Division gerader Zahlen durch 7. Grundkriterien für die Teilbarkeit

Die Mathematik in der 6. Klasse beginnt mit dem Studium der Teilbarkeit und Teilbarkeitskriterien. Oft beschränken sie sich auf Zeichen der Teilbarkeit durch solche Zahlen:

• Auf 2 : die letzte Ziffer muss 0, 2, 4, 6 oder 8 sein;
• Auf 3 : die Summe der Ziffern der Zahl muss durch 3 teilbar sein;
• Auf 4 : die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl muss durch 4 teilbar sein;
• Auf 5 : die letzte Ziffer muss 0 oder 5 sein;
• Auf 6 : die Zahl muss durch 2 und 3 teilbar sein;
• Teilbarkeit durch 7 oft übersehen;
• Dasselbe wird selten über das Teilbarkeitskriterium durch . gesagt 8 , obwohl es den Zeichen der Teilbarkeit durch 2 und 4 ähnlich ist. Damit eine Zahl durch 8 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die dreistellige Endung durch 8 teilbar ist.
• Teilbarkeit durch 9 Jeder weiß: Die Summe der Ziffern einer Zahl muss durch 9 teilbar sein. Das entwickelt jedoch keine Immunität gegen alle möglichen Tricks mit Datumsangaben, die Numerologen verwenden.
• Teilbarkeit durch 10 ist wahrscheinlich das einfachste: Die Zahl muss auf Null enden.
• Manchmal wird auch Sechstklässlern von der Teilbarkeit durch . erzählt 11 ... Es ist notwendig, die Zahlen der Zahlen an geraden Stellen zu addieren, die Zahlen an ungeraden Stellen vom Ergebnis abzuziehen. Wenn das Ergebnis durch 11 teilbar ist, ist die Zahl selbst durch 11 teilbar.

Wir nehmen die Nummer. Wir unterteilen es in Blöcke mit jeweils 3 Ziffern (der Block ganz links kann eine oder 2 Ziffern enthalten) und addieren / subtrahieren diese Blöcke abwechselnd.

Wenn das Ergebnis durch 7, 13 (oder 11) teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 7, 13 (oder 11) teilbar.

Diese Methode basiert, ebenso wie eine Reihe mathematischer Tricks, darauf, dass 7x11x13 = 1001 ist. Aber was tun mit dreistelligen Zahlen, bei denen die Teilbarkeitsfrage manchmal auch nicht ohne die Division selbst gelöst werden kann.

Unter Verwendung des universellen Teilbarkeitskriteriums ist es möglich, relativ einfache Algorithmen zu konstruieren, um zu bestimmen, ob eine Zahl durch 7 und andere "unpraktische" Zahlen teilbar ist.

Verbesserte Teilbarkeit durch 7 Kriterium
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer der Zahl verwerfen und diese Ziffer zweimal vom resultierenden Ergebnis subtrahieren. Wenn das Ergebnis durch 7 teilbar ist, ist die Zahl selbst durch 7 teilbar.

Beispiel 1:
Ist 238 durch 7 teilbar?
23-8-8 = 7. Die Zahl 238 ist also durch 7 teilbar.
Tatsächlich 238 = 34x7

Diese Aktion kann mehrmals ausgeführt werden.
Beispiel 2:
Ist 65835 durch 7 teilbar?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 ist durch 7 teilbar (wenn wir das nicht bemerkt hätten, hätten wir noch 1 Schritt machen können: 6-3-3 = 0, und 0 ist sicherlich durch 7 teilbar).

Das bedeutet, dass die Zahl 65835 durch 7 teilbar ist.

Auf der Grundlage des universellen Teilbarkeitskriteriums kann man die Teilbarkeitskriterien um 4 und 8 verbessern.

Verbesserte Teilbarkeit durch 4 Kriterium
Wenn die Hälfte der zur Zehnerzahl addierten Einerzahl eine gerade Zahl ist, wird die Zahl durch 4 geteilt.

Beispiel 3
Ist 52 durch 4 teilbar?
5 + 2/2 = 6, die Zahl ist gerade, was bedeutet, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Beispiel 4
Ist 134 durch 4 teilbar?
3 + 4/2 = 5, die Zahl ist ungerade, also ist 134 nicht durch 4 teilbar.

Verbesserte Teilbarkeit durch 8 Kriterium
Addiert man das Doppelte der Hunderter, der Zehner und der Hälfte der Einerzahl und das Ergebnis ist durch 4 teilbar, dann ist die Zahl selbst durch 8 teilbar.

Beispiel 5
Ist 512 durch 8 teilbar?
5 * 2 + 1 + 2/2 = 12, die Zahl ist durch 4 teilbar, also ist 512 durch 8 teilbar.

Beispiel 6
Ist 1984 ein Vielfaches von 8?
9 * 2 + 8 + 4/2 = 28, die Zahl ist durch 4 teilbar, dh 1984 ist durch 8 teilbar.

Teilbarkeit durch 12- dies ist die Vereinigung der Abgrenzungszeichen durch 3 und 4. Das gleiche funktioniert für jedes n, das das Produkt von gegenseitig Primzahlen p und q ist. Damit eine Zahl durch n teilbar ist (das gleich dem Produkt von pq ist, so dass GCD (p, q) = 1), muss man gleichzeitig durch p und q teilbar sein.

Seien Sie jedoch vorsichtig! Damit zusammengesetzte Teilbarkeitskriterien funktionieren, müssen die Faktoren einer Zahl gegenseitig Primzahlen sein. Es versteht sich von selbst, dass eine Zahl durch 8 teilbar ist, wenn sie durch 2 und 4 teilbar ist.

Verbesserte Teilbarkeit durch 13 Kriterium
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 13 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer der Zahl weglassen und sie viermal zum Ergebnis addieren. Wenn das Ergebnis durch 13 teilbar ist, ist die Zahl selbst durch 13 teilbar.

Beispiel 7
Ist 65835 durch 8 teilbar?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Die Zahl 43 ist nicht durch 13 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl 65835 nicht durch 13 teilbar ist.

Beispiel 8
Ist 715 durch 13 teilbar?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 ist durch 13 teilbar, also ist die Zahl 715 durch 13 teilbar.

Teilbarkeit durch 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 und andere zusammengesetzte Zahlen, die keine Potenzen von Primzahlen sind, ähneln den Kriterien für die Teilbarkeit durch 12. Wir überprüfen die Teilbarkeit dieser Zahlen durch Koprimefaktoren.

• Für 14: 2 und 7;
• Für 15: 3 und 5;
• Für 18: 2 und 9;
• Für 21: 3 und 7;
• Für 20: durch 4 und 5 (oder mit anderen Worten, die letzte Ziffer muss Null sein und die vorletzte muss gerade sein);
• Für 24: 3 und 8;
• Für 26: 2 und 13;
• Für 28: 4 und 7.

Beispiel 9
Ist 1984 ein Vielfaches von 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 ist nicht durch 16 teilbar, also ist 1984 auch nicht durch 16 teilbar.

Beispiel 10
Ist 1526 durch 16 teilbar?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 ist kein Vielfaches von 16, also ist 1526 ein Vielfaches von 16.

Teilbarkeitskriterium um 17 verbessert.
Um zu prüfen, ob eine Zahl durch 17 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer der Zahl verwerfen und diese Zahl fünfmal vom Ergebnis subtrahieren. Wenn das Ergebnis durch 13 teilbar ist, ist die Zahl selbst durch 13 teilbar.

