Karşıt sayı artı işaretidir. Negatif sayılar

Bu yazıda keşfedeceğiz zıt sayılar. Burada hangi sayılara karşıt denir sorusunu cevaplayacağız, karşıt sayının nasıl belirleneceğini göstereceğiz verilen numara ve örnekler verin. Ayrıca zıt sayıların ana sonuçlarını da listeleyeceğiz.

Sayfada gezinme.

Zıt sayıların belirlenmesi

Zıt sayılar hakkında fikir edinmemize yardımcı olacaktır.

Koordinat doğrusu üzerinde orijinden farklı bir M noktası işaretleyelim. M noktasına, başlangıç ​​noktasından M noktasına doğru bir birim parçanın yanı sıra onun onuncu, yüzüncü vb. bölümlerini sırayla bırakarak M noktasına ulaşabiliriz. Aynı sayıda birim parçayı ve paylarını ters yönde çizersek, N harfiyle gösterilen başka bir noktaya ulaşacağız. Eylemlerimizi açıklamak için bir örnek verelim (aşağıdaki şekle bakın). Koordinat doğrusu üzerinde M noktasına ulaşmak için negatif yön iki birim bölüm ve bir birimin onda birini oluşturan 4 bölüm. Şimdi iki birim parçayı ve bir birimin onda birini oluşturan 4 parçayı içine koyalım. olumlu yön. Bu bize N noktasını verecektir.

Zıt sayıların tanımını anlamaya neredeyse hazırız; geriye kalan tek şey birkaç nüansı tartışmak.

Koordinat doğrusu üzerindeki her noktanın tek bir reel sayıya karşılık geldiğini biliyoruz, dolayısıyla hem M noktası hem de N noktası bazı reel sayılara karşılık gelir. Yani M ve N noktalarına karşılık gelen sayılara zıt denir.

Ayrı olarak, O noktası - köken hakkında da söylemek gerekir. O noktası 0 sayısına karşılık gelir. Sıfır sayısı kendisinin karşıtı olarak kabul edilir.

Artık sesimizi çıkarabiliyoruz Zıt sayıların belirlenmesi.

Tanım.

Koordinat çizgisi üzerindeki bu sayılara karşılık gelen noktalara, aynı sayıda birim parçanın orijinden zıt yönlerde ve ayrıca bir birim parçanın kesirlerinin döşenmesiyle ulaşılabiliyorsa, iki sayıya zıt denir, 0 sayısı bunun tersidir. kendisi.

Zıt sayıların gösterimi ve örnekler

girme zamanı geldi zıt sayıların sembolleri.

Verilen bir sayının tersini belirtmek için o sayının önüne yazılan eksi işaretini kullanın. Yani a sayısının karşısındaki sayı -a olarak yazılır. Örneğin, 0,24'ün karşısındaki sayı -0,24'tür ve −25'in karşısındaki sayı -(−25).

Hadi verelim zıt sayılara örnekler. 17 ve −17 (veya −17 ve 17) sayı çifti zıt tam sayılara bir örnektir. ve sayıları rasyonel sayıların zıttıdır. Zıt rasyonel sayıların diğer örnekleri 5,126 ve −5,126 sayı çiftleridir. ve ayrıca 0,(1201) ve −0,(1201) . Bunun tam tersi birkaç örnek vermek kalıyor

Bu örneği ele alalım. Sırayla saymanız gerekir: .

Eklenmesi gereken sayıları yeniden düzenleyebilir ve ardından kalanları çıkarabilirsiniz: .

Ancak bu her zaman uygun değildir. Örneğin bir depodaki eşyaların dengesini hesaplayabiliriz ve ara sonucu bilmemiz gerekir.

Eylemleri art arda gerçekleştirebilirsiniz: .

Bu nedenle sonucun sayıdan çıkarma olacağını biliyoruz. Bu, çıkarmamız gerektiği anlamına gelir, ancak henüz hiçbir şeyden çıkarmamız gerekmez. Çıkarılacak bir şeyimiz olduğunda şunu çıkarırız:

Ama “hile yapabiliriz” ve belirleyebiliriz. Böylece yeni bir nesne tanıtacağız - negatif sayılar.

Zaten böyle bir işlemi gerçekleştirdik - örneğin doğada "" sayısı da yoktu, ancak eylemleri kaydetmeyi kolaylaştırmak için böyle bir nesne ekledik.

