serisi yaygın olarak kullanılmaktadır: canlıların arkitektoniğini, insan yapımı yapıları ve Galaksilerin yapısını temsil etmek için kullanılır. Bu gerçekler, sayı serilerinin evrenselliğinin işaretlerinden biri olan tezahür koşullarından bağımsızlığının delilidir.

Çözüm.

Orta Çağ'ın en büyük matematikçisi olmasına rağmen, Fibonacci'nin yegâne anıtları Arno Nehri üzerindeki Pisa Kulesi'nin karşısındaki bir heykel ve biri Pisa'da, diğeri Floransa'da olmak üzere onun adını taşıyan iki caddedir.

Açık avucunuzu dikey olarak önünüze, başparmağınız yüzünüze bakacak şekilde yerleştirirseniz ve küçük parmağınızdan başlayarak parmaklarınızı sırayla yumruk şeklinde sıkarsanız, Fibonacci spirali gibi bir hareket elde edersiniz.