Beispiel 11
Ist 59772 durch 17 teilbar?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 ist durch 17 teilbar, also ist die Zahl 59772 durch 17 teilbar.

Beispiel 12
Ist 4913 durch 17 teilbar?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 ist durch 17 teilbar, also ist die Zahl 4913 durch 17 teilbar.

Verbesserte Teilbarkeit durch 19-Kriterium.
Um zu überprüfen, ob die Zahl durch 19 teilbar ist, müssen Sie die verdoppelte letzte Ziffer zu der Zahl hinzufügen, die nach dem Verwerfen der letzten Ziffer übrig bleibt.

Beispiel 13
Ist 9044 durch 19 teilbar?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 ist durch 19 teilbar, also ist die Zahl 9044 durch 19 teilbar.

Teilbarkeitskriterium um 23 verbessert.
Um zu überprüfen, ob die Zahl durch 23 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer um das 7-fache zu der Zahl addieren, die nach dem Verwerfen der letzten Ziffer übrig bleibt.

Beispiel 14
Ist 208012 durch 23 teilbar?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Tatsächlich können Sie bereits sehen, dass 253 23 ist,

Mathematik ist die älteste Wissenschaft, sie war und ist für den Menschen notwendig. Das Wort Mathematiker ist griechischen Ursprungs. Es bedeutet Wissenschaft, Denken.

In der Antike wurden die gewonnenen Erkenntnisse und Entdeckungen oft geheim gehalten. In der Schule des Pythagoras war es beispielsweise verboten, sein Wissen mit Nicht-Pythagoräern zu teilen.

Wegen Verstoßes gegen diese Regel wurde einer der Schüler, der einen freien Wissensaustausch forderte, - Hippas - der Schule verwiesen. Anhänger von Hippasus wurden Mathematiker genannt, dh Anhänger der Wissenschaft. Ausnahmslos jeder beginnt ab der ersten Schulstufe mit den Grundlagen der Mathematik und jedes Jahr erweitert sich das Wissen. Mathematik hat alle Wissenszweige durchdrungen - Physik, Chemie, Sprachwissenschaften, Medizin, Astronomie usw. Mathematiker bringen Computern bei, Gedichte und Musik zu komponieren, die Größe von Atomen zu messen und Staudämme, Kraftwerke usw. zu entwerfen. Mathematik. Mir gefällt das Thema "Zeichen der Teilbarkeit", das wir in der 6. Klasse studiert haben, und ich habe mich entschieden, mehr über dieses Thema zu erfahren.

Der Zweck dieser Arbeit besteht darin, die Kriterien für die Teilbarkeit durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 25, 125 hervorzuheben.

Wenn man aus der 6. Klasse die Zeichen der Teilbarkeit durch 2, 3, 5, 9, 10 kennt, ist es leicht, die Zeichen der Teilbarkeit durch 4, 6, 8, 12, 15, 25, 125 abzuleiten.

Ich habe diese Zeichen in einer Tabelle zusammengefasst.

durch 2 Diese und nur die natürlichen Zahlen werden durch 2 dividiert, deren Datensatz mit geraden Ziffern endet (0,2,4, 6,8)

durch 3 Nur die natürlichen Zahlen, deren Ziffernsumme durch 3 teilbar ist, sind durch 3 teilbar

Durch 4 teilbar sind nur diejenigen natürlichen Zahlen, bei denen die letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden

durch 5 Diese und nur die natürlichen Zahlen, deren Datensatz auf 0 oder 5 endet, sind durch 5 teilbar.

durch 6 Diese und nur die natürlichen Zahlen, die auf eine gerade Ziffer enden, sind durch 6 teilbar, und die Summe der Ziffern ist durch 3 teilbar

durch 8 Die, und nur die natürlichen Zahlen, in deren Aufzeichnungen die letzten drei Ziffern eine durch 8 teilbare Zahl bilden, sind durch 8 teilbar

durch 9 Nur die natürlichen Zahlen, deren Ziffernsumme durch 9 teilbar ist, sind durch 9 teilbar

durch 10 Durch 10 werden nur die natürlichen Zahlen durch 10 dividiert, deren Datensatz auf 0 endet

durch 12 Diese und nur die natürlichen Zahlen werden durch 12 geteilt, bei denen die letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden und die Summe der Ziffern der Zahl durch 3 teilbar ist

durch 15 Diese und nur die natürlichen Zahlen werden durch 15 geteilt, deren Datensatz auf 0 oder 5 endet und die Summe der Ziffern durch 3 teilbar ist

durch 25. Damit eine natürliche Zahl mit mindestens drei Ziffern durch 25 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 25 dividiert wird. Damit eine natürliche Zahl mit mindestens vier Ziffern um durch 125 teilbar zu sein, ist es notwendig und ausreichend, die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl auf 125 zu teilen.

Teilbarkeitskriterien

Beim Studium verschiedener Literatur fand ich eine Teilbarkeit durch 11.

Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die Differenz zwischen der Summe ihrer Ziffern an ungeraden Stellen und der Summe ihrer Ziffern an geraden Stellen durch 11 teilbar ist (die Zahlen sind von links nach rechts oder von rechts nach links nummeriert). Die Nummer lautet beispielsweise 120340568.

Finden wir die Summe ihrer Ziffern an ungeraden Stellen 1 + 0 + 4 + 5 + 8 = 18 und an geraden Stellen 2 + 3 + 0 + 6 = 11.

Die Differenz zwischen den gefundenen Beträgen beträgt 18-11 = 7.

7 ist nicht durch 11 teilbar, was bedeutet, dass diese Zahl nicht durch 11 teilbar ist.

Das Teilbarkeitskriterium durch 11 kann anders formuliert werden.

Wenn die algebraische Summe der Ziffern einer Zahl mit wechselnden Vorzeichen durch 11 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 11 teilbar.

Beispiel: Ohne eine Division durchzuführen, beweisen Sie, dass die Zahl 86849796 durch 11 teilbar ist.

Lösung: Lassen Sie uns die algebraische Summe der Ziffern einer gegebenen Zahl zusammensetzen, beginnend mit der Ziffer der Einsen und abwechselnden Vorzeichen "+" und "-".

6 – 9 + 7-9 + 4 – 8 + 6 – 8 = -11

11 ist durch 11 teilbar, also ist 86849796 durch 11 teilbar.

Und hier ist ein weiteres Zeichen der Teilbarkeit durch 11.

Um herauszufinden, ob die Zahl durch 11 teilbar ist, müssen Sie die Anzahl der Einheiten von der Zahl der Zehner subtrahieren und prüfen, ob diese Differenz durch 11 teilbar ist.

Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 583 und wenden diese Funktion an:

58-3 = 55; 55 ist durch 11 teilbar, also ist 583 durch 11 teilbar.

Lassen Sie uns nun eine vierstellige Zahl überprüfen.

Zum Beispiel: 3597

359-7 = 352 es ist nicht klar, ob es geteilt ist oder nicht.

35-2 = 33; 33 ist durch 11 teilbar, also ist 3597 durch 11 teilbar.

Kriterien für die Teilbarkeit durch 7 und 13 sind interessant.

Damit eine natürliche Zahl durch 7 oder 13 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die algebraische Summe der Zahlen, die die Seitenflächen von 3 Ziffern bilden (beginnend mit der einen Ziffer), mit dem "+"-Zeichen für ungerade Seitenzahlen und mit dem "-"-Zeichen für gerade Gesichter, wurde durch 7 geteilt.