Bir spor deposunda topları vermek ve almakla görevlendirildiğimizi hayal edin. Kayıt tutmamız gerekiyor. Kelimelerle yazabilirsiniz:

Verildi, Kabul Edildi, Verildi, Kabul Edildi,… (Bkz. Şekil 1.)

Pirinç. 1. Muhasebe

Kabul ediyorum, günde birçok kez veri verip almanız gerekiyorsa, kayıt yapmak pek uygun değildir.

Sayfayı biri Kabul Edildi, diğeri Verildi olmak üzere iki sütuna bölebilirsiniz. (Bkz. Şekil 2.)

Pirinç. 2. Basitleştirilmiş kayıt

Kayıt kısaldı. Ancak sorun şu: Herhangi bir anda kaç topun alındığını (veya verildiğini) nasıl anlayacağız?

Kayıt için şu düşünceyi kullanabilirsiniz: Topları depodan çıkardığımızda depodaki miktarı azalır, kabul ettiğimizde ise artar.

Peki “topu dışarı verdi” nasıl yazılır? Aşağıdaki nesneyi girebilirsiniz: .

Bu nesne, topların hareketinin gerçekleştiği sıraya göre matematiksel olarak kaydedilmesini sağlar:

Başka bir örneğe bakalım.

Telefon hesabınızda ruble var. İnternete girdin ve rubleye mal oldu. Sonuç ruble borcuydu. Operatör şunu yazabilirdi: "müşterinin ruble borcu var." Ruble koydun. Operatör borcunu kesti. Ruble hesabında ortaya çıktı.

Ancak “” ve “” işaretlerini kullanarak hem işlemleri hem de parayı hesaba kaydetmek uygundur. (Bkz. Şekil 3.)

Pirinç. 3. Uygun kayıt

Çıkarma sonucunu yazmak için negatif bir sayı giriyoruz daha küçük sayı Daha: .

Negatif bir sayı eklemek, çıkarmaya eşdeğerdir: .

Negatif sayıları daha önce ele aldığımız pozitif sayılardan ayırmak için önüne eksi işareti koymaya karar verdik: .

Onlar olmadan yapabilir misin? Evet yapabilirsin. Herhangi bir durumda “geri”, “ödünç al” vb. kelimeleri kullanırız. Ama onlar, bu sözler farklı olurdu.

Ve böylece evrensel, kullanışlı bir aracımız var. Tüm bu durumlar için bir tane.

Bir arabaya benzetme yapabiliriz. Bu oluşmaktadır Büyük miktarlar Birçoğuna ayrı ayrı ihtiyaç duyulmayan ancak hepsi bir arada sürüş yapmanızı sağlayan parçalar. Aynı şekilde negatif sayılar da diğer matematik araçlarıyla birlikte hesaplamayı kolaylaştıran, birçok problemin çözümünü ve yazılmasını kolaylaştıran bir araçtır.

Böylece yeni bir nesneyi tanıttık: Negatif sayılar. Hayatta ne için kullanılırlar?

Öncelikle pozitif sayıların rollerini hatırlayalım:

Miktar: örneğin odun, litre süt. (Bkz. Şekil 4.)

Pirinç. 4. Miktar

Sıralama: Örneğin evler pozitif sayılarla numaralandırılır. (Bkz. Şekil 5.)

Pirinç. 5. Organize edin

Ad: örneğin futbolcu numarası. (Bkz. Şekil 6.)

Pirinç. 6. İsim olarak sayı

Şimdi negatif sayıların fonksiyonlarına bakalım:

Eksik miktarın belirtilmesi. Miktar asla negatif değildir. Ancak bir miktarın çıkarıldığını göstermek için negatif bir sayı kullanılır. Mesela bir şişeden döküp şeklinde yazabiliriz. (Bkz. Şekil 7.)

Pirinç. 7. Eksik miktarın belirtilmesi

Düzenleme. Bazen numaralandırma yaparken sıfır seçilir ve nesneleri sıfırın her iki tarafında da numaralandırmanız gerekir. Örneğin bodrum katındaki katların altında yer alan katlar. (Bkz. Şekil 8.) Veya seçilen sıfırın altında bir sıcaklık. (Bkz. Şekil 9.)

Pirinç. 8. Bodrum katının altında yer alan kat

Pirinç. 9. Termometre ölçeğindeki negatif sayılar

Ancak yine de negatif sayıların asıl amacı matematiksel hesaplamaları basitleştirmeye yönelik bir araç olmasıdır.