Beweisen Sie, dass die Zahl 254390815 durch 7 teilbar ist, ohne eine Division durchzuführen.

Lassen Sie uns die Zahl am Rande von 254.390.815 brechen. Lassen Sie uns die algebraische Summe der Gesichter zusammensetzen, beginnend mit dem letzten Gesicht und abwechselnd die Zeichen "+" und "-".

Die Zahl 679 ist durch 7 teilbar, dann ist die Zahl 254390815 auch durch 7 teilbar.

Beweisen Sie, dass die Zahl 304954 durch 13 teilbar ist, ohne dass eine Division durchgeführt wird.

Wir teilen 304 und 954 in Gesichter auf und machen die algebraische Summe der Gesichter 954-304 = 650.

650 ist durch 13 teilbar, also ist 304954 durch 13 teilbar.

Und es gibt noch ein weiteres Teilbarkeitszeichen, das die Zahlen 7, 11, 13 vereint.

Die Zahlen 7, 11, 13 sind durch die mysteriöse Zahl 7 * 11 * 13 = 1001 miteinander verbunden

1001 ist 77 verdammtes Dutzend;

1001 ist 143 Siebener;

1001 ist 91 mal 11.

Und die Nummer 1001 ist auch die Scheherazade-Nummer.

Nachdem Sie in den Datensatz 7 * 11 * 13 = 1001 eingedrungen sind, können Sie Folgendes hinzufügen: Nehmen Sie eine Zahl 235 und multiplizieren Sie sie mit 1001, wir erhalten 235235.

Da 1001 durch 7, 11, 13 teilbar ist, ist die Zahl 235235 durch 7, 11, 13 teilbar. Daraus folgt: Zahlen der Form abcabc sind durch 7, 11, 13 teilbar. Es gibt natürlich noch andere Zeichen der Teilbarkeit, die ich noch nicht kenne. Und dass es mit Hilfe der Computertechnik möglich ist herauszufinden, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, aber dass es solche Zeichen der Teilbarkeit gibt und sich mit ihnen vertraut zu machen, müssen Sie zusätzliche Literatur studieren und Ihre Wissen, gleichzeitig große Freude haben.

Lassen Sie uns unsere Bekanntschaft mit Teilbarkeitskriterien fortsetzen. Wir werden jetzt erkunden Teilbarkeit durch 6... Zuerst geben wir seine Formulierung an. Außerdem werden wir Beispiele für die Anwendung des Kriteriums der Teilbarkeit durch 6 betrachten. Danach beweisen wir das Kriterium der Teilbarkeit durch 6. Lassen Sie uns abschließend auf Beispiele eingehen, in denen die Teilbarkeit einiger Ausdrücke durch 6 Werte bewiesen wird.

Seitennavigation.

Teilbarkeit durch 6, Beispiele

Formulierung des Kriteriums der Teilbarkeit durch 6 kombiniert das Teilbarkeitskriterium durch 2 und das Teilbarkeitskriterium durch 3. Es ist wie folgt: Wenn der Satz einer ganzen Zahl mit einer der Ziffern 0, 2, 4, 6 oder 8 endet und die Summe der Ziffern im Satz der Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist eine solche Zahl teilbar um 6; wird mindestens eine dieser Bedingungen verletzt, ist die Zahl nicht durch 6 teilbar. Mit anderen Worten, eine ganze Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn diese Zahl durch 2 und 3 teilbar ist.

Das Kriterium der Teilbarkeit durch 6 wird also in zwei Stufen angewendet:

• Im ersten Schritt wird die Teilbarkeit der Zahl durch 2 überprüft. Dabei wird die letzte Ziffer der Nummer berücksichtigt. Wenn die Aufzeichnung einer Zahl mit der Ziffer 2 endet, wird diese Zahl durch 2 geteilt, und um ihre Teilbarkeit durch 6 weiter zu überprüfen, gehen Sie zum zweiten Schritt. Wenn sich die letzte Ziffer der Zahl von 0, 2, 4, 6 oder 8 unterscheidet, ist die Zahl nicht durch 2 teilbar, also nicht durch 6.
• Im zweiten Schritt wird die Teilbarkeit der Zahl durch 3 überprüft. Dazu wird die Ziffernsumme der Originalzahl berechnet und auf ihre Teilbarkeit durch 3 geprüft (zB mit dem Teilbarkeitsmerkmal durch 3). Wenn die Summe der Ziffern durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl durch 3 teilbar, und aufgrund ihrer Teilbarkeit durch 2 (die im vorherigen Schritt festgelegt wurde), können wir folgern, dass die Zahl durch 6 teilbar ist. Wenn die Summe der Ziffern der ursprünglichen Zahl nicht durch 3 teilbar ist, dann ist diese Zahl nicht durch 3 teilbar, also auch nicht durch 6 teilbar.

Jetzt können wir spezifisch betrachten Anwendungsbeispiele des Teilbarkeitskriteriums durch 6.

Beispiel.

Ist die Zahl 8 813 durch 6 teilbar?

Lösung.

Um die gestellte Frage zu beantworten, verwenden wir das Kriterium der Teilbarkeit durch 6. Da der Datensatz der Zahl 8 813 mit der Zahl 3 endet, können wir schließen, dass die Zahl 8 813 nicht durch 6 teilbar ist.

Antworten:

Nein.

Beispiel.

Kann man 934 ohne Rest durch 6 teilen?

Lösung.

Nummer 934 endet mit der Ziffer 4, so dass die erste Bedingung des Kriteriums der Teilbarkeit durch 6 erfüllt ist. Prüfen wir, ob die Summe der Ziffern der Zahl 934 durch 3 teilbar ist. Wir haben 9 + 3 + 4 = 16 und 16 ist nicht durch 3 teilbar. Daher ist die zweite Bedingung des Kriteriums der Teilbarkeit durch 6 nicht erfüllt, sodass die ursprüngliche Zahl nicht durch 6 teilbar ist.

Antworten:

Nein.

Beispiel.

Ist −7 269 708 durch 6 teilbar?

Lösung.

Die letzte Ziffer im Datensatz dieser Zahl ist 8, was bedeutet, dass die erste Bedingung der Teilbarkeit durch 6 Vorzeichen erfüllt ist. Jetzt finden wir die Summe der Ziffern der Zahl −7 269 708, wir haben 7 + 2 + 6 + 9 + 7 + 0 + 8 = 39. Da 39 durch 3 teilbar ist (39: 3 = 13), können wir schließen, dass die ursprüngliche Zahl durch 6 teilbar ist.

Antworten:

Ja tut es.

Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass Sie zur Überprüfung der Teilbarkeit einer gegebenen Zahl durch 6 direkt dividieren können und nicht auf das Teilbarkeitskriterium durch 6 zurückgreifen können.

Nachweis der Teilbarkeit durch 6

Lass uns geben Nachweis der Teilbarkeit durch 6... Der Einfachheit halber verwenden wir die Formulierung dieses Merkmals in Form einer notwendigen und hinreichenden Bedingung.

Satz.

Damit eine ganze Zahl a durch 6 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Zahl a durch 2 und 3 teilbar ist.

Nachweisen.

Zuerst beweisen wir die Notwendigkeit, d. h., wenn eine ganze Zahl a durch 6 teilbar ist, dann ist sie durch 2 und 3 teilbar.

Dazu benötigen wir folgende Teilbarkeitseigenschaft: Wenn eine ganze Zahl a durch b teilbar ist, dann ist das Produkt m a, wobei m eine beliebige ganze Zahl ist, auch durch b teilbar.

Als a durch 6 teilbar ist, dann erlaubt uns der Begriff der Teilbarkeit, die Gleichheit a = 6 q zu schreiben, wobei q eine ganze Zahl ist. Im geschriebenen Produkt ist der Faktor 6 sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar, dann folgt aus der obigen Teilbarkeitseigenschaft, dass das Produkt 6 q sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Dies beweist die Notwendigkeit.

Damit die Teilbarkeit durch 6 Kriterium vollständig bewiesen ist, muss noch die Hinlänglichkeit nachgewiesen werden. Zeigen wir, dass eine ganze Zahl a, die durch 2 und 3 teilbar ist, durch 6 teilbar ist.

Hier brauchen wir einen Satz aus dem Artikel, den Hauptsatz der Arithmetik. Hier ist seine Formulierung: Wenn das Produkt mehrerer positiver und nicht-einer ganzzahliger Faktoren durch eine Primzahl p teilbar ist, dann ist mindestens ein Faktor durch p teilbar.

Da die ganze Zahl a durch 2 teilbar ist, gibt es eine ganze Zahl q mit a = 2 q. Aber die ganze Zahl a = 2 q ist durch 3 teilbar, daher muss 2 q durch 3 teilbar sein. Da 2 nicht durch 3 teilbar ist, muss q aufgrund des obigen Satzes durch 3 teilbar sein. Dann gibt es eine ganze Zahl q 1 mit q = 3 q 1. Daher ist a = 2 q = 2 3 q 1 = 6 q 1. Die erhaltene Gleichheit impliziert die Teilbarkeit der Zahl a durch 6. Dies beweist die Angemessenheit.

Andere Fälle der Teilbarkeit durch 6

In diesem Unterabschnitt werden wir uns auf Möglichkeiten konzentrieren, die Teilbarkeit des für den angegebenen Wert der Variablen angegebenen Wertes durch 6 zu beweisen. In diesen Fällen (wenn eine ganze Zahl nicht explizit angegeben wird) ist eine direkte Division und die Verwendung des Teilbarkeitskriteriums durch 6 oft nicht möglich, sodass ein anderer Lösungsansatz erforderlich ist.

Einer der Ansätze basiert auf der Aussage: Wenn einer der ganzzahligen Faktoren in einem Produkt durch eine gegebene Zahl teilbar ist, dann ist auch das gesamte Produkt durch diese Zahl teilbar. Das heißt, wenn ein gegebener Ausdruck als Produkt präsentiert wird, bei dem einer der Faktoren durch 6 teilbar ist, dann beweist dies die Teilbarkeit des ursprünglichen Ausdrucks durch 6. Es bleibt noch die Methoden der Präsentation in Form einer Arbeit zu diskutieren.

Manchmal ermöglicht es Ihnen, einen bestimmten Ausdruck in Form eines gewünschten Werkes darzustellen. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel.

Ist der Wert des Ausdrucks für ein natürliches n durch 6 teilbar?

Lösung.

Nummer 7 ist gleich 6 + 1, also. Jetzt wenden wir die Newton-Binomialformel an und führen die notwendigen Transformationen durch:

Wir kamen also zu einem Produkt, das durch 6 teilbar ist, da es den Faktor 6 enthält, und der Wert des Ausdrucks in Klammern ist eine natürliche Zahl für jede natürliche Zahl n (da Summe und Produkt natürlicher Zahlen eine natürliche Zahl ist ). Daher ist der Wert des ursprünglichen Ausdrucks für jedes natürliche n durch 6 teilbar.

Antworten:

Jawohl.

Wird der Ausdruck in Form eines Polynoms angegeben, erhält man manchmal ein Produkt mit einem durch 6 teilbaren Faktor. Dann werden der Variablen n in der resultierenden Entwicklung die Werte n = 6 · m, n = 6 · m + 1, n = 6 · m + 2, ..., n = 6 · m + 5 zugewiesen, wobei m ist eine ganze Zahl. Wenn die Teilbarkeit für jedes solche n gezeigt wird, beweist dies die Teilbarkeit des ursprünglichen Ausdrucks durch 6 für jede ganze Zahl n.

Beispiel.

Beweisen Sie, dass der Wert des Ausdrucks für jede ganze Zahl n durch 6 teilbar ist.

Lösung.

Die Faktorisierung dieses Ausdrucks hat die Form .

Bei n = 6 m haben wir ... Das resultierende Produkt enthält den Faktor 6, ist also für jede ganze Zahl m durch 6 teilbar.

Beginnen wir mit dem Thema "Teilbarkeit durch 3". Wir beginnen mit der Formulierung des Kriteriums und präsentieren den Beweis des Satzes. Dann betrachten wir die wichtigsten Ansätze zur Feststellung der Teilbarkeit durch 3 Zahlen, deren Wert durch einen Ausdruck angegeben wird. Der Abschnitt bietet eine Analyse der Lösung der Haupttypen von Problemen basierend auf der Verwendung des Teilbarkeitskriteriums durch 3.

Teilbarkeit durch 3, Beispiele

Das Kriterium der Teilbarkeit durch 3 ist einfach formuliert: Eine ganze Zahl ist ohne Rest durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer konstituierenden Ziffern durch 3 teilbar ist. Wenn der Gesamtwert aller Ziffern einer ganzen Zahl nicht durch 3 teilbar ist, dann ist die ursprüngliche Zahl selbst nicht durch 3 teilbar. Sie können die Summe aller Ziffern einer ganzen Zahl erhalten, indem Sie natürliche Zahlen addieren.

Betrachten wir nun Beispiele für die Anwendung des Kriteriums der Teilbarkeit durch 3.

Beispiel 1

Ist 42 durch 3 teilbar?

Lösung

Um diese Frage zu beantworten, addieren Sie alle Zahlen, aus denen die Zahl 42 besteht: 4 + 2 = 6.

Antworten: nach dem Teilbarkeitskriterium, da die Summe der Ziffern in der ursprünglichen Zahl durch drei teilbar ist, dann ist die ursprüngliche Zahl selbst durch 3 teilbar.

Um die Frage zu beantworten, ob die Zahl 0 durch 3 teilbar ist, benötigen wir die Teilbarkeitseigenschaft, wonach Null durch jede ganze Zahl teilbar ist. Es stellt sich heraus, dass Null durch drei teilbar ist.

Es gibt Probleme, für deren Lösung man mehrmals auf das Kriterium der Teilbarkeit durch 3 zurückgreifen muss.

Beispiel 2

Zeigen Sie, dass die Zahl 907 444 812 ist durch 3 teilbar.

Lösung

Lassen Sie uns die Summe aller Ziffern finden, die den Datensatz der ursprünglichen Zahl bilden: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Jetzt müssen wir feststellen, ob 39 durch 3 teilbar ist. Wir addieren noch einmal die Zahlen, aus denen diese Zahl besteht: 3 + 9 = 12 ... Es bleibt uns überlassen, die Zahlen noch einmal hinzuzufügen, um die endgültige Antwort zu erhalten: 1 + 2 = 3 ... Zahl 3 ist teilbar durch 3

Antworten: Originalnummer 907 444 812 ist auch durch 3 teilbar.

Beispiel 3

Ist die Zahl durch 3 teilbar? − 543 205 ?