Ancak negatif sayıların bu kadar kullanışlı bir araç haline gelmesi için şunları yapmanız gerekir:

Negatif sıcaklık, sıfırın altında, sıfır sıcaklığın altında olan sıcaklıktır. Peki sıfır sıcaklık nedir? Sıcaklığı ölçmek ve kaydetmek için bir ölçü birimi ve bir referans noktası seçmeniz gerekir. Her ikisi de anlaşmadır. Santigrat ölçeğini, onu öneren bilim insanının anısına kullanırız. (Bkz. Şekil 10.)

Pirinç. 10. Anders Santigrat

Burada referans noktası olarak suyun donma noktası seçilmiştir. Aşağıda her şey belirtilmiştir olumsuz değer. (Bkz. Şekil 11.)

Pirinç. on bir.

Ancak başka bir referans noktası, başka bir sıfır alırsak, Celsius'taki negatif sıcaklığın bu diğer ölçekte pozitif olabileceği açıktır. Olan bu. Kelvin ölçeği fizikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Celsius ölçeğine benzer, yalnızca mümkün olan en düşük sıcaklığın değeri sıfır olarak seçilir (daha düşük olamaz). Bu değere “mutlak sıfır” denir. Santigrat cinsinden bu yaklaşık olarak . (Bkz. Şekil 12.)

Pirinç. 12. İki terazi

Yani Kelvin ölçeğinde hiçbir negatif değer yoktur.

Peki bizim yaz .

Ve buzlu olanlar .

Yani, negatif sıcaklık bir sözleşmedir, insanlar arasında buna böyle isim verilmesi konusunda yapılan bir anlaşmadır.

Sıfırdan başlayalım. Sıfır, sayılar arasında özel bir konuma sahiptir.

Daha önce tartıştığımız gibi, kolaylık olması açısından yedinin çıkarılmasını negatif bir sayı olarak gösterebiliriz. Çıkarma anlamına geldiği için işareti olarak “” işaretini bırakıyoruz. Yeni bir numara adlandıralım.

Yani “” toplamı sıfıra eşit olan bir sayıdır: . Ve herhangi bir sırayla. Bu, negatif (veya zıt) bir sayının tanımıdır.

Daha önce incelediğimiz her sayı için, işareti önündeki eksi işareti olan yeni bir negatif sayı tanıtacağız. Yani, önceki her sayının negatif ikizi ortaya çıktı. Bu tür ikizlere zıt sayılar diyoruz. (Bkz. Şekil 13.)

Pirinç. 13. Zıt sayılar

Yani tanım: Zıt sayılar, toplamı sıfıra eşit olan iki sayıdır.

Dışarıdan sadece “” işaretinde farklılık gösterirler.

Örneğin bir değişkenin önünde "" işareti varsa, bu ne anlama gelir? Bu, bu değerin negatif olduğu anlamına gelmez. Eksi işareti, bu değerin şu sayının tersi olduğu anlamına gelir: . Bu sayıların hangisinin pozitif hangisinin negatif olduğunu bilmiyoruz.

Eğer öyleyse.

Eğer (negatif sayı), o zaman (pozitif sayı).

Sıfırın karşısında hangi sayı var? Bunu zaten biliyoruz.

Sıfır dahil herhangi bir sayıya sıfır eklenirse orijinal sayı değişmeyecektir. Yani iki sıfırın toplamı sıfırdır: . Ancak toplamı sıfır olan sayılar zıt sayılardır. Yani sıfır kendinin karşıtıdır.

Böylece negatif sayıların tanımını verdik ve neden gerekli olduklarını öğrendik.

Şimdi teknolojiye biraz zaman ayıralım. Şimdilik herhangi bir sayının tersini nasıl bulacağımızı öğrenmemiz gerekiyor:

Dersin son bölümünde negatif sayıların tanıtılmasından sonra ortaya çıkan kümelerin yeni adlarından ve gösterimlerinden bahsedeceğiz.

Bu yazıda zıt sayıların ne olduğunu bulmaya çalışacağız. Genel olarak bunların ne olduğunu açıklayacağız, onlar için hangi spesifik tanımların kullanıldığını göstereceğiz ve birkaç örneğe bakacağız. Materyalin son bölümünde zıt sayıların temel özelliklerini listeleyeceğiz.