Lösung

Lassen Sie uns die Summe der Ziffern berechnen, aus denen die ursprüngliche Zahl besteht: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Lassen Sie uns nun die Summe der Ziffern der resultierenden Zahl berechnen: 1 + 9 = 10 . Um die endgültige Antwort zu erhalten, suchen wir das Ergebnis einer weiteren Addition: 1 + 0 = 1 .
Antworten: eins ist nicht durch 3 teilbar, was bedeutet, dass die ursprüngliche Zahl auch nicht durch 3 teilbar ist.

Um festzustellen, ob eine gegebene Zahl ohne Rest durch 3 teilbar ist, können wir diese Zahl durch 3 teilen. Wenn du die Zahl teilst − 543 205 aus dem obigen Beispiel in einer Spalte von drei, dann erhalten wir in der Antwort keine ganze Zahl. Das bedeutet auch, dass − 543 205 ist nicht ohne Rest durch 3 teilbar.

Nachweis der Teilbarkeit durch 3

Hier benötigen wir folgende Fähigkeiten: Zerlegung einer Zahl in Ziffern und die Multiplikationsregel mit 10, 100 usw. Um den Beweis durchführen zu können, benötigen wir eine Darstellung der Zahl a der Form , wo a n, a n - 1, ..., a 0- das sind Nummern, die sich von links nach rechts im Nummernsatz befinden.

Hier ist ein Beispiel mit einer bestimmten Nummer: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 210 + 8.

Wir schreiben eine Reihe von Gleichheiten auf: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1.000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 usw.

Lassen Sie uns nun diese Gleichheiten anstelle von 10, 100 und 1000 in den zuvor angegebenen Gleichheiten einsetzen. a = a n · 10 n + a n - 1 · 10 n - 1 +… + a 2 · 10 2 + a 1 · 10 + a 0.

So kamen wir zur Gleichberechtigung:

a = a n · 10 n + ... + a 2 · 100 + a 1 · 10 + a 0 = = a n · 33. ... ... ... 3 · 3 + 1 +… + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0

Und nun wenden wir die Eigenschaften der Addition und die Eigenschaften der Multiplikation natürlicher Zahlen an, um die resultierende Gleichheit wie folgt umzuschreiben:

a = a n 33. ... ... 3 3 + 1 +. ... ... + + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0 = = 33 33. ... ... 3 ein n + ein n +. ... ... + + 333 a 2 + a 2 + 3 3 a 1 + a 1 + a 0 = = 33 33. ... ... 3 ein +. ... ... + + 3 33 a 2 + 3 3 a 1 + + a n +. ... ... + a 2 + a 1 + a 0 = = 33 33. ... ... 3 · a n +… + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n +. ... ... + eine 2 + eine 1 + eine 0

Ausdruck a n +. ... ... + a 2 + a 1 + a 0 ist die Summe der Ziffern der ursprünglichen Zahl a. Lassen Sie uns eine neue Kurznotation dafür einführen EIN... Wir erhalten: A = a n +. ... ... + eine 2 + eine 1 + eine 0.

In diesem Fall ist die Darstellung der Zahl a = 33. ... ... 3 ein +. ... ... + 33 a 2 + 3 a 1 + A nimmt die Form an, die wir verwenden können, um das Teilbarkeitskriterium durch 3 zu beweisen.

Definition 1

Erinnern wir uns nun an die folgenden Eigenschaften der Teilbarkeit:

• eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine ganze Zahl a durch eine ganze Zahl teilbar ist
  B, ist die Bedingung, durch die der Modul der Zahl a durch den Modul der Zahl b geteilt wird;
• wenn gleich a = s + t alle Glieder, außer einem, durch eine ganze Zahl b teilbar sind, dann ist dieser eine Term durch b teilbar.

Wir haben die Grundlage für den Beweis der Teilbarkeit durch 3 gelegt. Nun formulieren wir dieses Kriterium in Form eines Theorems und beweisen es.

Satz 1

Um zu behaupten, dass die ganze Zahl a durch 3 teilbar ist, ist es ausreichend, dass die Summe der Ziffern, die die Notation der Zahl a bilden, durch 3 teilbar ist.

Beweis 1

Wenn wir den Wert nehmen a = 0, dann ist der Satz offensichtlich.

Wenn wir eine von Null verschiedene Zahl a nehmen, dann ist der Modul der Zahl a eine natürliche Zahl. Damit können wir die folgende Gleichheit schreiben:

a = 33. ... ... 3 ein +. ... ... + 33 a 2 + 3 a 1 + A, wobei A = a n +. ... ... + a 2 + a 1 + a 0 - die Summe der Ziffern der Zahl a.

Da die Summe und das Produkt von ganzen Zahlen eine ganze Zahl ist, dann
33. ... ... 3 ein +. ... ... + 33 · a 2 + 3 · a 1 eine ganze Zahl ist, dann ist das Produkt nach der Definition der Teilbarkeit 3 ​​· 33. ... ... 3 ein +. ... ... + 33 a 2 + 3 a 1 ist teilbar durch 3 für jeden a 0, a 1, ..., a n.

Wenn die Summe der Ziffern der Zahl ein geteilt durch 3 , also, EIN geteilt durch 3 , dann ist a aufgrund der vor dem Satz angegebenen Teilbarkeitseigenschaft teilbar durch 3 , somit, ein geteilt durch 3 ... So wird die Angemessenheit nachgewiesen.

Wenn ein geteilt durch 3 , dann ist a teilbar durch 3 , dann ist aufgrund derselben Teilbarkeitseigenschaft die Zahl
EIN geteilt durch 3 , also die Summe der Ziffern der Zahl ein geteilt durch 3 ... So wird die Notwendigkeit nachgewiesen.

Andere Fälle der Teilbarkeit durch 3

Ganzzahlen können als Wert eines Ausdrucks angegeben werden, der eine Variable enthält, wenn der Wert dieser Variablen gegeben ist. Für ein natürliches n ist der Wert des Ausdrucks 4 n + 3 n – 1 also eine natürliche Zahl. In diesem Fall direkte Division durch 3 kann uns keine Antwort auf die Frage geben, ob eine Zahl teilbar ist durch 3 ... Anwendung des Teilbarkeitskriteriums durch 3 kann auch schwierig sein. Betrachten wir Beispiele für solche Aufgaben und analysieren wir die Methoden zu ihrer Lösung.

Um solche Probleme zu lösen, können verschiedene Ansätze angewendet werden. Die Essenz einer von ihnen ist wie folgt:

• wir stellen den ursprünglichen Ausdruck als Produkt mehrerer Faktoren dar;
• Finde heraus, ob mindestens einer der Faktoren teilbar ist durch 3 ;
• Basierend auf der Teilbarkeitseigenschaft schließen wir, dass die gesamte Arbeit teilbar ist durch 3 .

Im Zuge der Lösung muss man oft auf die Newtonsche Binomialformel zurückgreifen.

Beispiel 4

Ist der Ausdruck 4 n + 3 n - 1 teilbar durch 3 mit jedem natürlichen n?

Lösung

Wir schreiben die Gleichheit 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4. Wir wenden die Newton-Binomialformel des Newton-Binomials an:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 +.. + + C nn - 2 3 2 1 n - 2 + C nn - 1 3 1 n - 1 + C nn 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 +. ... ... + C n n - 2 3 2 + n 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 +. ... ... + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Jetzt lass uns rausnehmen 3 außerhalb der Klammern: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 +. ... ... + C n n - 2 3 + 2 n - 1. Das resultierende Produkt enthält einen Faktor 3 , und der Wert des Ausdrucks in Klammern für natürliches n ist eine natürliche Zahl. Dies erlaubt uns zu behaupten, dass das resultierende Produkt und der ursprüngliche Ausdruck 4 n + 3 n - 1 teilbar sind durch 3 .

Antworten: Jawohl.

Wir können auch die Methode der mathematischen Induktion anwenden.

Beispiel 5

Beweisen Sie mit der Methode der mathematischen Induktion, dass für jedes natürliche
n der Wert des Ausdrucks n n 2 + 5 wird geteilt durch 3 .

Lösung

Finden Sie den Wert des Ausdrucks n n 2 + 5 at n = 1: 1 1 2 + 5 = 6. 6 ist unterteilt in 3 .

Angenommen, der Wert des Ausdrucks n n 2 + 5 at n = k geteilt durch 3 ... Tatsächlich müssen wir mit dem Ausdruck k k 2 + 5 arbeiten, von dem wir erwarten, dass er durch teilbar ist 3 .

In Anbetracht der Tatsache, dass k k 2 + 5 teilbar ist durch 3 , zeigen wir, dass der Wert des Ausdrucks n n 2 + 5 at n = k + 1 geteilt durch 3 , d. h. wir zeigen, dass k + 1 k + 1 2 + 5 teilbar ist durch 3 .

Führen wir die Transformationen durch:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

Der Ausdruck k (k 2 + 5) ist teilbar durch 3 und der Ausdruck 3 k 2 + k + 2 ist teilbar durch 3 , also ist ihre Summe teilbar durch 3 .

Wir haben also bewiesen, dass der Wert des Ausdrucks n (n 2 + 5) teilbar ist durch 3 für jedes natürliche n.

Analysieren wir nun den Ansatz zum Nachweis der Teilbarkeit durch 3 , die auf folgendem Aktionsalgorithmus basiert:

• wir zeigen, dass der Wert dieses Ausdrucks mit der Variablen n bei n = 3 m, n = 3 m + 1 und n = 3 m + 2, wo m- eine beliebige ganze Zahl, teilbar durch 3 ;
• wir schließen, dass der Ausdruck teilbar ist durch 3 für jede ganze Zahl n.

Um die Aufmerksamkeit nicht von kleinen Details abzulenken, wenden wir diesen Algorithmus auf die Lösung des vorherigen Beispiels an.

Beispiel 6

Zeigen Sie, dass n (n 2 + 5) teilbar ist durch 3 für jedes natürliche n.

Lösung

Lass uns so tun, als ob n = 3 m... Dann gilt: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5. Das erhaltene Produkt enthält einen Multiplikator 3 , daher wird die Arbeit selbst geteilt durch 3 .

Lass uns so tun, als ob n = 3 m + 1... Dann:

n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 3 (2 m 2 + 2 m + 2)

Das erhaltene Stück ist unterteilt in 3 .

Angenommen n = 3 m + 2. Dann:

n n 2 + 5 = 3 m + 1 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 3 3 m 2 + 4 m + 3

Dieses Stück ist auch unterteilt in 3 .

Antworten: Damit haben wir bewiesen, dass der Ausdruck n n 2 + 5 teilbar ist durch 3 für jedes natürliche n.

Beispiel 7

Ist es unterteilt in 3 der Wert des Ausdrucks 10 3 n + 10 2 n + 1 für ein natürliches n.

Lösung

Lass uns so tun, als ob n = 1... Wir bekommen:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Lass uns so tun, als ob n = 2... Wir bekommen:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Daraus können wir schließen, dass wir für jedes natürliche n Zahlen erhalten, die durch 3 teilbar sind. Das bedeutet, dass 10 3 n + 10 2 n + 1 für jede natürliche Zahl n durch 3 teilbar ist.

Antworten: Jawohl

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, wählen Sie ihn aus und drücken Sie Strg + Eingabetaste

Betrachten Sie zunächst ein Beispiel - Lösung für Problem 19(Zu diesem Thema ganze Zahlen ) - KMG real Einheitliches Staatsexamen 2015 Jahre, frühe Periode, Grundlinie. (Die Theorie dazu - Zeichen der Teilbarkeit - unten.)

Aufgabe 19

Streichen Sie drei Ziffern der Zahl 181615121 durch, sodass die resultierende Zahl durch 12 teilbar ist. Schreiben Sie in Ihre Antwort eine solche Zahl.

Lösung.

Wir zerlegen den Teiler – die Zahl 12 – in Primfaktoren. 12 = 3 × 4 = 3 × 2 × 2.
Daher muss die angegebene Zahl nach dem Durchstreichen der Zahlen durch 3 und 4 oder durch 2, wieder durch 2 und schließlich durch 3 teilbar sein.
Gerade Zahlen sind durch 2 teilbar, streichen Sie also die 1 am Ende sofort durch. Bleibt 18161512.
Es muss aber zweimal durch 2 teilbar sein, d.h. geteilt durch 4.
Die Teilbarkeit durch 4 besagt, dass dazu die aus den letzten beiden Ziffern gebildete zweistellige Zahl durch 4 teilbar sein muss. 12 : 4 = 3, daher können die letzten beiden Ziffern von 18161512 nicht durchgestrichen werden. Sie garantieren, dass die Zahl durch 4 (in beide Zwei) teilbar ist.
Damit eine Zahl durch 3 teilbar ist, muss die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar sein.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 = 3 × 8 + 1 - Sie können eine der Einheiten durchstreichen, aber je nach Problemstellung müssen Sie zwei weitere Zahlen streichen;
25 = 3 × 7 + 4 - es sind keine zwei Ziffern zu streichen, deren Summe 4 wäre, weil die letzten Ziffern 1 und 2 dürfen nicht berührt werden;
25 = 3 × 6 + 7 - die Summe der beiden durchgestrichenen Zahlen ist 7, wenn Sie 6 und eine der Zahlen außer der letzten durchstreichen.
So, mögliche Antworten: 811512 oder 181512. Wählen Sie zum Beispiel eine davon aus

Antwort: 181512

Jemand hat vielleicht Fragen, was sind Primfaktoren und wie kann man Primfaktoren berücksichtigen?
Primfaktoren können nicht weiter unterteilt werden. Primzahlen sind nur durch sich selbst und durch 1 teilbar, zB 13: 1 = 13 oder 13:13 = 1 und das war's. Und es ist besser, schrittweise anzulegen.
Zum Beispiel 60 = 6 × 10, 6 = 2 × 3 und 10 = 2 × 5, also 60 = 2 × 3 × 2 × 5.

Um solche Probleme zu lösen, müssen Sie Theoreme kennen - Tests auf die Teilbarkeit natürlicher Zahlen. Je mehr Sie die Anzeichen kennen, desto schneller werden Sie das Problem lösen. Wiederholen Sie die wichtigsten.

Teilbarkeit durch 2.

Eine Zahl ist genau dann durch zwei teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist, d.h. 2, 4, 6, 8, 0.

Teilbarkeit durch 3.