Zıtlıklar kavramını açıklamak için önce bir koordinat çizgisi çizmemiz gerekiyor. Üzerinde M noktasını ele alalım (ancak geri sayımın en başında değil). Sıfıra olan uzaklığı, belirli sayıda birim parçaya eşit olacak ve bu da onda bir ve yüzde birlere bölünebilecek. Başlangıç ​​noktasından M'nin bulunduğu yönün tersi yönde aynı mesafeyi ölçersek, benzer başka bir noktaya ulaşabiliriz. Buna N diyelim. Örneğin, M'den sıfıra 2,4 birim segmentlik bir mesafe vardır ve N'den sıfıra aynıdır. Resme bir göz atın:

Koordinat doğrusu üzerindeki her noktanın yalnızca bir gerçek sayıyla ilişkilendirilebileceğini unutmayalım. Bu durumda M ve N noktalarımız zıt olarak adlandırılan belirli sayılara karşılık gelir. Sıfır dışında her sayının bir karşıt sayısı vardır. Bu geri sayımın başlangıcı olduğu için kendisinin tam tersi olarak kabul edilir.

Zıt sayıların ne olduğunun tanımını yazalım:

Tanım 1

Zıt orijinden aynı mesafeyi işaretlersek ulaşacağımız koordinat çizgisi üzerindeki bu tür noktalara karşılık gelen sayılardır. farklı güzergahlar(olumlu ve olumsuz). Sıfır başlangıç ​​noktasındadır ve kendisinin karşısındadır.

Zıt sayılar nasıl gösterilir?

Bu bölümde bu tür sayıların temel gösterimini tanıtacağız. Elimizde belli bir sayı varsa ve bunun tersini yazmamız gerekiyorsa bunun için eksi kullanırız.

örnek 1

Diyelim ki sayımız a, dolayısıyla tersi de a (eksi a) olur. Aynı şekilde 0,26 için bunun tersi -0,26, 145 için ise -145 olacaktır. Orijinal sayının kendisi negatifse, örneğin -9 ise bunun tersini -(-9) olarak yazarız.

Zıt sayılara başka hangi örnekleri verebilirsiniz? Tam sayıları alalım: 12 ve -12. Zıt rasyonel sayılar 3 2 11 ve - 3 2 11'in yanı sıra 8, 128 ve − 8, 128, 0, (18901) ve − 0, (18901) vb.'dir. İrrasyonel sayılar da zıt olabilir, örneğin, değerler sayısal ifadeler 2 + 1 ve - 2 + 1'dir.

Zıt irrasyonel sayılar e ve - e de öyle.

Zıt sayıların temel özellikleri

Bu sayıların belirli özellikleri vardır. Aşağıda açıklamalarıyla birlikte bunların bir listesini vereceğiz.

Tanım 2

1. Orijinal sayı pozitifse tersi negatif olacaktır.

Bu ifade açıktır ve yukarıdaki grafikten de anlaşılmaktadır: bu tür sayılar referans çizgisinin karşıt taraflarında yer almaktadır. Pozitif ve negatif sayı kavramlarını unuttuysanız daha önce yayınladığımız materyale bakın.

Bu kuraldan çok önemli bir açıklama daha çıkarılabilir. Kelimenin tam anlamıyla gösterimi şuna benzer: herhangi bir pozitif a için doğru olacaktır - (− a) = a. Bunun neden önemli olduğunu bir örnekle gösterelim.

5 sayısını ele alalım. Koordinat çizgisini kullanarak karşıt sayının 5 olduğunu ve bunun tersinin de geçerli olduğunu görebilirsiniz. Yukarıda belirttiğimiz notasyonu kullanarak -5'in karşısındaki sayıyı -(-5) olarak yazıyoruz. – (- 5) = 5 olduğu ortaya çıktı. Dolayısıyla sonuç: Zıt sayılar birbirinden yalnızca eksi işaretinin varlığıyla farklılık gösterir.

2. Aşağıdaki özelliğe genellikle simetri özelliği denir. Aynı zamanda zıt sayıların tanımından da türetilebilir. Şöyle geliyor:

Tanım 3

Eğer bir a sayısı b'nin tersi ise, o zaman b de a'nın tersidir.

Açıkçası, bu ifadenin ek delillere ihtiyacı yoktur.

3. Zıt sayıların üçüncü özelliği şunu söylüyor:

Tanım 4

Her reel sayının yalnızca bir zıt sayısı vardır.

Bu ifade, bir koordinat çizgisi üzerindeki noktaların aynı anda birçok sayıya karşılık gelemeyeceği gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

Tanım 5

4. Zıt sayıların modülleri eşittir.

Bu, modül tanımından kaynaklanmaktadır. Herhangi bir zıt sayıya karşılık gelen bir çizgi üzerindeki noktaların referans noktasından aynı uzaklıkta olması mantıklıdır.

Tanım 6

5. Zıt sayıları toplarsak 0 elde ederiz.

Kelimenin tam anlamıyla, bu ifade a + (− a) = 0'a benziyor.

Örnek 2

İşte bu tür hesaplamaların örnekleri:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Gördüğünüz gibi bu kural tüm sayılar için geçerlidir - tamsayılar, rasyonel, irrasyonel vb.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Okul müfredatındaki ilginç bir kavram, hem matematiksel hem de geometrik olarak değerlendirilebilecek zıt sayılardır. Bu konuyu anlamak matematik çalışmasını basitleştirir ve bazı problemlerle hızlı bir şekilde başa çıkmanıza olanak tanır - bu nedenle hangi sayıların zıt olarak adlandırıldığına ve onlar için hangi kuralların işe yaradığına bakacağız.

Terimin özü nedir?

Zıt sayıların anlamını anlamak için bir anlığına geometriye dönelim. Bir koordinat çizgisi çizelim ve üzerine sıfır noktasını işaretleyelim ve ardından çizgiye iki işaret daha koyalım - örneğin sıfırın sağ tarafına "2" ve sol tarafına "-2". Elbette her iki noktadan da başlangıç ​​noktasına olan mesafe tamamen aynı olacaktır ve bu, ölçümlerle kolayca doğrulanabilir. "2" ve "-2" sıfırdan aynı uzaklıkta, ancak farklı yönlerde - buna göre birbirlerine tamamen zıtlar.

Önemli olan bu. Sayılar isteğe göre büyük ya da küçük, tam ya da kesirli olabilir. Ancak her birinin kendisini oluşturan belirli bir numarası vardır. tamamen tersi. Tanım şu şekilde verilebilir - sıfırın her iki tarafına yerleştirilen iki noktadan koordinat çizgisi üzerinde orijine eşit bir mesafe bırakılabilirse - bu noktalar veya daha doğrusu bunlara karşılık gelen sayılar zıt olacaktır. .

Tanımdan hangi kurallar çıkarılabilir?

Ele alınan konuyla ilgili birkaç mutlak ifadeyi hatırlamakta fayda var:

• İki sayının zıtlıkları ilkesi her iki yönde de çalışır. Örneğin, 3 sayısı -3 sayısının karşısındadır - ve bu nedenle -3 sayısının karşısında yalnızca 3 sayısı vardır, başkası değil.
• Bir sayının iki zıttı olamaz; her zaman yalnızca bir tane vardır.
• Sayılar birbirine zıt olabilir farklı işaretler. Bir sayı pozitifse, karşıt sayının eksi işareti olacaktır - örneğin 5 ve -5. Aynı şey şurada da çalışıyor ters taraf- eksi işaretli bir sayı için, artı işaretli sayının tersi her zaman olacaktır - örneğin -6 ve 6.
• İki zıt sayı aynı mutlak değere veya modüle sahiptir. Başka bir deyişle 4 sayısı için

Zıt sayıların tanımı

Zıt sayıların tanımı:

Yalnızca işaret bakımından farklılık gösteren iki sayıya zıt sayı denir.

Zıt sayılara örnekler

Zıt sayılara örnekler.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Buradan belirli bir sayının tersinin nasıl bulunacağı açıktır: sadece sayının işaretini değiştirin.

3'ün karşısındaki sayı eksi üç sayısıdır.

Örnek. Sayılar verilerin tersidir.

Verilenler: sayılar 1; 5; 8; 9.

Verilerin zıt sayılarını bulun.

Bu görevi çözmek için sadece işaretleri değiştiriyoruz verilen sayılar:

Zıt sayıların bir tablosunu oluşturalım:

Sıfırın tersi

Sıfırın karşıtı sıfır sayısının kendisidir.

Yani 0'ın tersi sayı 0'dır.

Zıt Tamsayılar

Zıt tam sayıların yalnızca işaretleri farklıdır.

Zıt tam sayılara örnekler.

10 -10
20 -20
125 -125

Zıt sayılar çifti

Zıt sayılardan bahsettiklerinde her zaman bir çift zıt sayıyı kastediyorlar.

Bir sayı başka bir sayının tersidir. Ve her sayının yalnızca bir zıt sayısı vardır.

Doğal sayıların karşısındaki sayılar

Doğal sayıların zıttı negatif tam sayılardır.

İlk beş doğal sayı için zıt sayıların bir tablosunu oluşturalım:

Zıt sayıların toplamı

Zıt sayıların toplamı sıfırdır. Sonuçta, zıt sayılar yalnızca işaret bakımından farklılık gösterir.