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch drei teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

Zum Beispiel ist 4539861 durch 3 teilbar, weil 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 = 36. 36 ist durch 3 teilbar.
394762 ist beispielsweise nicht durch 3 teilbar, weil 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 = 31. Die Zahl 31 ist nicht durch 3 teilbar.
Sie können mit Ihrem Lieblingsrechner überprüfen
4539861: 3=1513287
394762: 3=131587,33333333333333333333333333

Wenn die Ziffernsumme eine mehrstellige Zahl ist, kann ihre Teilbarkeit mit dem gleichen Vorzeichen überprüft werden.
Zum Beispiel ist 165394786171277984079 durch 3 teilbar, weil 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 9 + 8 + 4 + 0 + 7 + 9 = 111. 111 ist durch 3 teilbar, weil 1 + 1 + 1 = 3. Die Zahl 3 ist durch 3 teilbar.
165394786171277984079: 3 = 55131595390425994693

Teilbarkeit durch 4.

Eine natürliche Zahl mit mindestens drei Ziffern ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die zweistellige Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern der gegebenen Zahl gebildet wird, durch 4 teilbar ist.

Um die Teilbarkeit von zweistelligen Zahlen durch 4 zu überprüfen, verwenden wir die Tatsache, dass 4 = 2 × 2, d.h. dividieren durch 4 ist dasselbe wie zweimal hintereinander, um durch 2 zu dividieren. Daher muss die zweistellige Zahl erstens gerade sein, und zweitens ist es einfach, sie durch 2 zu teilen und zu sehen, ob das Ergebnis auch gerade ist Nummer. Zum Beispiel,

5773211789020783 ist nicht durch 4 teilbar, weil 83 ist kein Vielfaches von 2.
4920904953478666 ist nicht durch 4 teilbar, weil 66 : 2 = 33 ist eine ungerade Zahl.
5897592348940996 ist durch 4 teilbar, weil 96 : 2 = 48 ist eine gerade Zahl.

Der Beweis, dass diese Funktion funktioniert, basiert auf der Teilbarkeit von 100 durch 4 und dem Satz über die Teilbarkeit einer Summe, der unten angegeben wird. Hier betrachten wir eine Erklärung anhand eines Beispiels aus dem gegebenen USE-Problem.
18161512 = 18161500 + 12 = 181615 × 100 + 12 = 181615 × 25 × 4 + 3 × 4 = (181615 × 25 + 3) × 4.
In Klammern erhalten Sie eine natürliche Zahl, was bedeutet, dass die ursprüngliche Zahl ohne Rest durch 4 geteilt werden kann.

Teilbarkeit durch 5.

Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer entweder 5 oder 0 ist.

Teilbarkeit durch 6 normalerweise nicht als Theorem formuliert. Da 6 = 2 × 3, werden die Teilbarkeitskriterien durch 2 und 3 sequentiell verwendet, also werden gerade Zahlen durch 6 geteilt, deren Ziffernsumme durch 3 teilbar ist.
629 - nicht durch 6 teilbar, ungerade.
692 - nicht durch 6 teilbar, gerade, aber 6 + 9 + 2 = 17 ist nicht durch 3 teilbar.
792 ist durch 6 teilbar, gerade und 7 + 9 + 2 = 18 ist durch 3 teilbar.

Teilbarkeit durch 8 auch nicht als Theorem formuliert.
Da 8 = 2 × 4 und 1000 = 250 × 4, wird also für Zahlen größer 1000 analog zur Teilbarkeit durch 4 Vorzeichen die Teilbarkeit der aus den letzten drei Ziffern gebildeten Zahl durch 8 geprüft, und für Zahlen kleiner als 1000 (dreistellig), direkte Division durch 2 und Überprüfung des Ergebnisses durch Division durch 4. Beispiel:
58989081099472 - teilbar durch 8 seit 472 : 2 = 236 und 36 ist durch 4 teilbar.

Teilbarkeit durch 9.

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist.

Zum Beispiel ist 4539861 durch 9 teilbar, weil 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 = 36. 36 ist durch 9 teilbar.
394762 ist beispielsweise nicht durch 9 teilbar, weil 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 = 31. Die Zahl 31 ist nicht durch 9 teilbar.
4539861: 9=504429
394762: 9=43862,444444444444444444444444444

Teilbarkeit durch 10.

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 ist.

Diese Funktion kann leicht auf jeden Zehnergrad erweitert werden. Eine Zahl ist durch 100 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern Nullen sind, durch 1000, wenn am Ende drei Nullen stehen usw.

Leicht zu erinnern Teilbarkeitskriterien für Primzahlen wie 7, 11, 13, 17 ..., leider gibt es keine. Die Organisatoren des Einheitlichen Staatsexamens wissen dies und werden keine Aufgaben aufnehmen, die ausschließlich auf solche Lösungswege ausgerichtet sind. Obwohl die Mathematik im Laufe der langen Entwicklung der Technik des mündlichen Zählens natürlich einige allgemeine Merkmale der Teilbarkeit solcher Zahlen identifiziert und formuliert hat. Interessierte können auf Wikipedia verweisen.

Ich würde nur empfehlen, auf die Zahl 11 zu achten. Klar ist, dass eine zweistellige Zahl durch 11 teilbar ist, wenn sie aus den gleichen Ziffern besteht. Eine dreistellige Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre mittlere Ziffer gleich der Summe der beiden Extremwerte ist oder wenn die Summe der ersten und letzten Ziffer gleich der mittleren Ziffer plus 11 ist. Beispiel: 495 ist teilbar durch 11, da 4 + 5 = 9 und 957 durch 11 teilbar ist, also wie 9 + 7 = 5 + 11.

Und im Auswendiglernen Teilbarkeitskriterien für zusammengesetzte Zahlen es besteht keine Notwendigkeit. Zusammengesetzte Zahlen lassen sich in Primfaktoren zerlegen.

Teilbarkeitssätze für Produkte und Summen natürlicher Zahlen.

Wenn im Produkt mindestens einer der Faktoren durch eine Zahl teilbar ist, dann Arbeit ist durch diese Zahl teilbar.

Zum Beispiel wird das Produkt 475 × 1230 × 800 durch 3 geteilt, da der zweite Faktor die Division durch 3 erfüllt - die Summe seiner Ziffern 1 + 2 + 3 + 0 = 6 wird durch 3 geteilt.

Wenn jeder Term durch eine Zahl teilbar ist, dann Summe ist durch diese Zahl teilbar.

Zum Beispiel ist die Summe 475 + 1230 + 800 durch 5 teilbar, da jedes Aggregat das Kriterium der Division durch 5 erfüllt.

Die umgekehrte Aussage über die Teilbarkeit der Summe ist nicht richtig. Wenn jeder Term in der Summe nicht durch eine Zahl teilbar ist, dann sind beide Optionen für die Summe möglich, da sie geteilt und nicht teilbar ist.
43 ist nicht durch 5 teilbar, 17 ist nicht durch 5 teilbar, 43 + 17 = 60 ist durch 5 teilbar.

Die umgekehrte Aussage über die Teilbarkeit eines Produktes lässt sich erst nach Zerlegung des Teilers in Primfaktoren formulieren. Eigentlich war die Aufgabe dieser Aktion gewidmet, die am Anfang des Abschnitts steht.

Wenn Sie mit Algebra befreundet sind und wissen, wie man einen gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnimmt und gewöhnliche Brüche streicht, dann kann man sich den Satz über die Teilbarkeit einer Summe als das Vorhandensein eines gemeinsamen Faktors und den Satz über die Teilbarkeit von a . merken Produkt, als die Möglichkeit, einen gewöhnlichen Bruch zu stornieren.

Mit dem Theorem über die Teilbarkeit einer Summe kann man sich beim Prüfen der Vorzeichen der Teilbarkeit durch 3 und 9 an Rechnungen "sparen". durch 3 oder 9 teilbar.
Kehren wir zum letzten Beispiel vom "Teilungszeichen durch 3" zurück.
Für die Zahl 165394786171277984079 statt 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 9 + 8 + 4 + 0 + 7 + 9 berechnen 1 + 5 + 4 + 7 + 8 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 8 + 4 + 0 + 7 = 69. Das Ergebnis ist das gleiche - es wird durch 3 geteilt.

Und der Letzte:
Mathematiker schreiben nicht gerne. Lange Sätze und Wiederholungen der gleichen Wörter sind gut, um eine Lösung zu erklären, aber es ist ratsam, beim Aufschreiben Konventionen zu verwenden. Für den Begriff "teilt" können Sie das Symbol verwenden ⋮ vertikale Ellipse.
48⋮ 6 bedeutet, dass 48 durch 6 teilbar ist oder dass 48 ein Vielfaches von 6 ist.

Aufgaben zum Selbsttest.

Hier sind Probleme mit Lösungen, die vorübergehend ausgeblendet sind, damit Sie zuerst selbst darüber nachdenken und dann auf eine Schaltfläche klicken können, um Ihre und meine zu vergleichen. Ähnliche Probleme bei der Überprüfung Ihrer Antwort finden Sie in der Offenen Aufgabensammlung der Bundesanstalt für pädagogisches Messwesen.

Aufgabe 1

Geben Sie ein Beispiel für eine fünfstellige Zahl, die durch 12 teilbar ist, deren Produkt 40 ist. Schreiben Sie in Ihre Antwort genau eine solche Zahl.

Lösung anzeigen

Teilen wir die Zahl 40 in Primfaktoren auf. 40 = 2 × 2 × 2 × 5.
Es gibt nur vier solcher Faktoren, die Ziffern reichen für eine fünfstellige Zahl nicht aus, aber Sie können jederzeit einen zum Produkt hinzufügen, das Ergebnis ändert sich nicht.
40 = 2 × 2 × 2 × 5 × 1.
Somit kann die Zahl in der Antwort nur aus diesen Zahlen bestehen: 1,2,2,2,5.
Damit eine Zahl ein Vielfaches von 12 ist (dasselbe, was ohne Rest durch 12 teilbar war), muss sie die Kriterien der Teilbarkeit durch 3 und 4 erfüllen, da 12 = 3 × 4.
Lassen Sie uns die Summe der Ziffern 1 + 2 + 2 + 2 + 5 = 12 überprüfen. Sie ist durch 3 teilbar, also ist unsere Zahl für alle Permutationen von Ziffern durch 3 teilbar.
Und damit es durch 4 teilbar ist, müssen Sie am Ende zwei Ziffern eingeben, damit die daraus gebildete Zahl durch 4 teilbar ist.
Offensichtlich sollte die letzte Ziffer 2 sein, die anderen sollten ungerade sein. Sehen wir uns die Optionen 12, 22, 52 an.
12: 4 = 3; 22: 4 = 11: 2 - nicht vollständig geteilt; 52: 4 = 13.
Fazit: Die Zahl sollte so zusammengesetzt sein, dass am Ende 12 oder 52 stehen, und am Anfang beliebige Permutationen der verbleibenden drei Ziffern.
Mögliche Antworten: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. Schreiben Sie als Antwort eine davon. Zum Beispiel,

Antworten: 21252

Aufgabe 2

Geben Sie ein Beispiel für eine dreistellige Zahl, die durch 15 teilbar ist, deren Produkt der Ziffern 30 ist. Schreiben Sie in Ihre Antwort genau eine solche Zahl.

Lösung anzeigen

Teilen wir die Zahl 30 in Primfaktoren auf. 30 = 2 × 3 × 5.
Es gibt drei solcher Faktoren, wir müssen eine dreistellige Zahl bilden, die durch 15 teilbar ist, d.h. erfüllt die Kriterien der Teilbarkeit durch 3 und 5, da 15 = 3 × 5.
Damit eine Zahl durch 5 teilbar ist, muss sie auf 5 enden.
Lassen Sie uns die Summe der Ziffern 2 + 3 + 5 = 10 überprüfen. Die Summe der Ziffern ist nicht durch 3 teilbar, daher ist unsere Zahl für keine Ziffernpermutationen durch 3 teilbar.
Sackgasse? Nein. Denken Sie auch hier daran, dass Sie eine beliebige Anzahl von Einheiten als Faktoren hinzufügen können und sich das Ergebnis nicht ändert.
Schreiben Sie 30 als 2 × 3 × 5 × 1 um.
Jetzt gibt es mehr mögliche Ziffern für die Bildung einer dreistelligen Zahl als nötig. Lassen Sie uns daher einige einfache Faktoren zu zusammengesetzten zusammenfassen: 2 × 5 = 10 und 3 × 5 = 15 Dies sind keine Zahlen, sondern zweistellige Zahlen. 2 × 3 = 6 Die Zahl 6 wird durch die Zahl 6 repräsentiert.
Schreiben Sie 30 in 6 × 5 × 1 um.
Prüfen wir die Summe der Ziffern 6 + 5 + 1 = 12. Teilbar durch 3. Somit kann die Zahl in der Antwort aus den Ziffern 6,5,1 bestehen. Die letzte Ziffer sollte 5 sein.

Mögliche Antworten: 615, 165

Aufgabe 3

Die Ziffern einer durch 5 teilbaren vierstelligen Zahl wurden in umgekehrter Reihenfolge geschrieben und erhielten die zweite vierstellige Zahl. Dann wurde die zweite von der ersten Zahl abgezogen und man erhielt 2277. Geben Sie genau ein Beispiel für eine solche Zahl an.

Lösung anzeigen

Ein Vielfaches von 5 endet mit den Ziffern 0 oder 5. Dann muss die in umgekehrter Reihenfolge geschriebene Zahl mit 0 oder 5 beginnen. Beginnt die Zahl mit 0, dann wird sie nicht mehr vierstellig, sondern dreistellig, da 0 am Anfang ist normalerweise nicht schreiben. 0348 ist zum Beispiel nur 348. Die erforderliche Zahl endet also mit der Zahl 5. Die restlichen Zahlen werden mit Buchstaben bezeichnet a, b, c... Die Zahl selbst wird in diesem Fall bezeichnet ABC 5____ .
Der Balken oben wird hier benötigt, um diese Notation nicht mit dem algebraischen Produkt von Variablen ( ein mal B, mal mit...). Die in umgekehrter Reihenfolge geschriebene Zahl wird mit 5 . bezeichnet cba____ .
Bedingung

ABC 5____ − 5cba____ = 2277.
Stellen wir uns vor, wir führen diese säulenförmige Subtraktion durch.
1) 5 ist kleiner als 7, was bedeutet, dass man beim Subtrahieren ein Dutzend nehmen musste.
10 + 5 − ein = 7. ein = 15 − 7 = 8.
2) Beim Subtrahieren von Zehnern ist es nicht so offensichtlich, ob eine Einheit im Hunderterrang besetzt war oder nicht. Nehmen wir zunächst an, wir haben es nicht getan. Dann aus der um eins reduzierten Zahl C hast du gelesen B und habe 7
(C − 1) − B = 7. C = 8 + B.
Diese Option ist geeignet B= 0 und B= 1. Große Werte B wird steigen C bis zu zweistellig. Nimm zum Beispiel B= 1, dann C= 9, und durch Überprüfung stellen wir sicher, dass die Zahl 8195 die Bedingung des Problems erfüllt.

Antworten: 8195